2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷大题6　导数的综合问题（2份打包，原卷版+含解析）

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(1)求函数f(x)的解析式；
(2)存在x0∈[－2,0]，使得f(x0)>t2－2t成立，求实数t的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋6，
由f′(－1)＝f′(2)＝0，
得3a－2b＋6＝0且12a＋4b＋6＝0，解得a＝－1，b＝eq \f(3,2)，
又f(－1)＝－eq \f(5,2)，∴c＝1，经检验满足题意，∴f(x)＝－x3＋eq \f(3,2)x2＋6x＋1.
(2)存在x0∈[－2,0]，使得f(x0)>t2－2t成立，等价于f(x)max>t2－2t，x∈[－2,0]，
∵f′(x)＝－3x2＋3x＋6＝－3(x－2)(x＋1)，
当x∈[－2，－1)时，f′(x)0，
∴f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,0]上单调递增，
又f(－2)＝3，f(0)＝1，∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－2)＝3，
∴t2－2t0，
所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f′(0)＝－30，所以存在唯一x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，使f′(x0)＝0.
则当x∈[0，x0)时，f′(x)0.
故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
因为f(0)＝1>0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝ SKIPIF 1 < 0 －2eq \r(2)0，
令f′(x)>0，得00，∴f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝2，∴eq \f(e,a)＋1＝2，∴a＝e，符合题意；
②当a0时，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．
(2)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x，由g(x)＝x＋ln m，得g(x)＝ln eg(x)，
∴eg(x)＋g(x)＝eg(x)＋ln eg(x)＝f(eg(x))，∴f(eg(x))≥f(x)，
由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴eg(x)≥x，即ex＋ln m≥x，∴x＋ln m≥ln x，∴ln m≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，则h′(x)＝eq \f(1,x)－1，
当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)g(0)＝0，即G′(x)>0对∀x∈(0,1)恒成立，则G(x)在(0,1)上单调递增，
可得G(x)>G(0)＝0，所以sin x>x－x2，x∈(0,1)．
综上所述，当0