[数学][期中]云南省昆明市嵩明县2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

这是一份[数学][期中]云南省昆明市嵩明县2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】由得，
则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，
故由圆的对称性可知：圆心在直线上，
则.
故选：D.
2. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当时取等号，最小值为.
故选：B.
3. 若为第三象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，为第三象限角
所以，
所以，
故选：C
4. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A. A与对立B.
C. A与相互独立D. 与相互独立
【答案】C
【解析】由题意可知：，
对于选项A：事件“”，事件“为奇数”，
例如，则，不为奇数，
即A事件和事件可以同时不发生，所以A事件与事件不对立，故A错误；
对于选项B：样本空间共个样本点，
且，共个样本点，所以，
，共个样本点，，
，共个样本点，，
则，所以，故B错误；
对于选项C：因为，所以与不相互独立，故D错误；
对于选项D：因为，
则，
且，
可得，
所以与相互独立，故C正确．
故选：C．
5. 尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（ ）
A. 69B. 71C. 73D. 75
【答案】D
【解析】由函数模型，当时,,
可得,即①.
设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,
则，即②,
②①得，即，则.
故选：D.
6. 已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，，则的离心率为（ ）
A. ·B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，取线段的中点，连接，
因为，
所以为等腰三角形，
所以，且，
所以
，
设，则，
所以的离心率
.
故选：D.
7. 云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ）
A. 360B. 450C. 540D. 1020
【答案】C
【解析】由题意可知：三个景点安排的人数之比为或或，则有：
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排人数之比为，则有种安排方法；
故不同的安排方法种数是.
故选：C.
8. 下列命题正确的有（ ）个
①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列；
②若数列为等差数列，则为等比数列；
③数列满足：，则
④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】对于①：设等比数列的公比为，
若，则，可得，
则，故不是等比数列，①错误；
对于②，设等差数列公差为，则，
则是个常数，所以为等比数列，故②正确；
对于③，依题意，，它不满足，③错误；
对于④，，当时，，即，解得，
当时，，于是，即，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的前项和，④正确.
故选：B
二、多选题（每小题6分，共18分；全部选对6分，部分选对3分，错选0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，空集是任何集合的子集，
所以，故A错误；
对于B，0属于集合，故B正确；
对于C，属于集合，故C正确.
对于D，空集是任何集合的子集，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 在上有4个零点，则实数的取值范围是
D. 将图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象
【答案】AD
【解析】不妨设，则，
解得．又，
所以，
解得，，
取符合条件的的一个值，不妨令，
则．
对于A选项，因为．
所以的图像关于中心对称，故A选项正确；
对于B选项，令，
解得，
所以的单调递增区间为:，
取，得的一个单调递增区间为．
因为，
所以在上不具有单调性，故B选项错误；
对于C选项，因为，
所以，
所以，解得，
故C选项错误；
对于D选项，将的图象向右平移个单位长度得到:
的图象，
故D选项正确，
故选:AD．
11. 棱长为2的正方体中，点在底面内运动，点是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 若点到直线的距离为，则点的轨迹为一个椭圆的一部分
【答案】CD
【解析】对于A，当点在处时，过点只能作一条直线，故A错误；
对于B，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，则，
故B错误；
对于C，，
设面的法向量，点到平面的距离为，
则，令，解得，，
故，由点到平面的距离公式得，故C正确；
对于D，因为点到直线的距离为，
所以点的轨迹是以为对称轴的圆柱，
而点又在底面上，底面与对称轴不垂直，
因此点在底面与圆柱的截面上，此截面必为椭圆的一部分，故D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量的线线夹角、点线距及截面，解题关键是要掌握线线向量夹角公式及线面距的公式.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若复数，则_______.
【答案】
【解析】由，得，
所以，所以.
故答案为：
13. 在中，，则的外接圆面积为__________.
【答案】
【解析】根据题意，，
由余弦定理得，
因为，则，
由正弦定理得，即，
所以的外接圆面积为.
故答案为：.
14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】，
则，
故在上单调递减，
因为，
故有，
即有，则，
即，则，故为周期为8的周期函数，
由，故，
由，故，
即，故，
即有，
则，
对，有，
即有，
由在上单调递减，故，
即不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共个小题，共77分）
15. 已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
解：（1）因为成等比数列，
所以，
解得，
所以.
（2）因为，
所以，
所以，
所以.
16. 如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面，，，，，.

（1）证明：；
（2）若且的面积为.求与平面所成角的正弦值.
解：（1）因为，在中，由余弦定理可得
，
解得，
所以，即，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，
由平面，所以，
又因为，
所以，
（2）在中，，，，
所以，
又，
所以，
由（1）知平面，则以为原点，的方向为轴，建立如图所示的坐标系，

点的纵坐标为，横坐标为，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）时，，
所以，故切点为，
所以，即切线的斜率为1；
所以切线的方程为；
（2），时，，
①当时，在区间上单调递增，
所以满足条件；
②当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
故恒成立；
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故不能恒成立，故不合题意；
综上所述，实数的取值范围为.
18. 平面上一动点满足．
（1）求P点轨迹的方程；
（2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值
解：（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
设，则，，，
所以的方程为．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，
①当的斜率不存在时，
，令，解得，则，此时，
在中，，，即，
②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，则，，
假设成立，即，则有，即．
又，，
又点P的坐标满足，即，
，假设成立，
综上，当时，有成立．此时，
由对称性知，，而，
为定值．
19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.
（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明；
（2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；
（3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.
解：（1）恰含有两个元素且具有性质的集合；
；
（2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有.
①，易知此时集合具有性质.
②数集只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得：，此时集合具有性质.
③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合具有性质，
所以有，这说明集合具有性质；
（3）不存在具有性质非空实数集，使得集合具有性质，
由于非空实数集具有性质，令集合，
依题意不妨设，
因为集合具有性质，所以，
若，则，
因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾，
故集合不是单元素集，
令，且，
①，可得，即，这与矛盾；
②，由于，所以，因此，这与矛盾
综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质.