[数学][期中]山东省日照市2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学][期中]山东省日照市2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了 已知函数，则， 已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知实数是2和8的等差中项，则（ ）
A. B. -4C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由题意：.故选：D
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A，，A错；
对B，，B正确；
对C，，C错；
对D，，D错.
故选：B
3. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A. 7B. 8C. 或8D.
【答案】D
【解析】等比数列中，是方程的两个根，
则，再根据等比数列性质可以求出.
故选：D.
4. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】因为，令得.
故选：A
5. 已知数列满足：，则（ ）
A. 34B. 42C. 46D. 64
【答案】B
【解析】，
则，，，；
则．
故选：B.
6. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】等差数列满足，
，
，，则，
等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，
当的前项和最大时的值为8.
故选：B
7. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：C.
8. 已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（ ）
A. 1B. C. -1D.
【答案】A
【解析】令，则，故当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且在出取得极小值，
当，，，，所以函数图像如图所示，
由可化为，
结合图像可知方程有两个不同的实数根，
故或，不妨设方程的两根为，，
若，与矛盾，故不成立；
若，则方程的两根为一正一负，不妨设，
结合的性质可得，，
故，
又因为，，所以.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 为函数的零点
B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极小值点
D. 是函数的最小值
【答案】BC
【解析】由的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以在和处取得极小值，在处取得极大值，
正确，
不一定是最小值，D错误，
由条件不能确定为函数的零点，A错误，
故选：.
10. 等差数列满足，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，设等差数列的公差为，
则由得，解得，
所以，故A正确；
对于B，由A以及等差中项公式得 ，
故，当且仅当时等号成立，
由知，故，
故由题意得，
所以B为递减数列，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，因为，
则当时，；当时，；
当时，；当时，，
故，故D正确
故选：ACD.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A， 则，
即，
解得故A正确；
对于B， 函数，则，
时， ，单调递减， 时， ，单调递增，
，即，时，等号成立，
已知，所以，故B正确；
对于C， 已知则，当且仅当，即时，
等号成立， 所以，所以，得，故C错误；
对于D， 设因为则，
设，则，
设，则，在上单调递增，
当时，所以，即，
所以在上恒成立，得在单调递增，
所以，即，故D错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在数列中，，且，则__________.
【答案】7
【解析】由已知得，所以为等差数列公差为2，
所以.
故答案为：7.
13. 已知函数是函数的极值点，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】，，令，解得.
所以，，在上为增函数.
所以时，.
，，
因为是函数的极值点，
所以，解得，所以.
所以，，在上为增函数，且，
则时，．
因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，
所以，即，解得.
故答案为：.
14. 已知各项均不为0的数列，其前项和为，且，对任意的，恒成立，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，
当时，，
所以,
所以,,
可得数列的奇数项是首项为 ，公差为2的等差数列，
偶数项是首项和公差均为2的等差数列，
由任意的 , 恒成立，可得，
即有 ，解得 ,①
又，即，解得 ②
由①②，可得,
因为各项均不为0,所以，则
由于，且，可得,
所以，都有 ,
综上，可得的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最值.
解：（1），
，
又∵曲线在处的切线方程为.
，，即得：，
解得：，
（2）由（1）得：，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，，
所以.
在区间上的最大值为13，最小值为5.
16. 已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，.
（1）求数列的前项和；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，
，
解得：，
，
，
，
，
两式作差得：
.
（2）由（1）得：.
则
.
17. 已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，对，，求正整数的最大值.
解：（1）函数的定义域为，
求导得，
①当时，有，此时函数在区间上单调递减；
②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增；
当时，，此时函数在区间上单调递减.
所以当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）当，时，恒成立，
等价于恒成立，
设，，则，
当时，有，
函数在上单调递增，且，，
则存在唯一的，使得，即，
当时，，；当时，，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，则当时，，
函数在上单调递减，
又因为，所以.
所以正整数的最大值是3.
18. 已知数列满足，且对任意正整数都有.
（1）写出，并求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；
（3）设是数列的前项和，求证：.
解：（1）因为对任意正整数都有，
故，，
令，可得，
所以.
当时，，
当时，，符合上式，所以；
（2）由（1）得，当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，
.
综上所述，；
若为偶数，则为奇数，由，得，
解得（舍去）或；
若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求的值为2.
（3）由
现在我们来证明时，，
令，求导得，
所以在上单调递增，所以，
结合当时，，有，
所以.
故
19. 已知函数.
（1）判断函数在区间上零点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，
①证明：；
②是否存在，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）零点有两个，证明如下：，则，
当时，单调递增，，故在上无零点；
当时，单调递减，，故在上有唯一零点；
当时，单调递增，，故在上有唯一零点；
综上，函数在区间上恰有两个零点.
（2）①，
由（1）知在上无极值点,在上有极小值点，即，在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，,在有极值点，
由得，
，
，
，
，则，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递增得，
.
②不存在，理由如下，
同①有，
则，
由在上单调递增，得，
，且，
当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即；
当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切成立，
故不存在使得.