黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．命题“对,”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A.B.C.D.
3．若a,b,c满足,,则( )
A.B.C.D.
4．某校安排甲,乙,丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会,已知甲班艺术生占比8%,乙班艺术生占比6%,丙班艺术生占比5%,学生自由选择座位,先到者先选.甲,乙,丙三个班人数分别占总人数的,,.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动,选到的学生是艺术生的概率为( )
A.B.C.D.
5．为了强化学生安全意识,落实“12530”安全教育,某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码,若两个0之间至少有一个数字,且两0不都在首末两位,可以设置的密码共有( )
A.72B.120C.216D.240
6．已知函数,若,则的最大值为( )
A.B.C.D.
7．已知,,,则的最小值为( )
A.B.0C.1D.
8．已知,,,则m,n,p的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,则下列说法中正确的有( )
A.的展开式中的常数项为84
B.的展开式中不含的项
C.的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D.的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
10．若函数在上有最大值,则a的取值可能为( )
A.B.C.D.
11．某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注）,对本校学生随机做了一次调查,结果显示被调查的男,女生人数相同,其中有的男生“关注”,有的女生“关注”,若依据小率值的独立性检验,认为学生对世界杯的关注度与性别有关联,则调查的总人数可能为( )
参考公式:,.
A.276B.288C.300D.312
三、填空题
12．函数在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为________.
13．某省计划在高考中对政治,地理,化学,生物四门选考科目进行赋分制度计分,即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为10%,35%,35%,18%,2%,选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换原则,分别转换到,,,,五个分数区间,得到考生的赋分等级成绩,如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩,若一名学生想取得A等的赋分等级,则他的原始分数最低为________分.（分数保留整数）
附:①若,,则;
②当时,.
14．设是函数的零点,则________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的极值;
（2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,求a的值.
16．某歌手选秀节目,要求参赛歌手先参加初赛.歌手晋级与否由A,B,C三名导师负责.首先由A,B两位导师对歌手表现进行初评,若两位老师均表示通过,则歌手晋级;若均表示不通过,则歌手淘汰;若只有一名导师表示通过,则由老师C进行复合审查,复合合格才能通过;并晋级.已知每个歌手通过A,B,C三位导师审核的概率分别为,,,且各老师的审核互不影响.
（1）在某歌手通过晋级的条件下,求他（她）经过了复合审查的概率;
（2）从参赛歌手中选出3人,设其中通过晋级的人数为X,求X的分布列和数学期望.
17．已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）若对于任意,,且,恒有,求实数a取值范围.
18．某校高一新生共1000人,男女比例为1:1,经统计身高大于170cm的学生共600人,其中女生200人.该校为了解高一新生身高和体重的关系,在新生中随机抽测了10人的身高（单位:cm）和体重（单位:kg）作为一个样本,所得样本数据如下表所示:
（1）在对这10个学生组成的样本的检测过程中,采用不放回的方式,每次随机抽取1人检测
（ⅰ）若已进行了三次抽取,求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率;
（ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率;
（2）由表中数据的散点图和残差分析,编号为5的数据残差过大,确定其为离群点,所以应去掉该数据后再求经验回归方程.已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802,请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）.
参考公式及数据:样本相关系数
,,,,.
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,…,（注:,,,,…,为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
（1）求实数a,b的值,并估计的近似值（保留三位小数）;
（2）求证:;
（3）求不等式的解集,其中.
参考答案
1．答案：A
解析：,,
所以.
故选:A
2．答案：C
解析：由命题“对,”为真命题,可知在上恒成立,
当时可得,当时不等式可化为:,
设,
①因在上单调递减,故,则,故得;
②又因在上单调递减,在上单调递增,故,
则有,故得.
综上,可得,即命题“对,”为真命题等价于,
依题意需使选项的范围是的真子集,故C正确.
故选:C.
3．答案：C
解析：由,,得,,所以,所以,所以A错误；
令,,此时与无意义,所以B错误；
因为,,所以由不等式的性质可得,所以C正确；
令,,,则,所以D错误.
故选：C.
4．答案：D
解析：设“任选一名学生恰好是艺术生”,
“所选学生来自甲班”,“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”.
由题可知:
,,,,,,
.
故选:D
5．答案：C
解析：从左到右的6个位置分别为A,B,C,D,E,F,
若两个0之间有一个数字,此时两个0的位置有A,C或B,D或C,E或D,F四种情况,
在把剩余的4个数进行全排列,此时共有种,
若两个0之间有两个数字,此时两个0的位置有A,D或B,E或C,E三种情况,
剩余的4个数进行全排列,此时有种,
若两个0之间有三个数字,此时两个0的位置有A,E或B,F两种情况,
剩余的4个数进行全排列,此时有种,
综上,可以设置的密码共有个.
故选:C
6．答案：D
解析：因为,可知函数在上单调递减,在上单调递增,
不妨设,则,
可得,则,
令,则,
令,则,令,则,
故在上单调递增,在上单调递减,
故,
故选:D
7．答案：A
解析：,,
,
,
,
,
当且仅当,即,时等号成立,
故选:A
8．答案：A
解析：令,则,,,
当,,
设,则,
,
在单调递减,
,
,
当,,
设,
则,
在单调递增,,,,
故选:A.
9．答案：AC
解析：因为展开式的通项公式,所以
当,A正确;
当时,,B错误;
的展开式中各项系数和为,二项式系数之和为,C正确;
根据二项式系数的性质可知,最大,所以,的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项,D错误.
故选:AC.
10．答案：ABC
解析：令,得,,
当时,;当或时,,
则的增区间为,,减区间为,
从而在处取得极大值,
由,得,解得或,
又在上有最大值,
所以,即,
故选ABC.
11．答案：CD
解析：设男,女生人数均为n,可得如下列联表:
由题意可得,所以,所以,
则,因为n为6的倍数,则2n为12的倍数,则CD满足题意.
故选:CD
12．答案：
解析：由题意可得,则曲线在处的切线斜率为2e,
切点为,故切线方程为.
令,得;令,得.
则该切线与坐标轴分别交于点,,
故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故答案为:.
13．答案：71
解析：由题意知:从高到低,即A等级人数所占比例为,
若A等级的原始分最低为X,又原始成绩,
,令,则,
又,所以,
即,可得分,
则他的原始分数最低为71.
故答案为:71.
14．答案：3
解析：由题意,.
注意到,
所以,
在两边同时加上,
即,
即,
设函数,显然该函数是实数集上的增函数,
由,
即即,
所以,
故答案为:3
15．答案：（1）极大值,无极小值
（2）或或0.
解析：（1）易知定义域为,,
当时,,当时,.
在上单调递增,在上单调递减,
故在处取得极大值且极大值,无极小值.
（2）由（1）知,则,又.
曲线在点处的切线为,
把切线方程代入曲线方程,
得有唯一解,
①当时,方程为,有唯一解,符合题意;
②且,即,
解得或.
所以或或.
16．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）设事件A={A老师表示通过},事件B={B老师表示通过},事件C={C老师表示通过},事件D={歌手通过晋级},事件E={歌手经过复审},
则,,,
,因此,
所以在某歌手通过晋级的条件下,求他（她）经过了复合审查的概率为.
（2）依题意,X的可能取值为0,1,2,3,显然,,
则,
,
所以X的分布列如下:
数学期望为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）的定义域为,,
当时,在恒成立,
当时,令,得,单调递增;令,得,单调递减,综上所述:当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）不妨设,则不等式等价于,
即,
令,则函数在上单调递减,
则在上恒成立,
所以在上恒成立,所以,
因为在上单调递减,在递增,所以,
所以实数a的取值范围为.
18．答案：（1）（ⅰ）;
（ⅱ）
（2）答案见解析
解析：（1）（ⅰ）记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M,则,得.
（ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A,第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B.
因为样本中学生身高大于175cm的有4人,身高大于175cm且体重大于79kg的有2人,
身高小于175cm且体重大于79kg的有1人,
所以.
（2）设未去离群点的样本相关系数为,去掉离群点后的样本相关系数为,则.
去掉离群点后,,,
,,
,
由
得
因为,且相比更接近1,所以y与x的线性相关性更强,所以去掉离群点是合理的.
19．答案：（1）,,0.095
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为,所以,;
因为,所以,
由题意知,,
所以解得,.
（2）由（1）知,即证,令,且.
即证时,有
设,,则
所以在上单调递增,在上单调递增
当时,,
可得,即成立,
当时,,
可得,即成立,
综上可得当时,
所以成立,即成立;
（3）由题意知,欲使得不等式成立,
则至少有,即或.
首先考虑,该不等式等价于,
即.
由（2）知成立,
所以使成立的x的取值范围为或
再考虑,
该不等式等价于,
不妨令,函数定义域为.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,
即当时,,
则当时,有
当时,由可得成立;
当时,由可得不成立,
所以使成立的x的取值范围为,
综上可得不等式的解集为.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
164
165
170
172
173
174
176
177
179
180
体重
57
58
65
65
90
70
75
76
80
84
对卡塔尔世界杯关注
对卡塔尔世界杯不关注
合计
男生
n
女生
n
合计
2n
X
0
1
2
3
P