2023-2024学年吉林省吉林市实验中学等友好学校高一下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市实验中学等友好学校高一下学期期末联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数5i−2的共轭复数是( )
A. 2+iB. −2+iC. −2−iD. 2−i
2.已知a,b是两个单位向量，则下列四个结论正确的是( )
A. a=bB. a⋅b=1C. a2≠b2D. |a|2=|b|2
3.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知csA= 53，B=π6，b=3，则a=( )
A. 4B. 6C. 103D. 3 2
4.如图，△O′A′B′是水平放置的▵OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A′O′B′=45∘，则原▵AOB的面积为( )
A. 3 2B. 4 2C. 6D. 8
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3， 15，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )
A. 1256πB. 125πC. 25πD. 75π
6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l⊄α,l⊄β,则( )
A. α // β且l// αB. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l
7.在▵ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点．若MN=xAB+yBC，则x−y=( )
A. 1B. 12C. −13D. −23
8.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为( )
A. 4 7B. 3 13C. 2 30D. 11
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量a=(−1,1)，b=(2,0)，c=(3,3)，则( )
A. a+b//cB. a⊥c
C. (a−b)⋅c>0D. 2a+b=b
10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是( )
A. A与B为对立事件B. A与B为相互独立事件
C. P(A∪B)=12D. P(AB)=14
11.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若csA>csB，则AB. 若A=60∘，b=4，a=3.8，则▵ABC有两解
C. 若a2=bc，则▵ABC为锐角三角形
D. 若acsA=bcsB，则▵ABC为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.−8−7i−3i=
13.2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是(单位：分)：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的下四分位数为 ．
14.▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA=sinBcsC，tanA=13，则tanC= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知▵ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC．
(1)求A；
(2)若b+c=5，▵ABC的面积为 3，求a的值．
16.(本小题12分)
已知|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+2b)=−1．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|3a−2b|+|a−2b|的值．
17.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BC=EC，点F为线段BE的中点．
(1)求证：CF⊥平面ABE；
(2)求证：DE//平面ACF．
18.(本小题12分)
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[80,100)，[100,120)，[120,140)，[140,160)分组的频率分布直方图如图所示．
(1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在[120,140)，[140,160)的居民中抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160)的概率．
19.(本小题12分)
如图(1)梯形ABCD中，AD/​/BC，AB=2 3，BC=2，CD=2 2，BE⊥AD且BE=2，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE与BD和交于O，点P在AB上，且AP=2PB，R是CD的中点，过O、P、R三点的平面交AC于Q.在图(2)中：
图(1) 图(2)
(1)证明：Q是AC的中点；
(2)M是AB上一点，已知二面角M−EC−B的正切值为34，求AMAB的值．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.C
5.A
6.D
7.B
8.C
9.ABD
10.BD
11.AB
12.−21+24i
13.678
14.1或12
15.【小问1详解】
由(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC得sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC，由正弦定理得b2+c2−a2=−bc．
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−12．
∵0【小问2详解】
由于▵ABC的面积为 3，
∴12bcsinA=12× 32bc= 3，
∴bc=4，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=52−4=21．
∴a= 21．

16.【小问1详解】
由(2a−b)⋅(a+2b)=−1可得2a2+3a⋅b−2b2=−1，
故2×22+3a⋅b−2×32=−1⇒a⋅b=3，
所以csa,b=a⋅ba⋅b=32×3=12，
由于a,b∈0,π，所以a,b=π3，
【小问2详解】
|3a−2b|= 9a2+4b2−12a⋅b= 36+36−12×3=6,
|a−2b|= a2+4b2−4a⋅b= 4+36−4×3=2 7，
故|3a−2b|+|a−2b|=6+2 7

17.【小问1详解】
因为AB⊥平面BCE，CF⊂平面BCE，所以AB⊥CF，
又BC=EC，点F为线段BE的中点，所以BE⊥CF，
又AB∩BE=B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，
故CF⊥平面ABE；
【小问2详解】
连接BD交AC于M，连接FM，因为四边形ABCD是矩形，
则M为BD的中点，又点F为线段BE的中点，
可得FM//DE，而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
故DE//平面ACF；

18.【小问1详解】
由频率分布直方图可知，估计这100户居民的月平均用电量的平均数为90×0.005×20+110×0.015×20+130×0.020×20+150×0.010×20=124；
设中位数为m，
用电量在80,120的频率为0.005+0.015×20=0.4<0.5，
用电量在80,140的频率为(0.005+0.015+0.02)×20=0.8>0.5，
故中位数位于第三组中，故m−120×0.02=0.1，解得m=125
【小问2详解】
由题意得月平均用电量在[120,140)的居民有23×6=4户，分别设为a，b，c，d，
月平均用电量在[140,160)的居民有13×6=2户，分别设为A,B，
所有基本事件有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，b,c,(b,d)，b,A,b,B，(c,d)，(c,A),c,B，(d,A),d,B,A,B}共15个．
记A为“2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160)”，
则事件A包含的基本事件有：(a,A)，(a,B)，b,A,b,B，(c,A),c,B，(d,A),d,B,A,B}共9个，
所以P(A)=915=35．

19.【小问1详解】
如图(1)：因为AD/​/BC，AB=2 3，BC=2，CD=2 2，BE⊥AD且BE=2，
所以AB= AE2+BE2⇒AE=2 2，FD=2，EF=2．
图(2)中：
在▵ABD中，BPPA=12，BOOD=BCED=12，所以OP//AD，
又OP⊂平面PORQ，AD⊄平面PORQ，所以AD//平面PORQ，
AD⊂平面ACD，平面PORQ∩平面ACD=QR，所以AD//QR，
在▵ACD中，R为CD中点，所以Q为AC中点．
【小问2详解】
如图：
因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AE⊂平面ABE，AE⊥BE，
所以AE⊥平面BCDE．
作MN⊥BE于E，则MN⊥平面BCDE，作MH⊥EC于H，连HN，
则∠MHN为二面角M−CE−B的平面角．
设AMAB=λ⇒AM=λAB=2 3λ，
因为MN//AE⇒NEEB=λ⇒NE=λEB=2λ．
因为△EHN为等腰直角三角形，所以NH= 2λ．
又MNAE=BMBA=1−λ⇒MN=1−λAE=2 2⋅1−λ．
在直角▵MNH中，tan∠MHN=MNNH⇒34=2 2⋅1−λ 2λ⇒λ=811．
即AMAB=811