[数学][期中]吉林省BEST合作体”2023-2024学年高二下学期期中试题(解析版)

这是一份[数学][期中]吉林省BEST合作体”2023-2024学年高二下学期期中试题(解析版)，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 定义新运算等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章6.1.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 7种D. 14种
【答案】D
【解析】由题意进入商场的不同方式共有种.
故选：D.
2. 已知函数在处可导，若，则（ ）
A. 22B. 11C. -22D. -11
【答案】A
【解析】因为
,
又，
所以.
故选：A.
3. 在公差为的等差数列中，，则（ ）
A. 44B. 36C. 30D. 28
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为， 因为，
所以，
解得，故，故B正确.
故选：B
4. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】，
因为函数在上单调递增，
所以恒成立，
则，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
5. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. -3B. 3C. -2D. 2
【答案】B
【解析】若，，变形得到，，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故选：B.
6. 定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，令，则
即，所以，所以，
所以，
所以，
所以单调递增区间为.
故选：B.
7. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（ ）
A. 28B. 14C. 20D. 10
【答案】A
【解析】设公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
由，得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，得，
所以，
故选：A
8. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以且，则，
故，令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，则，即的取值范围是.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/sB. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C. 该物体在第1s时的动能为16JD. 该物体在第1s时的动能为8J
【答案】AD
【解析】由题意得，
则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.
由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.
故选：AD.
10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ）
A. 可能为等差数列B. 不可能为等比数列
C. 是等差数列D. 是等比数列
【答案】AC
【解析】对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确．
对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误．
对于C，设的公差为，则，得，
因为，所以数列是等差数列，所以C正确．
对于D，设的公比为，则，
当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误．
故选：AC
11. 已知函数，存在n个零点，，则（ ）
A. 为偶数B.
C. D.
【答案】AD
【解析】若，则函数没零点，
当时，令可得
所以
令
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故时，取极大值也为最大值，
当时，恒成立，
故故当有解时，
所以故选项B错误，
且当时，函数有两个零点，
当时，则图象关于对称，
故当函数有4个零点，故选项A正确，
所以，选项C错误，
选项D：设函数零点从左至右依次为，
则则
，选项D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是________.
【答案】120
【解析】由题意得，先从6件礼物中任选3件，共有不同的方法，
然后选出3件送给3位同学，每人1件，共有不同的方法，
所以由分步乘法原理可知共有不同的方法，
故答案为：120
13. 若函数在区间上有极值，则a取值范围为________.
【答案】
【解析】由求导可得，，
因函数在区间上有极值，
则方程在区间上有实根，
故须使，（若，得，此时，函数在上无极值）
解得或且方程在区间上有实根，
也即函数与在区间上有交点.
因在上递减，在上递增，且，，
故，即，解得，又或，
故a的取值范围为.
故答案为：.
14. 在数列中，，. 设数列的前项和为，若存在，使得不等式，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】由已知有
，故，
又，所以是等差数列，所以，
所以，
则
，
所以，
因为存在，使得不等式，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设数列的前n项和为，，.
（1）证明：为等比数列.
（2）若，，求数列的前n项和.
解：（1）由，，可得，所以，
解得，
当时，，又，
两式相减得，即，因为，
所以数列是首项为，公比为等比数列；
（2）因为，，，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，由（1）知，，
所以①，
②，
①-②得，
故.
16. 已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，则，
当时恒成立，所以在上单调递增，
又，，
所以在上的值域为.
（2）函数的定义域为，
又，
当，即时恒成立，所以在上单调递减；
当，即时，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上可得：当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增.
17. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b；
（2）若，，求a的取值范围.
解：（1）因为，所以，
又，所以，由题意，
又即，两式联立解得.
（2）由，得，即，当时，R，
当时，，当时，，记，
则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以，当时，，
所以，
综上，a的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的极值.
（2）已知，且.
①求的取值范围；
②证明:.
解：（1）由题意，
则当时，，
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值.
（2）①因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，且，
又，，所以的取值范围为.
②因为，，由（1）的单调性可知，
令，则，因为，所以，
即，解得，
所以，要证，即证.
令，则，
所以在上单调递增，所以，故成立.
19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．
（1）求的值；
（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．
①求的通项公式；
②证明：对任意的，都有．
解：（1）由，得，
则，
所以；
由，得，则，
所以.
（2）①依题意，，则，
对于给定的，存在唯一确定的，使得，即，
而，则当时，，设，
此时，即；
当时，，设，
此时，即，
因此，
恰好跳过，即所有正整数中恰好少了，
因为，所以.
②由，得，则为递增数列，
，
当时，，
则
，
所以对任意的，都有.