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2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题13 立体几何(2份打包,原卷版+含解析)
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1.如图,△O′A′B′是△OAB的直观图,则△OAB是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
答案 C
解析 因为∠x′O′y′=45°,则线段A′B′与y′轴必相交,令交点为C′,如图(1)所示,
在平面直角坐标系Oxy中,点A在x轴上,可得OA=O′A′,点C在y轴上,可得OC=2O′C′,
如图(2)所示,因此点B必在线段AC的延长线上,所以∠BOA>∠COA=90°,所以△OAB是钝角三角形.
2.下列四个命题中,正确的是( )
A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B.对角面是全等矩形的六面体一定是长方体
C.有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D.长方体一定是直四棱柱
答案 D
解析 对于A,底面是菱形的直平行六面体,满足条件但不是正棱柱;对于B,底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;C显然错误;长方体一定是直四棱柱,D正确.
3.从平面外一点P引与平面相交的直线,使P点与交点的距离等于1,则满足条件的直线可能有( )
A.0条或1条 B.0条或无数条
C.1条或2条 D.0条或1条或无数条
答案 D
解析 当点P到平面的距离大于1时,没有满足条件的直线;当点P到平面的距离等于1时,满足条件的直线只有1条;当点P到平面的距离小于1时,满足条件的直线有无数条.
4.圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水,若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后,水恰好淹没了玻璃球,则玻璃球的半径为( )
A.eq \f(20,3) cm B.15 cm
C.10eq \r(3) cm D.20 cm
答案 B
解析 根据题意,玻璃球的体积等于放入玻璃球后水的体积减去原来水的体积.设玻璃球的半径为r,即圆柱形玻璃杯内壁的底面半径为r,则玻璃球的体积为eq \f(4,3)πr3,圆柱的底面面积为πr2,若放入一个玻璃球后,水恰好淹没玻璃球,则此时水面的高度为2r,所以eq \f(4,3)πr3=πr2(2r-10),解得r=15(cm).
5.设m,n为两条直线,α,β为两个平面,则α⊥β的充分条件是( )
A.m∥α,n∥β,m⊥n
B.m⊥α,n∥β,m⊥n
C.m⊥α,n⊥β,m⊥n
D.m⊂α,n⊂β,m⊥n
答案 C
解析 对于A,如图(1),α∩β=l,m⊥l,n∥l,则满足m∥α,n∥β,m⊥n,平面α与β不一定垂直,故A错误;
对于B,如图(2),α∩β=l,n∥l,m⊥α,则满足n∥β,m⊥n,平面α与β不一定垂直,故B错误;
对于C,如图(3),m⊥α,n⊥β,m⊥n,在直线m,n上取两个向量eq \(BA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),则eq \(BA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→))分别为平面α,β的法向量,且eq \(BA,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→)),则α⊥β,故C正确;
对于D,如图(4),α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m⊥l,n∥l,则m⊥n,平面α与β不一定垂直,故D错误.
6.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱,底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体),发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为eq \f(1,2),则“切面”所在平面与底面所成的角为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
答案 B
解析 设椭圆与圆柱的轴截面如图所示,作DE⊥BC交BC于点E,
则∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角,设为θ.设底面圆的直径为2r,则CD为椭圆的长轴2a,短轴为2b=DE=2r,则椭圆的长轴长2a=CD=eq \f(2r,cs θ),即a=eq \f(r,cs θ),所以椭圆的离心率为
e=eq \f(1,2)=eq \f(c,a)=eq \r(1-\f(b2,a2))=eq \r(1-\f(r2,\f(r2,cs2θ)))=sin θ,所以θ=eq \f(π,6).
7.如图,圆台内有一个球,该球与圆台的侧面和底面均相切.已知圆台的下底面圆心为O1,半径为r1,圆台的上底面圆心为O2,半径为r2(r1>r2),球的球心为O,半径为R,记圆台的表面积为S1,球的表面积为S2,则eq \f(S1,S2)的可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(π,3) D.eq \f(4,3)
答案 A
解析 如图,作出圆台的轴截面,作DF⊥BC,垂足为F,
由题意知圆O与梯形ABCD相切,则DC=DE+CE=O2D+O1C=r2+r1,
又DC=eq \r(DF2+FC2)=eq \r(4R2+r1-r22),故eq \r(4R2+r1-r22)=r1+r2,化简可得R2=r1r2,
则eq \f(S1,S2)=eq \f(πr\\al(2,1)+r\\al(2,2)+πr1+r2r1+r2,4πR2)=eq \f(r\\al(2,1)+r\\al(2,2)+r1r2,2r1r2)=eq \f(r\\al(2,1)+r\\al(2,2),2r1r2)+eq \f(1,2)>eq \f(2r1r2,2r1r2)+eq \f(1,2)=eq \f(3,2)(r1>r2,故取不到等号),
由于eq \f(3,2),eq \f(π,3),eq \f(4,3)都不大于eq \f(3,2),故eq \f(S1,S2)的可能取值为eq \f(π,2).
8.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=VC=1(单位:dm),小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开,使截面平行于直线VB和AC,则该截面面积(单位:dm2)的最大值是( )
A.eq \f(1,4) dm2 B.eq \f(\r(2),4) dm2
C.eq \f(\r(3),4) dm2 D.eq \f(3,4) dm2
答案 B
解析 根据题意,在平面VAC内,过点P作EF∥AC分别交VA,VC于点F,E,在平面VBC内,过点E作EQ∥VB交BC于点Q,在平面VAB内,过点F作FD∥VB交AB于点D,连接DQ,如图所示,
因为EF∥AC,所以△VEF∽△VCA,设其相似比为k,则eq \f(VF,VA)=eq \f(VE,VC)=eq \f(EF,AC)=k,0
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