[数学][期末]湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期期末调研考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期期末调研考试试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
2. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】A
【解析】由题意可得被抽到的研发人员有人，
销售人员有人，
则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多.
故选：A.
3. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则或
【答案】C
【解析】若，则或A错误；
若，则或异面，B错误；
若，则在内必存在直线和a平行，不妨设为l，
而，则，则，C正确；
若，则与的位置关系不确定，还可能异面，D错误.
故选：C.
4. 函数是（ ）
A. 周期为偶函数B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数D. 周期为的奇函数
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，则是偶函数，
因为，，
所以是周期为的偶函数.
故选：A.
5. 在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（ ）
A. 海里B. 海里
C. 海里D. 海里
【答案】D
【解析】设该船的初始位置为小时后的位置为，过作，垂足为，
则为所求的最短距离，
由题意可知海里，则，
在中，由正弦定理可得，
则海里，
在中，海里，
，
则海里.
故选：D.
6. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，
设球的半径为，则由已知条件可得，
设圆柱的体积为，球的体积，
由圆柱的体积公式可得，
由球的体积公式可得，
则.
故选：D.
7. 我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，则，
故，
因为，且，所以，所以，
因为，且，所以，
所以，则，
因为，所以.
故选：C.
8. 若向量是一组基底，向量，则称为向量在其底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
因为向量在基底下的坐标为，所以，，
因为，
所以在基底下的坐标是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（ ）
A. 该商场有20名销售员
B. 该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元
C. 该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元
D. 该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元
【答案】ACD
【解析】由统计图可知该商场有名销售员，则A正确；
该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误；
该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确；
因为，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 不等式的解集是
D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称
【答案】AC
【解析】因，
所以的最小正周期为，故A正确；
因为，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
由，即，得，
则，解得，
即不等式的解集是，，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
因为，
所以的图象不关于点中心对称，故D错误.
故选：AC.
11. 在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
B. 若为线段上的动点，则的最小值为
C. 若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为
D. 若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：由正方体的定义可知∥，
则是异面直线与所成的角或补角，
因为平面，且平面，则，
在中，因为，则，
所以，则A正确；
对于选项B：将平面展开到平面，
则，
所以的最小值为，故错误；
对于选项C：过点作∥，交于点，
可知：∥∥，
则平面即为平面，平面即为平面，
则平面平面，
且平面，则平面，
且平面，则，
可知为平面与平面的夹角，
因为为线段上的动点，所以为线段上的动点，
在正方体，结合对称性可知：
当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值，
此时，则；
当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值；
综上所述：，
所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为，故C正确；
对于选项D：设平面与平面的交线为，
因为∥平面，平面，则∥，
又因为∥，且，可知为平行四边形，
则∥，可得∥，
因为与平面交于点，即，平面，
且平面，可知平面，
又因为平面平面，则，可知，
且平面，可知三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数是纯虚数，且，则__________.
【答案】3
【解析】设，且，则，
所以，
解得，
故.
故答案为：3.
13. 如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，
因为，所以，
即取值范围为.
故答案为：
14. 如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】如图，
延长到点，使得，连接，
易证，则，故，
设，则.因为的周长为4，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
设，则.因为，
所以，
则，
因为，所以，
所以，
所以，则的最大值是.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）；
（3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数.
解：（1）由题意得，
解得.
（2），中位数在这一组，
设中位数的估计值为，则，
解得，即样本成绩的中位数约为81.4.
（3）全年级“地理爱好者”约有人.
16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）由三棱柱的定义可知，
因为分别是棱的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面，
因为分别是棱的中点，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，且，
所以平面平面.
（2）作的延长线于点，连接，
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，
则是直线与平面所成的角，
设，则，
因为，所以，则，
因为是等边三角形，所以，所以，
由余弦定理可得，
因为平面平面，所以，
则，
故，即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围.
解：（1）由对称性知为函数的对称轴，
所以，则，解得，
因为，所以，
因为的图象经过点，所以，
所以，解得，
因为，所以，
因为的图象经过点，所以，解得，
故.
（2）由（1）可得，则，
因为是锐角三角形，所以，所以，则，
故的面积，
由正弦定理可得，
则，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，则，即，
故的面积.
18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.
（1）证明：平面；
（2）茬，求二面角的正切值；
（3）是否存在实数，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.请说明理由.
解：（1）因为四边形是菱形，所以，
因为平面，且，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是菱形，且，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，且，所以平面.
（2）取棱的中点，连接，作，垂足为，连接，
因为分别是的中点，所以，
由（1）可知平面，则平面，
因为平面，所以，
因为平面，且，所以平面，
因为平面，所以，则是二面角的平面角，
因为，所以，
因为四边形是菱形，且，所以，且，
因为，所以，
因为是的中点，所以，
因为平面，且平面，所以，
则.
（3）连接，交于点，连接，作，交于点，
因为平面，且平面平面，所以，
因为四边形是菱形，所以是的中点，所以是的中点，即，
因为，所以是的中点，
因为，所以，所以，
则，即.
19. 点是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.
（1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；
（2）若在正方体棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；
（3）若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：.
解：（1）如图1，
因为，所以，
由正方体的定义可知，则，
故，，
因为，
所以，
则.
（2）如图2，设，
则，
因为，
所以，
则，解得，
故.
（3）证明：如图3，
因为是的等分点，所以
，
在中，由正弦定理可得，
则，
在中，同理可得，
因为，所以，
则，
同理可得，
故.