沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(五)分类讨论思想在相似形中的应用课件

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1.如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在 AB上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 (     )A.16　　　 或14　　　D.16或9
解析　本题分两种情况:①如图1,当△ADE∽△ACB时, = ,∵AB=24,AC=18,AD=12,∴AE=16;②如图2,当△ADE∽△ABC时, = ,∵AB=24,AC=18,AD=12,∴AE=9.故选D. 图1     图2
2.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6 cm,CD=4 cm,BD=14 cm,点 P在BD上由点B向点D移动,当点P移动到离点B多远时,△APB和△CPD相似? 
解析　∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°.①当∠A=∠CPD时,△ABP∽△PDC,∴ = ,即 = ,解得BP=2(cm)或BP=12(cm);②当∠A=∠C时,△ABP∽△CDP,∴ = ,即 = ,解得BP= (cm).即PB=2 cm或12 cm或  cm时,△PAB与△PCD相似.
3.(2024福建泉州五中月考)如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=1 6 cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,点Q 从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动,如果点P、Q 分别从点A、B同时出发,经过几秒△PBQ与△ABC相似?试 说明理由. 
解析　设经过x秒△PBQ与△ABC相似,由题意知AP=2x cm,BQ=4x cm,∵AB=8 cm,BC=16 cm,∴BP=AB-AP=(8-2x)cm,∵∠B=∠B,∴当 = ,即 = 时,△PBQ∽△ABC,此时x=2;当 = ,即 = 时,△QBP∽△ABC,
此时x=0.8,∴经过2秒或0.8秒△PBQ与△ABC相似.
4.如图,在一块直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1, 将另一个含30°角的直角三角板EDF的30°角的顶点D放在 AB边上,E、F分别在AC、BC上,DE始终与AB垂直,若△CEF 与△DEF相似,求AD的长. 
解析　∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,∴∠FDB=∠B=60°,∴△BDF是等边三角形.∵BC=1,∠A=30 °,∴AB=2,∵BD=BF,∴2-AD=1-CF,∴AD=CF+1.①如图1,∠FED=90°,此时△CEF∽△EDF,∠EDF=∠CEF=3 0°,∴EF=2CF,∴ = ,即 = ,解得CF= ,∴AD= +1= .
 图1②如图2,∠EFD=90°,此时△CEF∽△FED,∴∠EDF=∠CFE =30°,∴EF=2CE,∴ = ,即 = ,
解得CF= ,∴AD= +1= .∴AD的长为 或 . 图2
5.如图,二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点,与y轴交于点C,该抛物线的顶点为M.(1)求该抛物线的表达式及点M的坐标;(2)连接BC、CM、BM,判断△BCM的形状,并说明理由;(3)坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形 与△BCM相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明 理由.
解析    (1)∵二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B (3,0)两点,∴ 解得 则抛物线的表达式为y=x2-2x-3.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴点M的坐标为(1,-4).(2)△BCM为直角三角形,理由如下:在y=x2-2x-3中,令x=0,得到y=-3,∴C(0,-3),又∵B(3,0),M(1,-4),
∴根据勾股定理得BC=3 ,BM=2 ,CM= ,∵BM2=BC2+CM2,∴△BCM为直角三角形且∠BCM=90°.(3)存在.若∠APC=90°,则P点和O点重合,如图1.连接AC,∵∠AOC=∠MCB=90°,且 = = ,∴△AOC∽△MCB,∴点P的坐标为(0,0).
 图1     图2若∠PAC=90°,则P点在y轴上,如图2,∵△AOC∽△MCB,△BCM∽△CAP,∴△COA∽△CAP,∵∠APO=∠APC,∠AOP=∠PAC=90°,∴△CAP∽△AOP,∴△COA∽△AOP,∴ = ,即 = ,