广东省湛江市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省湛江市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了下列物理量中，不能称为向量的是等内容，欢迎下载使用。

（满分为150分，考试时间为120分钟）
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A．力B．质量C．速度D．位移
2．已知角α的终边经过点P﹣1，2，则csπ+α的值为（ ）
A．55B．-55C．255D．-255
3．已知向量a=2,m，b=m-3,4，且a⊥b，则实数m=（ ）
A．3B．1C．13D．﹣1
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3c，且c=13b，则角A的余弦值为（ ）
A．16B．14C．15D．13
5．已知csα+3sinα=35，则cs2α+π3=（ ）
A．4750B．-4750C．-4150D．4150
6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+13AD，则x＝（ ）
A．23B．45C．56D．67
7．在△ABC中，已知csA=31010，tanB=12，若△ABC的最短边长为2，则其最长边长为（ ）
A．5B．3C．10D．22
8．已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，则AO∙AB+AC=（ ）
A．10B．9C．8D．6
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等
C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量
10．已知锐角三角形的三边长分别为2，7，x，则实数x的可能取值是（ ）
A．35B．43C．7D．36
12．已知函数fx＝Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期为π
B．函数fx的图象关于直线x=-5π12对称
C．函数fx图象向右平移π6个单位可得函数y＝2sinx的图象
D．若方程fx＝mm∈R在-π6,π3上有两个不等实数根x1，x2，则csx1+x2=12
12．在△ABC中，csC2=255，BC=1，AC=5，则下列说法正确的是（ ）
A．sinC=45 B．△ABC的面积为2C．△ABC的外接圆直径是554 D．△ABC的内切圆半径是3-52
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为120°，半径为30m，现在要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留π） m．
14．已知a∙b=16，e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为4e．则b＝ ．
15．在平行四边形ABCD中，若DE=13DC，EF=FB，AF=λAB+2μADλ，μ∈R，则3λ+4μ＝ ．
16．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在△ABC中，已知∠ACB=30°，且AB=3-1，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，则△A'B'C'的面积最大值为 ．
四．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（本小题10分）已知．
（1）求；
（2）求与的夹角．
18．（本小题12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足4S+bc•tan（B+C）＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC周长的最大值．
19．（本小题12分）已知0＜α＜，cs（2π﹣α）﹣sin（π﹣α）＝﹣
（1）求sinα+csα的值；
（2）求的值．
20．（本小题12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在BC边上，AD是角平分线，sin2C+sin2B+sinC•sinB＝sin2A，且△ABC的面积为2．
（1）求A的大小及的值；
（2）若c＝4，求BD的长．
21．（本小题12分）已知向量，，若．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的对称中心；
（3）若方程在[0，π]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
22．（本小题12分）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC的中点，已知c＝1，S△ABC＝2c2sinA．
（1）若AD＝，求∠BAC；
（2）点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且0＜FC≤2，sin∠BAD＝，λS△AEF＝，求λ的最小值．
湛江市第一中学2022-2023学年度第二学期期中考试
高一数学
（满分为150分，考试时间为120分钟）
参考答案与试题解析
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A．力B．质量C．速度D．位移
【解答】解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．
而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．
故选：B．
2．已知角α的终边经过点P﹣1，2，则csπ+α的值为（ ）
A．55B．-55C．255D．-255
【解答】解：根据sinα=255，csα=-55，所以csπ+α=-csα=55
故选：A．
3．已知向量a=2,m，b=m-3,4，且a⊥b，则实数m=（ ）
A．3B．1C．13D．﹣1
【解答】解：由a⊥b，有2m-6+4m=0，解得m=1
故选：B．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3c，且c=13b，则角A的余弦值为（ ）
A．16B．14C．15D．13
【解答】∵a=3c，且c=13b，∴csA=b2+c2-a22bc=3c2+c2-3c22∙3c∙c=c26c2=16
故选：A．
5．已知csα+3sinα=35，则cs2α+π3=（ ）
A．4750B．-4750C．-4150D．4150
【解答】解：因为，
所以2sin（）＝，即sin（）＝，
则＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．
故选：D．
6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+13AD，则x＝（ ）
A．23B．45C．56D．67
【解答】解：由题可知＝，
∵点F在BE上，
∴＝+（1﹣λ），
∴＝（）+（），
∴＝，λ＝，
∴x＝＝．
故选：C．
7．在△ABC中，已知csA=31010，tanB=12，若△ABC的最短边长为2，则其最长边长为（ ）
A．5B．3C．10D．22
【解答】解：在△ABC中，因为，所以，
因为，所以，
因为sinA＜sinB，所以2RsinA＜2RsinB，
所以a＜b，
因为，
所以sinC＝，C为钝角，
故a＜b＜c，所以，由正定理得，
即，解得，
所以最长边长为．
故选：C．
8．已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，则AO∙AB+AC=（ ）
A．10B．9C．8D．6
【解答】故选：A．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．有向线段就是向量
B．所有单位向量的模都相等
C．零向量没有方向
D．平行向量也叫做共线向量
【解答】解：由有向线段、向量的定义知，A错误；
所有单位向量的模都相等，方向不一定相同，故B正确；
零向量的方向是任意的，故C错误；
平行向量也叫做共线向量，故D正确．
故选：BD．
10．已知锐角三角形的三边长分别为2，7，x，则实数x的可能取值是（ ）
A．35B．43C．7D．36
【解答】解：csA=22+72-x22×2×7>0csB=22+x2-722×2x>0csC=x2+72-222×7x>0，∴x2<53x2>45，解得35故选：BC．
11．已知函数fx＝Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期为π
B．函数fx的图象关于直线x=-5π12对称
C．函数fx图象向右平移π6个单位可得函数y＝2sinx的图象
D．若方程fx＝mm∈R在-π6,π3上有两个不等实数根x1，x2，则csx1+x2=12
【解答】解：由图可知A＝2，，所以T＝π，故A正确；
因为，所以ω＝2，
则f（x）＝2sin（2x+φ），将点代入得：，
所以，k∈Z，又，所以，所以，
对于B，因为，为最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数f（x）图象向右平移个单位，
可得函数，故C错误；
对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．
故选：AB．
12．在△ABC中，csC2=255，BC=1，AC=5，则下列说法正确的是（ ）
A．sinC=45
B．△ABC的面积为2
C．△ABC的外接圆直径是554
D．△ABC的内切圆半径是3-52
【解答】解：由二倍角公式可得csC＝2cs2C﹣1＝，
∵C（0，π），
∴sinC＝＝，∴A选项正确；
S△ABC＝CB×CAsinC＝×1×5×＝2，∴B也正确，
，，内切圆半径，所以C错误，D正确．
故选：ABD．
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为120°，半径为30m，现在要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留π） m．
【解答】20π+60
14．已知a∙b=16，e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为4e．则b＝ ．
【解答】解：设与的夹角为θ，
因为•＝16，
所以||||csθ＝16，
又因为在上的投影向量为4．
所以||csθ＝4，
所以||＝4．
故答案为：4．
15．在平行四边形ABCD中，若DE=13DC，EF=FB，AF=λAB+2μADλ，μ∈R，则3λ+4μ＝ ．
【解答】解：如图所示延长AD，BF交于点P，
因为，，（λ，μ∈R），
所以＝，
P，B，F三点共线，所以，
所以3λ+4μ＝3．
故答案为：3．
16．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在△ABC中，已知∠ACB=30°，且AB=3-1，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，则△A'B'C'的面积最大值为 ．
【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
连接A'C，B'C，则由题设得，∠A'CB'＝90°，
因为以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，
所以＝，，
所以A′B′＝，
在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcs30°，
即，
又，所以，即a2+b2≤4（等号当时成立），
又△A'B'C'为等边三角形，
故．
故答案为：．
四．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．已知．
（1）求；
（2）求与的夹角．
【解答】解：（1）∵＝25+25+2×＝75，所以．…（5分）
（2）设与的夹角为θ，则由 csθ＝＝，可得与的夹角．…（10分）
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足4S+bc•tan（B+C）＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）∵A+B+C＝π，∴4S＝﹣bctan（B+C）＝﹣bctan（π﹣A）＝bctanA，
则，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴，
又∵A∈（0，π），∴；
（2）∵a＝4，，∴由余弦定理得，
即b2+c2﹣16＝bc，（b+c）2＝16+3bc，
所以，（当且仅当b＝c＝4时取“＝”），
故，b+c≤8，∴b+c的最大值为8，a+b+c的最大值为12，
∴△ABC周长的最大值为12．
19．已知0＜α＜，cs（2π﹣α）﹣sin（π﹣α）＝﹣
（1）求sinα+csα的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）原式化简：，
平方得：，
因为：0＜α＜，
所以：csα+sinα＞0
因为：，
所以：．
（2）∵由，，
可得：csα＝，sinα＝，
∴原式化简得．
20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在BC边上，AD是角平分线，sin2C+sin2B+sinC•sinB＝sin2A，且△ABC的面积为2．
（1）求A的大小及的值；
（2）若c＝4，求BD的长．
【解答】解：（1）∵sin2C+sin2B+sinC⋅sinB＝sin2A，
由正弦定理知，c2+b2+bc＝a2，
即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理知csA＝＝﹣，
又 A∈（0，π），∴，
，
∴b＝2，
∴；
（2）过D作DE，DF分别垂直于AB，AC，如图所示，
∵AD为∠BAC角平分线，∴DE＝DF，
∴，
∴S△ABD：S△ACD＝|AB|：|AC|＝2：1，
又S△ABD：S△ACD＝|BD|：|DC|，∴|BD|：|DC|＝2：1，
∴，
又，∴，
∴．
21．已知向量，，若．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的对称中心；
（3）若方程在[0，π]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【解答】
＝，
；
（2）令，k∈Z即，k∈Z
∴f（x）的对称中心为；
（3）y＝g（x）在[0，π]上恰有两个零点，
即有两个不等实根，
即与有两个不同交点，
令则，
由正弦函数的图象可知，
所以，
即实数m的取值范围是．
22．如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC的中点，已知c＝1，S△ABC＝2c2sinA．
（1）若AD＝，求∠BAC；
（2）点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且0＜FC≤2，sin∠BAD＝，λS△AEF＝，求λ的最小值．
【解答】解：（1）由，
∵，∴，
即，解得csA＝，所以∠BAC＝60°；
（2）由（1）可知：，
∵，
因为sinBAD＝，所以cs∠BAD＝，
∴；
解得；
设AE＝x（0＜x≤1），AF＝y（2≤y＜4），
则，
设，，
则有，解得，
又，
∴＝，
∴，
令，
∴，
即λ的最小值为．