[数学][期中]广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测试题(解析版)

这是一份[数学][期中]广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测试题(解析版)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有种选择，
按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为.
故选：A
2. 已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上单调递增
【答案】C
【解析】由导数的图象可知，当时，，
所以在区间，上单调递增，故C正确；
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，则在区间上单调递减，故A、B、D错误；
故选：C．
3. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】随机变量满足，，
则，，据此可得，.
故选：D
4. 设曲线在处的切线方程为，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】依题意，曲线，求导得：，
则，
因曲线在处的切线方程为，则，即，解得，
所以a的值为-2.
故选：A
5. 若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )
A. 29B. 29－1C. 39D. 39－1
【答案】D
【解析】 (1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，
令x＝0，得a0＝1；
令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，
∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，
则，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
又，所以，
即.
故选：A
7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A. 306B. 198C. 268D. 378
【答案】B
【解析】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式．
故选：B.
8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；
由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在，
当时，，当时，，
当时，不存在，
即，
由事件中有种情况，事件有种情况，
所以.
故选：C.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中任选1个球，有15种不同的选法
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】ABD
【解析】A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
10. 设随机变量的分布列为，则
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】随机变量分布列为,
，解得，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：A、B、C.
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则t的最小值为2
D 当时，方程有且只有两个实根
【答案】BD
【解析】，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______．
【答案】0.6
【解析】随机变量X服从两点分布，则，
又，联立解得．
故答案为：0.6.
13. 长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为___________.
【答案】
【解析】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”，
则，，，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：．
14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________.
【答案】1
【解析】令，其定义域为为，
则，则为奇函数，
且，
因为和在上均单调递增，且恒成立，
则在上单调递增，
由得，
即，
则.
令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，
故时取最小值0，
故不等式的解为.
故答案为：1.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 若是函数的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数在区间上的最值．
解：（1），
由题意知或
时，，
在区间递增；
在区间递减，
是的极大值点，符合题意.
时，，
在区间递增；
在区间递减，
是的极小值点，不符合题意.
则.
（2）由（1）知，且在，单调递增，
在单调递减，
又，，，，
则，.
16. 二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求：
（1）展开式中所有二项式系数的和；
（2）展开式中所有的有理项．
解：（1）二项式展开式的通项为
（且），
所以第五项的二项式系数，第三项的系数为，
依题意可得，即，所以，
则，
所以展开式中所有二项式系数和为.
（2）由（1）可得二项式展开式的通项为
（且），
令，又且，
则或或，
所以有理项有，，.
17. 玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.
解：（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，
由题设可知，，，，
且，，，
所以
.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
（2）因为，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
18. 已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
解：（1）由题意知：所有可能的取值为，，，
；；
，
的分布列为：
（2）由（1）得：从情境开始第一关，则；
若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，
；；，
；
，
应从情境开始第一关.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）定义域
，
若,则,令,得，
当单调递减，
当单调递增，
若,得或，
若,则对恒成立,所以在上单调递减，
若,则，
当单调递减，
当单调递增，
当单调递减，
若,则，
当单调递减，
当单调递增，
当单调递减，
综上，
若在上单调递减,在上单调递增，
若在上单调递减，
若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，
若在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减，
（2）因为,所以,即在[1,2]上单调递减，
所以在，
所以，
所以，
即,对恒成立，
设，
则,令,得，
当单调递增，
当单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.