[数学][期末]上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)

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1. 是第_____________象限角.
【答案】三
【解析】易知，因此与的终边相同，
因为在第三象限，所以是第三象限角.
故答案为：三.
2. 函数的最小正周期是_____________.
【答案】
【解析】函数的最小正周期.
故答案为：.
3. 已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是______cm．
【答案】10
【解析】由题意，弧长是cm.
故答案为：10.
4. 已知点，，若，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】设，则，，
因为，所以，即，解得，
所以.
故答案为：.
5. 已知无穷数列满足，，则______．
【答案】
【解析】因为，，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
设的前项和为，则，
所以.
故答案为：.
6. 若，则__________.
【答案】
【解析】，，，
，，，
.
故答案为：.
7. 己知等差数列，若，则______．
【答案】
【解析】因为等差数列，，，
则.
故答案为：.
8. 已知，，在上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【解析】由，得，
所以在上的投影向量.
故答案为：.
9. 已知，且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是 ______.
【答案】
【解析】因为关于的方程有实数根，所以，
即，设与的夹角为，所以，
因为，所以，即与的夹角的取值范围是.
故答案为：.
10. 若复数，满足．且（i为虚数单位），则______．
【答案】
【解析】设，，
，
，又，所以，，
，
，
.
故答案为：.
11. 已知函数，将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的部分图像如图所示，若，则______．
【答案】
【解析】设，其中为的最小正周期，
根据得：，解得，
因为是由图像上的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，
所以的解析式为，故，即.
故答案：.
12. 已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，即，解得，
设所对应的两点分别为、，则、，
设的解所对应的两点分别为、，记为，，
当，即，解得，即时，
因为、关于轴对称，且，关于轴对称，
则以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以、、、四点共圆；
当，即或时，
此时，，且，，
故此圆的圆心为，半径，
又圆心到的距离，
解得，综上可得.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（）
A. 无最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值
C. 有最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值
【答案】A
【解析】易得该等差数列首项为负，公差为正，
故该数列的前n项和，
故当或时取得最小值，无最大值.
故选：A.
14. 用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当n＝k时，有不等式，
当n＝k+1时，不等式为，
将上面两式左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，
不等式左边应添加的项是.
故选：D.
15. 对于函数，给出下列结论：
①函数的图象关于点对称；
②函数的对称轴是，；
③若函数是偶函数，则的最小值为；
④函数在的值域为.
其中正确的命题个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】因为
，
因为，所以函数的图象关于点对称，
故①正确；
令，解得，
所以函数的对称轴是，，故②正确；
因为为偶函数，
所以，解得，
所以的最小值为，故③正确；
当，则，当，
即时，故④错误.
故选：D.
16. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由八卦图的对称性可得，
故，
，
设到的距离为，则，
解得，
又
，
又即在上的投影，
其最大值为，
最小值为，
故，
即.
故选：C.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知，，．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
解：（1）因为，，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，即，
即，解得.
18. 设复数，．
（1）若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围；
（2）若为纯虚数，求．
解：（1）由题意可知，因为，
所以，
所以，
又因为在复平面上对应的点在第一象限，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为为纯虚数，
所以，即，
所以，
故.
19. 如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，．
（1）求的面积．
（2）快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？
解：（1）因为，，，
由余弦定理得，
即，故，
解得，负值舍去，
故.
（2）在中，由正弦定理得，
又，故，
因为，所以，
，
故汽车所需时间为h，
因为，由余弦定理得
，
故，
故，
快递小哥出发25分钟，骑行路程为，
剩余路程为，到达C处所需时间为，
其中，
故，所以汽车先到达C处.
20. 已知，，记.
（1）求函数的值域；
（2）求函数，的单调减区间；
（3）若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值．
解：（1）由题意可知，
，
则函数函数的值域为.
（2）由，
因为，所以，令，解得，
函数，的单调减区间.
（3），
因为，所以，
根据条件在恰有2个零点，则有两个根，
即有两个根，则，解得，
实数的取值范围，
根据函数在恰有2个零点，即有两个根，
因为，令，解得，所以关于对称，
则．
21. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
（1）若数列具有性质P，且，，求的值；
（2）若，求证：数列具有性质P；
（3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.
解：（1）由题意可知成等比数列，
则，
即，，解得.
（2）证明：；
，
，，
数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质.
（3）设数列的前项和为，则，
当时，；
当时，；
经检验，，
由，解得，
则，
由数列具有性质，则为等比数列，
，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列，
则，于是，
即，由，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，则，
，化简可得，
①若为偶数，则，即；
②若为奇数，则，即；
综上可得，的取值范围是且.