2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题15　直线与圆（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题15　直线与圆（2份打包，原卷版+含解析），文件包含2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题15直线与圆原卷版doc、2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题15直线与圆含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。

1．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若l1⊥l2，则(3－a)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝1或a＝2.故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．
2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
答案 B
解析 直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0，))所以直线恒过定点(2,0)，
因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交．
3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
答案 C
解析 因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，所以该直线的斜率－eq \f(1,a)<0，直线在y轴上的截距－eq \f(b,a)>0，可得a>0，b<0.
4．已知点M(1，eq \r(3))在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 D
解析 点M(1，eq \r(3))代入圆C：x2＋y2＝m得，m＝1＋3＝4，当l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆C：x2＋y2＝4相交，不合题意；当l的斜率存在时，设切线l的方程为y－eq \r(3)＝k(x－1)，即kx－y＋eq \r(3)－k＝0，则eq \f(|k－\r(3)|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq \f(\r(3),3)，设l的倾斜角为θ，则tan θ＝－eq \f(\r(3),3)且0°≤θ<180°，故l的倾斜角为150°.
5．已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，则ab的最大值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
答案 A
解析 因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)，所以a＋b＝1，又a>0，b>0，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，即当a＝b＝eq \f(1,2)时，ab取最大值eq \f(1,4).
6．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1＋3λ)x＋(1－2λ)y－(7＋λ)＝0(λ为任意实数)的距离的最大值为( )
A．2eq \r(3)＋1 B．6
C．3eq \r(2)＋1 D．5
答案 B
解析 将直线方程变形为l：(x＋y－7)＋(3x－2y－1)λ＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－7＝0，,3x－2y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，))所以直线过定点Q(3,4)，因为P在单位圆上运动，圆心O(0,0)，圆的半径r＝1，故原点到直线l距离的最大值为|OQ|＝eq \r(32＋42)＝5，则P点到直线l的距离的最大值为r＋|OQ|＝1＋|OQ|＝1＋5＝6.
7．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋eq \f(3\r(2),2) B．4
C．1＋3eq \r(2) D．7
答案 C
解析 方法一 令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3eq \r(2)≤k≤1＋3eq \r(2)，故x－y的最大值是3eq \r(2)＋1.
方法二 x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cs θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0,2π]，则x－y＝3cs θ－3sin θ＋1＝3eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＋1，
因为θ∈[0,2π]，所以θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，则当θ＋eq \f(π,4)＝2π，即θ＝eq \f(7π,4)时，x－y取得最大值3eq \r(2)＋1，
方法三 由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝eq \f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq \r(2)≤k≤1＋3eq \r(2).
故x－y的最大值为3eq \r(2)＋1.
8．)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于( )
A．1 B.eq \f(\r(15),4) C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(6),4)
答案 B
解析 如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C，
由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq \r(5)，
所以圆心到A(0，－2)的距离为eq \r(2－02＋0＋22)＝2eq \r(2)，
由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC，所以sineq \f(∠BAC,2)＝eq \f(r,2\r(2))＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)，
所以cs∠BAC＝1－2sin2eq \f(∠BAC,2)＝－eq \f(1,4)<0，所以∠BAC为钝角，且∠BAC＋α＝π，
所以sin α＝sin∠BAC＝eq \r(1－cs2∠BAC)＝eq \f(\r(15),4).
二、多项选择题
9．已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m的值可以是( )
A．－eq \f(7,5) B.eq \f(7,5) C．－eq \f(9,5) D.eq \f(9,5)
答案 AC
解析 因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，所以eq \f(|2m＋3－3m＋1＋m－1|,\r(m＋32＋m＋12))＝eq \f(|4m＋3＋5m＋1＋m－1|,\r(m＋32＋m＋12))，化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－eq \f(9,5)或m＝－eq \f(7,5).
10．动点P在圆C1：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则下列说法正确的是( )
A．两个圆心所在的直线斜率为－eq \f(4,3)
B．两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0
C．两圆公切线有两条
D．|PQ|的最小值为0
答案 AD
解析 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4.两个圆心所在的直线斜率为eq \f(－4－0,3－0)＝－eq \f(4,3)，所以选项A正确；
因为|C1C2|＝eq \r(32＋－42)＝5，R＋r＝5，所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确．
11．已知直线l：x－y＋1＝0与圆Ck：(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，下列说法正确的是( )
A．所有圆Ck均不经过点(0,3)
B．若圆Ck关于直线l对称，则k＝－2
C．若直线l与圆Ck相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(2)，则k＝－1
D．不存在圆Ck与x轴、y轴均相切
答案 ABD
解析 对于A，将(0,3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，则(k－1)2＋(2k＋3)2＝1，
所以5k2＋10k＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0，
所以不存在k值，使圆Ck经过点(0,3)，A对；
对于B，若圆Ck关于直线l对称，则(1－k，－2k)在直线l：x－y＋1＝0上，
所以1－k＋2k＋1＝0，则k＝－2，B对；
对于C，由题意，Ck到直线l的距离d＝eq \r(1－\f(|AB|2,4))＝eq \f(\r(2),2)，
所以eq \f(|1－k＋2k＋1|,\r(2))＝eq \f(|k＋2|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，则|k＋2|＝1，可得k＝－3或－1，C错；
对于D，若圆Ck与x轴、y轴均相切，则|1－k|＝2|k|＝1，显然无解，即不存在这样的圆Ck，D对．
12．已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋(eq \r(3)m－1)y＋eq \r(3)－3m＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种
B．圆C的圆心到直线l距离的最大值为eq \r(2)
C．点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2
D．点P可能在圆x2＋y2＝1上
答案 ACD
解析 对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋eq \r(3)＋m(x＋eq \r(3)y－3)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝－\r(3)，,x＋\r(3)y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝\r(3)，))所以直线l过定点Q(0，eq \r(3))，
直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋eq \r(3)y－3＝0外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋eq \r(3)y－3＝0的距离为eq \f(|1－3|,\r(1＋3))＝1<2，即直线x＋eq \r(3)y－3＝0与圆C相交，
又点Q(0，eq \r(3))在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B错误；
对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝eq \f(|4＋16|,5)＝4，
所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；
对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．
三、填空题
13．若直线l1：3x＋y＋m＝0与直线l2：mx－y－7＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为________．
答案 eq \r(10)
解析 由题设得m＋3＝0，即m＝－3，所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0，所以直线l1与l2之间的距离为eq \f(|7－－3|,\r(10))＝eq \r(10).
14．过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为______________
答案 2x＋y－5＝0
解析 由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0，即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0，
又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行，所以eq \f(λ＋3,2)＝eq \f(λ－2,1)≠eq \f(3－4λ,－1)，解得λ＝7，
所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0，即2x＋y－5＝0.
15．在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1，若直线y＝kx＋1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))
解析 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C的坐标为(2,0)，半径为1，设直线y＝kx＋1上的点P(m，n)满足条件，
则以点P(m，n)为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，所以0≤eq \r(m－22＋n2)≤2，
所以点P(m，n)到点(2,0)的距离小于等于2，所以点(2,0)到直线y＝kx＋1的距离小于等于2，
所以eq \f(|2k＋1|,\r(1＋k2))≤2，解得k≤eq \f(3,4).所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4))).
16．设m∈R，直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．
答案 eq \r(2)
解析 由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0，∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)，
又l1⊥l2，∴P点轨迹是以MN为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以eq \f(1,2)×eq \r(3－12＋1－32)＝eq \r(2)为半径的圆，
∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距d＝eq \r(1＋22＋1＋22)＝3eq \r(2)>2eq \r(2)，∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，即|PQ|min＝3eq \r(2)－2eq \r(2)＝eq \r(2).