初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理第1课时教案及反思

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理第1课时教案及反思，共6页。教案主要包含了新课导入，探究新知，当堂练习，巩固所学等内容，欢迎下载使用。
教学内容
第 1 课时 勾股定理
课时
1
核心素养目标
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过古代数学文化的简述，了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情了解数学在人类社会的悠久历史. 体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，会用数学的语言表达发现的规律，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
知识目标
1．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算
2．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
教学重点
1.勾股定理的探索.
2.勾股定理的简单计算.
教学难点
利用数形结合的思想验证勾股定理.
教学准备
课件、彩色纸、剪刀
教学过程
主要师生活动
设计意图
一、新课导入
二、探究新知
当堂练习，巩固所学
创设情境，导入新知
数学文化：《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.

教师叙述：按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.这就是勾股定理名称的由来.
新课导入：国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
教师提问：你见过这个图案吗？它由哪些基本图形组成？
小组合作，探究概念和性质
知识点一：勾股定理认识及验证
教师叙述：我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
问题1 观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
师生活动：学生独立思考并回答问题.
预设1：两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
预设2：校长正方形的边，和大正方形的边构成了直角三角形.
问题2 如图，在等腰三角形 ABC 中，∠C = 90°，以 AC 为边作正方形 P，以 BC 为边作正方形 Q，以斜边 AB 为边作正方形 R.观察图形进行填空.
正方形 Q 的面积是_____个单位面积；
正方形 P 的面积是_____个单位面积；
正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面积是_____个单位面积.
师生活动：学生独立完成计算后，选学生汇报答案.
追问1上面三个正方形的面积之间有什么关系？
SP + SQ = SR
追问2等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
AC2 + BC2 = AB2
师生活动：学生根据填空的答案，回答追问中的问题，教师完成总结：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的面积.
问题3 请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索 (每个小正方形的面积为单位 1)：
师生活动：学生先独立思考，然后在小组讨论，再选派代表回答问题，并讲述自己的方法. 教师把学生运用的方法进行如下总结：
方法一：割
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
方法二：补
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三
角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
追问分析表中数据，你发现了什么？
师生活动：学生根据计算答案完成填空，并观察表格回答问题.
预设：正方形A的面积加正方形B的面积等于正方形C的面积.
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题4 同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？
验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题.
师生活动：教师播放课件，展示方法，学生根据方法利用事先准备好的彩纸完成拼图.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
证明：∵S梯形 = (a +b)(a +b)
S梯形 = ab + ab + c2
∴ a2 + b2 = c2.
归纳总结：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
知识点二：利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书，名教师指导规范.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
师生活动：教师分析解题思路，可以运用方程思想，设未知数求值，学生独立完成计算.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
师生活动：学生独立思考后，小组讨论解题方法，教师巡视总结答案.
总结：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
三、当堂练习，巩固所学
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
8 cm
10 cm
图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm².
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
(1) 若 a = 15，b = 8，则 c = .
(2) 若 c = 13，b = 12，则 a = .
4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边长的平方为_________.
设计意图：通过古代数学文化的简述，激发学生的学习兴趣，进一步的认识和理解直角三角形.也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情.
设计意图：观察会徽的图案的特点，吸引学生的注意力，同时也为后文勾股定理的证明方法做铺垫.
设计意图：通过古老数学家的故事，吸引学生的注意力，激发学习兴趣.
让学生独立思考，培养学生自主学习的习惯，和观察能力.
设计意图：在问题1的基础上，把情境中的问题抽象为几何数学问题，实现由具体到抽象的转变，逐渐培养学生的数形结合思想.
设计意图：在问题2的基础上，把对等腰直角三角形的探究，推广到对一般直角三角形的探究，实现由“特殊”到“一般”的转变，发展学生的合情推理能力，为后面把规律推广到所有直角三角形的学习做准备.
设计意图：用具体的验证让学生感悟数学的严谨性，体会勾股定理中的数形结合思想.
设计意图：这个阶段的学生自助完成探究性证明式非常困难的，通过效仿三位著名的数学家的方法，完成验证，既能增强课堂参与感，体现自主学习的精神，又能在证明过程中，体会勾股定理中的数形结合思想.也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情.
设计意图：加深学生对勾股定理公式的理解，通过做题锻炼学生的运用能力和计算能力.
设计意图：巩固对勾股定理公式的运用，拓展方程解题思想，加强新旧知识的练习，培养综合运用能力.
设计意图：巩固对勾股定理公式的运用，培养发散性思维.
设计意图：考查学生勾股定理概念的掌握.
设计意图：题2、3考查学生运用勾股定理公式计算直角三角形边长的和面积的能力.
设计意图：考查运用勾股定理结合三角形边长特点的运用.
板书设计
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
课后小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思
整节课引导学生经历“观察-探索-猜想-验证-归纳-应用”过程突破本节课难点，通过简单应用巩固教学重点；其中渗透了割补法求面积，同时体现从特殊到一般、数形结合、分类讨论的思想，达到了教学目标.例题，但应该有所取舍,要突出重难点。把课堂还给学生，教师更多的负责引导与启发，学生动手操作，在过程中领悟勾股定理的产生意义.