2023-2024学年福建省宁德市高二下学期期末质量检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省宁德市高二下学期期末质量检测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=16t3−2在t=2时的瞬时变化率为( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
2.已知向量a=(m,1,2)，b=(12,12,1)，若a//b，则实数m=( )
A. 12B. 14C. 1D. 2
3.根据分类变量X和Y的样本观察数据的计算结果，有不少于95%的把握认为X和Y有关，则K2的值不可能为( )
A. 2.819B. 5.512C. 6.635D. 8.243
4.已知函数fx在点x=−1处的切线方程为x+y−1=0，则f′−1+f−1=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，则异面直线A1E与BD1夹角的余弦值为( )
A. 35B. 53C. 155D. 152
6.在标准正交基i,j,k下，已知向量a=1,23,−1,b=−1,0,1,m=3a+2b，则m在12j上的投影等于( )
A. −1B. −12C. 1D. 2
7.一校园公用电话在某时刻恰有k(k∈N)个学生正在使用或等待使用该电话的概率为P(k)，根据统计得到Pk=ck+1k+2,0≤k<40,k≥4，其中c为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为( )
A. 12B. 58C. 34D. 78
8.若不等式alnx−x≥0有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. 2ln2,5ln5B. 2ln2,5ln5C. 3ln3,5ln5D. 3ln3,5ln5
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数y=fx，其导函数f′x的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数fx在−2,0上单调递增B. 函数fx在0,5上单调递减
C. 函数fx在x=−2处取得极小值D. 函数fx在x=3处取得最大值
10.有甲乙两个袋子，甲袋中装有2个白球，1个红球，乙袋中装有1个白球，2个红球，除颜色外，各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记事件A1表示从甲袋中取出的球是白球，A2表示从甲袋中取出的球是红球，事件B表示从乙袋中取出的球是白球，则下列选项中正确的是( )
A. 事件B与事件A1不相互独立B. P(B|A2)=14
C. P(BA2)=14D. P(B)=512
11.如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形ABCD是边长为2的正方形，M是DE中点，N在正方形ABCD(含边界)内运动，点P,Q分别在线段AE和CF上运动，则下列结论正确的是( )
A. 点D到平面EAB的距离为2 63
B. 二面角E−AB−C的余弦值为 33
C. 当MN//平面BCE时，点N的轨迹长度为2 2
D. 线段PQ长度的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数据x1,x2,⋅⋅⋅,x12的方差为3，则数据2x1+1,2x2+1,⋅⋅⋅,2x12+1的方差为 ．
13.四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，且PE=2EC，若DE=xAB+yAD+zAP,则xyz= ．
14.若不等式aex+lna−ln(x+2)≥2恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设函数fx=2x3−3ax2,x=1是f(x)的极值点．
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)=f(x)−m有三个零点，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：
(1)求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程y=bx+a.预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？
(2)若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：b=i=1nxiyi−nxyi=1nx i2−nx2，a=y−bx.参考数据：i=15xi⋅yi=112，i=15xi2=145．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PD的中点，点F在线段PA上运动．

(1)线段AC上是否存在点M，满足EM//平面PAB？若存在，求AMAC的值，若不存在，说明理由；
(2)当直线DF与平面ACE所成的角最大时，求线段AF的长度．
18.(本小题12分)
毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75～145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，σ=13.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．(结果精确到0.01)；
(3)全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n关的概率为Pn，请写出Pn的表达式，并求出Pn的最大值．
附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ax+lnx,(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)记曲线f(x)在Ax1,y1，Bx2,y2两点处切线的斜率为k1、k2，直线AB的斜率为k3，其中x1,x2∈(0,1].求证：当a≥1时，有k1+k2−2k3>0．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.12
13.−227或−227
14.[e,+∞)
15.(1)f′(x)=6x2−6ax=6x(x−a) 因为x=1是f(x)极值点，所以f′(1)=6(1−a)=0，解得a=1， 经检验，a=1符合题意，所以a=1．
(2)若函数g(x)=f(x)−m有三个零点，等价曲线f(x)与直线y=m有三个不同的交点，
由(1)可得f(x)=2x3−3x2，f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，令f′(x)=0，则x=0或x=1.当x<0时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当01时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，所以f(x)在(−∞,0)和(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减.所以f(x)极小值=f(1)=−1;f(x)极大值=f(0)=0.又x→−∞时，f(x)→−∞；x→+∞，f(x)→+∞.画出图像，结合图像
所以−1即实数m的取值范围为(−1,0)．

16.(1)
x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+5+55=215b=i=15xi⋅yi−5xyi=15xi2−5x2=112−5×5×215145−5×52=720
a=y−bx=215−720×5=4920，所以y=720x+4920，当x=12时，y=6.65所以预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为6.65百千克．
(2)由表可知，优质试验田有2亩，所以X的可能取值为0，1，2．P(X=0)=C33C53=110；P(X=1)=C21C32C53=35；P(X=2)=C22C31C53=310．
故X分布列为
E(X)=0×110+1×35+2×310=65

17.(1)
存在符合题意的点M，此时点M为线段AC的中点．
∵底面ABCD为正方形，
∴M也为线段BD的中点，
又E为PD的中点，则EM为▵DPB的中位线，
∴EM//PB．
又PB⊂平面PAB，EM⊄平面PAB，
∴EM//平面PAB，
此时AMAC=12．
(2)
如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,C1,1,0,E0,12,1,D0,1,0，则AC=(1,1,0)，AE=0,12,1，
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=0n⋅AE=0，即x+y=012y+z=0,
令x=2，则y=−2,z=1，即n=(2,−2,1)，
因为点F在线段PA上运动，可设F(0,0,t)(0≤t≤2)，则DF=(0,−1,t)，
设直线DF与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=csn,DF=n⋅DFnDF=2+t3 1+t2，
所以sin2θ=19×4+4t+t21+t2．
设g(t)=4+4t+t21+t2，则g′t=−22t2+3t−21+t22，
因为当t∈[0,12)时，g′t>0，当t∈[12,1]时，g′t<0，
所以g(t)在[0,12)上单调递增，在[12,1]上单调递减，
所以当t=12时，g(t)取得最大值，即sin2θ取得最大值，
又x∈[0,π2]时，函数y=sinx单调递增．
所以直线DF与平面ACE所成角θ最大时，线段AF的长度为12．


18.(1)
由频率分布直方图，得10×0.005+a+0.019+0.03+0.02+a+0.002=1，
解得a=0.012．
(2)
由题意得μ=80×0.05+90×0.12+100×0.19+110×0.3+120×0.2+130×0.12+140×0.02=109.2，X～N109.2,132，
PX>135.2=PX>μ+2σ=1−Pμ−2σE(Y)=np=0.2275≈0.23．
(3)
记甲同学第nn∈N∗关通过为事件An，依题意，P1=13，
当n≥2时，PAnAn−1=13,PAnAn−1=12,Pn=PAn，
所以PAn=PAn−1PAnAn−1+PAn−1PAnAn−1，
所以Pn=13Pn−1+121−Pn−1=−16Pn−1+12，
所以Pn−37=16Pn+1−37，
又因为P1=13，则P1−37=−221≠0，
所以数列Pn−37是首项为−221，公比为−16的等比数列，
所以Pn=37−221−16n−1，
当n为奇数时，Pn=37−221−16n−1=37−22116n−1<37，
当n为偶数时，Pn=37+22116n−1，则Pn随着n的增大而减小，
所以，Pn≤P2=49，又49>37，所以Pn的最大值为49．

19.(1)
函数f(x)的定义域为0,+∞，f′(x)=1+ax2+1x=x2+x+ax2，
令g(x)=x2+x+a，x>0，Δ=1−4a，
法一：
①当Δ=1−4a≤0，即a≥14时，g(x)>0在0,+∞上恒成立，
此时f′(x)>0在0,+∞上恒成立，f(x)在0,+∞上单调递增，
②当Δ=1−4a>0，即a<14时，
(i)当a<0时，
由x>0g(x)>0，解得x>−1+ 1−4a2，此时f′(x)>0，
由x>0g(x)<0，可解得0所以f(x)在0,−1+ 1−4a2上单调递减，在−1+ 1−4a2,+∞上单调递增；
(ii)当0≤a<14时，f′(x)>0在0,+∞上恒成立，此时f(x)在0,+∞上单调递增，
法二：
①当a≥0时，f′(x)≥0在0,+∞上恒成立，此时f(x)在0,+∞上单调递增，
②当a<0时，Δ=1−4a>0，
若0若x>−1+ 1−4a2时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
所以f(x)在0,−1+ 1−4a2上单调递减，在−1+ 1−4a2,+∞上单调递增，
综上所述，当a≥0时，f(x)在0,+∞上单调递增，无单调减区间，
当a<0时，f(x)在0,−1+ 1−4a2上单调递减，在−1+ 1−4a2,+∞上单调递增；
(2)
因为f′(x)=1+ax2+1x，所以k1=1+ax12+1x1，k2=1+ax22+1x2，k3=x2−ax2+lnx2−x1+ax1−lnx1x2−x1=1+lnx2x1+a1x1−1x2x2−x1，
要证k1+k2−2k3>0，只要证1+ax12+1x1+1+ax22+1x2>21+lnx2x1+a1x1−1x2x2−x1，
不妨设x12lnx2x1+a1x1−1x2，
只要证ax2x12−x1x22−3x1+3x2>2lnx2x1−x2x1+x1x2，只要证ax2x22x12−x1x2−3x2x1+3>2lnx2x1−x2x1+x1x2，
令x2x1=t，因为x1,x2∈0,1且x11，所以只要证ax2t2−1t−3t+3>2lnt−t+1t，
设ℎt=t2−1t−3t+3，t>1，则ℎ′t=2t+1t2−3=t−12t+1t2>0，当t>1时恒成立，
所以ℎt在1,+∞上单调递增，所以ℎt>ℎ1=0，
因为a≥1，x2∈(0,1]，所以ax2t2−1t−3t+3>t2−1t−3t+3，
所以只要证t2−1t−3t+3>2lnt−t+1t，
设mt=t2−1t−3t+3−2lnt−t+1t，
m′(t)=2t+2t2−2−2t=2t3+1−t2−tt2=t−12t+1t2>0，
所以m(t)在1,+∞上单调递增，所以mt>m1=0，
所以t2−1t−3t+3>2lnt−t+1t，得证．
k0
2.072
2.706
3.841
6. 635
7.879
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
某种液体肥料每亩使用量x(千克)
2
4
5
6
8
豆角亩产量的增加量y(百千克)
3
4
4
5
5
X
0
1
2
P
110
35
310