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人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用精品教案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用精品教案，文件包含2024-2025学年高中数学人教A版必修一453函数模型的应用教案教学设计docx、2024-2025学年高中数学人教A版必修一453函数模型的应用分层作业教师版docx、2024-2025学年高中数学人教A版必修一453函数模型的应用分层作业docx、2024-2025学年高中数学人教A版必修一453函数模型的应用导学案docx等4份教案配套教学资源，其中教案共22页， 欢迎下载使用。
2.能结合已知数据的特征,根据不同函数增长的差异,合理选择函数模型,并利用所建立的函数模型解决有关实际问题.
二、学习过程
新知引入
解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?
第一步:分析、联想、转化、抽象; （审题）
第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; （建模）
第三步:解答数学问题,求得结果; （求模）
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.（还原）
函数模型类型：
类型1：指数函数模型
解析式: y=abx+c,条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1.
类型2：对数函数模型
解析式: y=mlgax+n,条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1.
典例解析
探究一 指数函数模型
例1 某企业于2021年在基地投入200万元研发资金用于养殖业发展,并计划今后7年内在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长15%.
(1)写出第x年(2022年为第1年)该企业投入的研发资金y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域.
(2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过400万元?(参考数据:lg 0.15≈-0.824,lg 1.5≈0.176,lg 0.115≈-0.939,lg 1.15≈0.061,lg 2≈0.301).
探究二 对数函数模型
例2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度v(单位:km/min)可以表示为v=12lg3x100-lg x0,,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
(1)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量约为多少个单位?
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1 km/min,则飞行时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?(参考数据:lg 2≈0.3,31.4≈4.66 )
探究三 函数模型的选择
例3 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元,3000≤x≤9000)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100lg20x+50.试分析这三个函数模型哪个符合公司的要求.
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少为多少万元?
课堂练习
1.某企业对员工的奖励y(单位:万元)与该企业的年产值x(单位:万元,x>10)符合函数模型y=lg x+kx+4(k为常数).已知该企业的年产值为100万元时,对员工的奖励为8万元,则对员工的奖励为27万元时,该企业的年产值为( )
A.10 000 万元 B.1000 万元 C.500 万元 D.300 万元
2.如图所示是某河塘的浮萍面积y(m2)与时间t(月)的函数y=kat(k≠0,a>0且a≠1)的图象,则下列说法正确的是( )
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第4个月时,浮萍面积会超过25 m2
C.浮萍面积蔓延到81 m2只需6个月
D.若浮萍面积蔓延到10 m2,20 m2,40 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,
则t1+t3=2t2
3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃下的保鲜时间是192小时,在22 ℃下的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是( )
A.k>0
B.该食品的储存温度越高保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃下的保鲜时间是96小时
D.该食品在33 ℃下的保鲜时间是24小时
课堂小结
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
2024—2025学年上学期高一数学导学案（40）
4.5.3 函数模型的应用
2.能结合已知数据的特征,根据不同函数增长的差异,合理选择函数模型,并利用所建立的函数模型解决有关实际问题.
二、学习过程
新知引入
解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?
第一步:分析、联想、转化、抽象; （审题）
第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; （建模）
第三步:解答数学问题,求得结果; （求模）
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.（还原）
函数模型类型：
类型1：指数函数模型
解析式: y=abx+c,条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1.
类型2：对数函数模型
解析式: y=mlgax+n,条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1.
典例解析
探究一 指数函数模型
例1 某企业于2021年在基地投入200万元研发资金用于养殖业发展,并计划今后7年内在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长15%.
(1)写出第x年(2022年为第1年)该企业投入的研发资金y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域.
(2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过400万元?(参考数据:lg 0.15≈-0.824,lg 1.5≈0.176,lg 0.115≈-0.939,lg 1.15≈0.061,lg 2≈0.301).
探究二 对数函数模型
例2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度v(单位:km/min)可以表示为v=12lg3x100-lg x0,,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
(1)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量约为多少个单位?
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1 km/min,则飞行时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?(参考数据:lg 2≈0.3,31.4≈4.66 )
探究三 函数模型的选择
例3 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元,3000≤x≤9000)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100lg20x+50.试分析这三个函数模型哪个符合公司的要求.
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少为多少万元?
课堂练习
1.某企业对员工的奖励y(单位:万元)与该企业的年产值x(单位:万元,x>10)符合函数模型y=lg x+kx+4(k为常数).已知该企业的年产值为100万元时,对员工的奖励为8万元,则对员工的奖励为27万元时,该企业的年产值为( )
A.10 000 万元 B.1000 万元 C.500 万元 D.300 万元
2.如图所示是某河塘的浮萍面积y(m2)与时间t(月)的函数y=kat(k≠0,a>0且a≠1)的图象,则下列说法正确的是( )
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第4个月时,浮萍面积会超过25 m2
C.浮萍面积蔓延到81 m2只需6个月
D.若浮萍面积蔓延到10 m2,20 m2,40 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,
则t1+t3=2t2
3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃下的保鲜时间是192小时,在22 ℃下的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是( )
A.k>0
B.该食品的储存温度越高保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃下的保鲜时间是96小时
D.该食品在33 ℃下的保鲜时间是24小时
课堂小结
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
2024—2025学年上学期高一数学导学案（40）
4.5.3 函数模型的应用
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