[数学]山东省菏泽市2024届高三信息押题卷(二)试题(解析版)

这是一份[数学]山东省菏泽市2024届高三信息押题卷(二)试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，而，
所以.
故选：B
2. 设向量，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】，故，解得.
故选：D
3. 已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】因为抛物线为,
则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为,
由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3,
所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得,
故选：C.
4. 在△中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则或，即或，
所以在△中，“”是“”的不充分条件
若，则，则，
所以在△中，“”是“”的必要条件.
故选：B.
5. 过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，连接，
依题意，，则，
于是，整理得，
所以或.
故选：D
6. 若函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数在上单调递增，，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.故选：D.
7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A. 0.2B. 0.5C. 0.6D. 0.8
【答案】D
【解析】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，
则，
于是，
所以该列车为和谐号的概率为.
故选：D
8. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令给定的正三棱台为正三棱台，，
令正的中心分别为，而，
则，解得，
的外接圆半径，的外接圆半径，
显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则，
因此，解得，
所以该正三棱台的外接球表面积为.
故选：C
二、选择题
9. 已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，
则复数在复平面内对应的向量为，且，
，，
所以四边形为菱形，且，
又，与轴正半轴所成的角为，
所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称，
所以，则，所以，故B正确；
因为，所以，故A错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（ ）
A. 函数的最小正周期为1
B. 函数图象的一条对称轴为
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上恰有5个零点
【答案】AC
【解析】由函数为偶函数，得，而，则，
因此，，
由，得，于，解得，则，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，函数图象关于不对称，B错误；
对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，C正确；
对于D，由，得，解得，
由，解得，因此函数在上恰有6个零点，D错误.故选：AC
11. 已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，若，且，只能，有，
则，，所以，故A正确；
对于B，举反例：当时，
则，，
此时，故B不正确；
对于C，易知，且．若，且，则有：
（ⅰ）当时，有，
则，，
且，所以；
（ⅱ）当时，，
且，则．
综上所述：，故C正确；
对于D，若，则．若，且，分类讨论．
（ⅰ）当时，有，
从而，，
则；
（ⅱ）当时，则，，
因为，
则，从而．
综合所述：，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12. 已知变量与的10对观测数据为，且，，若关于的经验回归方程为，则变量的平均值______；______．
【答案】10 9
【解析】依题意，，又，则，解得，
由，得.
故答案为：10；9
13. 已知，，，则______．
【答案】2
【解析】由，得，
即，
整理得，由，得，
则，，于是，又，
所以.
故答案为：2
14. 已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】正项数列中，由，得，则，
即数列是以4为周期周期数列，而，则，
因此，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.故答案为：
四、解答题
15. 在中，为边的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，，试判断的形状．
解：（1）依题意，，在中，由正弦定理得，
即，解得，则，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
（2）由，得，在中，，
在中，，又，两式作商得：
，即，则，
于是或，而，即，
因此，，所以为非直角的等腰三角形.
16. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，．
（1）证明：；
（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：在中，，
则，即，
由平面，得平面，
又平面，则，又平面，
于是平面，又平面，则，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）解：由（1）知，两两垂直，显然，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记次交换后，盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为．
（1）求；
（2）求的数学期望．
解：（1）依题意，每次交换共有4种情况，其中有2种情况交换后、B盒子中仍为一黑一白两个小球，
另外2种情况交换后，盒子中有两个黑球或两个白球，再次交换后，B盒子中必为一黑一白两个小球，
则，，即有，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，
，，，
所以.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）设椭圆的焦距为，依题意，，则，
四边形为平行四边形，其面积，得，即，
联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）存在.
由消去得，
当时，恒成立，
设，则，
，
则
当，即时，为定值，所以.
19. 如果三个互不相同的函数，，在区间上恒有或，则称为与在区间上的“分割函数”．
（1）证明：函数为函数与在上的分割函数；
（2）若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数的取值范围；
（3）若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
解：（1）设，则，当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，则在处取得极大值，即为最大值，
即，则当时，；
设，则，当时，在上单调递咸，
当时，在上单调递增，则在处取得极小值，即为最小值，
即，则当时，，
于是当时，，
所以函数为函数与在上的“分割函数”.
（2）因为函数为函数与在上的“分割函数”，
则对，恒成立，
而，于是函数在处切线方程为，
因此函数的图象在处的切线方程也为，又，
则，解得，
于是对恒成立，
即对恒成立，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）对于函数，
当和时，，当和时，，
则为的极小值点，为极大值点，
函数的图象如图，
由函数为函数与在区间上的“分割函数”，
得存在，使得直线与函数的图象相切，
且切点横坐标，
此时切线方程为，即，
设直线与的图象交于点，
则消去y得，则，
于是
令，则，
当且仅当时，，所以在上单调递减，，
因此的最大值为，所以的最大值为.