[数学]贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考试题(解析版)

这是一份[数学]贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. ，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A：因，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；
故选：D.
2. 双曲线（）的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线可得，解得，
所以渐近线方程为.故选：A.
3. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知：为函数的对称轴，
则，则，
对于选项A：令，解得，不合题意；
对于选项B：令，解得，符合题意；
对于选项C：令，解得，不合题意；
对于选项D：令，解得，不合题意；
故选：B.
4. 空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.AQI的数值越大、级别越高，说明空气污染状况越严重.某地区4月1日22时至4月2日5时的AQI整点报告数值为：15，17，20，22，20，23，19，21，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】把数值从小到大排列为，
由，
所以这组数据的第70百分位数是第6个数，即21.故选：C.
5. 已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】联立，解得，即点在圆的内部，
即有，解得.故选：D.
6. 某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，
由题意可得：，解得，
所以该圆台的高为.
故选：C.
7. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（ ）
A. 虎年B. 马年C. 龙年D. 羊年
【答案】B
【解析】由
，
故除以的余数为，故除以的余数为，
故年后是马年.故选：B.
8. 已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，，
设椭圆的右焦点为，连接，
因为，可知点为的中点，
且点为的中点，则∥，，
由椭圆定义可知：，
因为为切点，可知，则，
可得，即，
解得，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
二、多项选择题
9. 已知非空集合，，均为的真子集，且.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】因为，
对于选项A：可知，故A错误；
对于选项B：因为，所以为真子集，故B错误；
对于选项C：可知为的真子集，故C正确；
对于选项D：因为为的真子集，且，
所以，故D正确；
故选：CD.
10. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于点中心对称
C. 的图象关于直线对称
D.
【答案】ABC
【解析】因，，
对于选项A：令，可得，故A正确；
对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则，
则，所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于选项B：因为，可得，
则，
即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；
对于选项D：因为，
令，可得，
令，可得，
又因为，则，
可知4为的周期，可得，即，
因为，所以，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围为
C. 若，则的外接圆的半径为2
D. 若，则的面积的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对A：由题意可得，由余弦定理可得，
即有，即，
由，故，即，故A正确；
对B：则，，解得，故B正确；
对C：由正弦定理可得，即，故C错误；
对D：若，则，
由正弦定理可得，即，
即
，
由，则，故，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 为虚数单位，若是以的实部为虚部、以的虚部为实部的复数，则的共轭复数的模长为______.
【答案】
【解析】因为的实部为2，的虚部为2，
由题意可知：，则，
所以的共轭复数的模长为.
故答案为：.
13. 已知四面体的四个面都为直角三角形，平面，为直角，且，则四面体的体积为______，其外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】因为，且，
可得，，
所以四面体的体积为；
取的中点，
因为四面体的四个面都为直角三角形，则，
可知四面体的外接球的球心即为点，半径，
所以其外接球表面积为.
故答案为：；.
14. 欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知，其中，，…，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则______.
【答案】
【解析】由题意可得，则，
当时，，
则.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.
（1）抛物线的方程；
（2）若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.
解：（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
设，则，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0），
设，线段的中点，
且直线过点和，
则直线的方程，即，
联立方程，消去x得，
则，可知，
将代入可得，
所以线段的中点的坐标为.
16. 2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A，两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.
（1）求问题A被回答正确的概率；
（2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望.
解：（1）设“甲抢到问题A”为事件M，“问题A被回答正确”为事件N，
由题意可知：，
由全概率公式可得，
所以问题A被回答正确的概率为.
（2）由题意可知：可能取值有：0，1，2，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望.
17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，，，是的中点，与交于点.
（1）证明：平面；
（2）求直线和平面所成角的大小.
（1）证明：因为平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面，则，
且∥，可得，
又因为，，
即，且是的中点，可得，
且，平面，
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为，则，可知，
则，
可得，
设直线和平面所成角为，则，可知，
所以直线和平面所成角为.
18. 已知函数和.
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；
（2）当时，证明：的图象恒在的图象的下方.
解：（1）因为的定义域为，则，
且直线的斜率为，
由题意可得：，解得，
此时的定义域为，，
令，解得；令，解得；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值.
（2）构建，则，
因为在内单调递增，可知在内单调递增，
且，
则在内存在唯一零点，
当，则；
当，则；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
又因为，可得，
则，，
即，可得，
若，可得，即，
可得，即，
所以的图象恒在的图象的下方.
19. 1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理：
（1）在复数域内解方程；
（2）若三次方程的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值；
（3）在的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.
解：（1）由可得，解得.
（2）由题意可知：，
将，，代入可得，
所以.
（3）设，，
因为，当且仅当∥时，等号成立，
可得，
即，
当且仅当时，等号成立，
因为方程的根恰好全是正实数，
设这n个正根分别为，
且，，，
由题意可知：，
因为，且均为正数，
则
，
当且仅当时，等号成立，
又因为
，
即，
所以.
0
1
2