[数学][期末]福建省宁德市2022-2023学年高二下学期期末试题(解析版)

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2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．
1. 已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由随机变量服从二项分布，可得.故选：D.
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.16
【答案】B
【解析】因为随机变量服从正态分布，且，
所以.
故选：B
3. 棱长为3的正方体中，点到平面距离为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】因为正方体的棱长为3，
所以，是正三角形，
设点到平面距离为，因为，即，
所以，解得，
即点到平面距离为.
故选：A
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
5. 已知随机变量满足，，其中为常数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由随机变量满足，，
可得，解得，所以随机变量满足，
所以
故选：A.
6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，则，当时，，
所以函数在上单调递减，所以，
故当时，，即，
所以当时，，故，
设，则，当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即
综上可得，，
故选：D.
7. 抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知事件为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰子的点数之和等于8，
则事件包含的基本事件为，
而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，
所以，
因为甲骰子的点数大于4的有5，6两种情况，所以，
所以，
故选：C
8. 已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数，设，其中，
可得，，则，
设，可得，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以 当时，，
即的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9. 以下运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：AC
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 已知，，则在上的投影向量为
B. 已知两个向量，，且，则
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
【答案】BC
【解析】对于A，因为，，所以，
所以在上的投影向量为，故A错误；
对于B，因为，所以
因为，，所以，
解得，所以，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，则不共面，
假设共面，则，显然无解，所以不共面，
则也是空间的一组基底，故C正确；
对于D，，但，
则四点不共面，故D错误.故选：BC
11. 已知定义在上函数，其导函数为且满足，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上单调递减
C. 在区间上，函数的图象恒在轴的下方
D. 不等式解集为
【答案】BCD
【解析】将函数两边求导，得：，
令
故，，
由此可以判断函数是偶函数，选项A错误；
函数在区间上单调递减，选项B正确；
函数在区间上单调递减，所以函数的图象恒在轴的下方，选项C正确；
，且函数是偶函数，由余弦函数图像性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
因为，则有，解得：，
选项D正确；故选：BCD.
12. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）

A. 当且时，有
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，直线和所成的角的取值为
D. 当时，直线与平面所成角的正弦值范围是
【答案】ABD
【解析】选项A，当且时，为的中点，取中点，中点，
连，因为三棱柱为正三棱柱，所以，
建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，又，
所以，
所以，所以选项A正确．

选项B，当时，为的上的动点，因为，
又易知，到平面的距离为，
所以，所以选项B正确．
选项C，当时，为线段的上的动点，设，，
又，，，，所以，
又，由，又因为，
当时，
当时，
所以，所以直线与所成角的范围为，所以选项C不正确．
选项D，当时，则为的上的动点，如图2，取中点点，，
又三棱柱为正三棱柱，所以平面，
则为与平面所成的角，
在中，为定值，又,
所以与平面所成的最大角为，此时，
最小角为，此时．所以选项D正确．

故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13. 已知空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，则边上中线的长度为___________．
【答案】
【解析】设的中点为，因为，，
所以，则,
故答案为：.
14. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，而第1，2，3台车床的次品率分别为，，．现从加工出来的零件中随机抽出一个零件，则取到的零件是次品的概率为____________．
【答案】
【解析】设“任取一个零件次品”，“零件为第台车床加工” ，
则，两两互斥．
根据题意得：，
，
由全概率公式，得
．
故答案为：.
15. 如图，60°的二面角的棱上有、两点，射线、分别在两个半平面内，且都垂直于棱．若，，．则的长度为___________．

【答案】2
【解析】，，
，．
，
，
故答案为：2
16. 设函数，若，恒成立，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】当时，若，则，恒成立，符合题意；
当，，所以，
构造函数，，时，，
所以在上单调递增，
因为，所以，则时，，
所以，
，令，
所以在上递增，上递减，
所以，
所以，又，所以，
综上可得，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数在处有极值．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
解：（1），
，即 ，
解得，
当，，
当或单调递增，
当单调递减，
所以取极大值，符合题意，
所以，.
（2）由，得，
令，则，，
由于和都在区间内，所以可列表如下：
所以在上的最大值为，最小值为1.
18. 已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球现从盒子中不放回地随机摸取3次，每次摸取1个球．
（1）求第二次摸出的球是红球的概率；
（2）求取得红球数的分布列和期望．
解：（1）解法一：设表示第1次摸到红球，设表示第2次摸到红球，
，
所以第二次摸出的球是红球的概率是．
解法二：设事件表示第二次摸出的球是红球，
，即，
所以第二次摸出的球是红球的概率是．
（2）从5个球中摸取3个球，用表示抽到的红球数，则，
所以，，
，
所以分布列：
所以取得红球数的期望为．
19. 银耳作为我国传统的食用菌，有“菌中之冠”的美称，历来深受广大人民所喜爱汉代《神农本草经》记载：银耳有“清肺热、济肾燥、强心神、益气血”之功效．宁德市山川秀美，气候宜人，非常适合银耳的种植栽培，其银耳产量占全球产量的90%以上．
（1）经查资料，得到近4年宁德市银耳产量（单位：万吨）如下表：
请利用所给数据求银耳产量与年度代码之间的回归直线方程，并估计2023年银耳产量．
（2）宁德市某银耳开发研究公司积极响应国家倡导的科技创新，研发了一款提高银产量的辅料——“多保灵”．该公司科研小组为了研究这款产品是否有利于提高银耳产量，从同一其他条件下种植的2000筒银耳中随机抽取了100袋，对是否使用“多保灵”和银耳每筒的产量进行统计，得到如下数据：
①完善填写上面的列联表．
②问：是否有99%的把握认为银耳每筒产量与是否有按规定比例量使用“多保灵”有关？
参考公式：（ⅰ），
（ⅱ），
（ⅲ），
参考数据：，，
解：（1）由表中的数据可知，，
，
，
，
所以，
故，
所以，所求的回归直线方程为，
令，则，故预测2023年银耳产量为39.65万吨．
（2）①列联表如下：
②
又因为，而且查表可得，
由于，所以有的把握认为银耳产量与是否有按规定比例使用“多宝灵”有关．
20. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．

（1）证明：平面平面；
（2）已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）底面是平行四边形，则，
∵，∴，∴
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面
（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，，，，
则平面的一个法向量为，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
，
∴，∴，
所以
解法二：
连接，由（1）知，，，平面，平面,
所以平面，
由平面,所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
在中，因为，所以，
所以为等边三角形，
所以为中点，所以
21. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．
（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；
（2）当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
解：（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，
则，
解得，故的最小值为0.8．
（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，
，
，
，
，
从而的分布列为：
（3）设方案1､方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．
22. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）讨论函数的零点个数．
解：（1）∵，∴，∴．
∵，∴切点坐标为，
∴函数在点处的切线方程为，即，
∴切线与坐标轴交点坐标分别为，，
∴所求三角形面积为．
（2）解法一：设函数，
当时，，在上单调递增，
而，，
所以存在唯一，使得；即只有一个零点．
当时，令，解得，（舍），
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，设，在单调递减，且，
当，解得，所以没有零点，即没有零点；
当，解得，所以只有一个零点，即只有一个零点；
当，解得，，
所以在只有一个零点，
因为，，
当时，，在单调递增，
所以，
所以，所以在只有一个零点，
所以有两个零点．
综上：当或时，只有一个零点；当，有两个零点；当，没有零点．
解法二：
由，得，
设，，
设，在单调递减，，
当，解得；当，解得，
在单调递增，在单调递减，所以，
又因为当趋向于时，趋向于，趋向于，趋向于，
根据图象知：

当或时，只有一个零点；当，没有零点；当，有两个零点．
解法三：
令，，则．
设函数与相切于点，
则解得，．
由，可解得，所以在上单调递增，
由可解得，所以在上单调递减．
如图所示，
当或时，与只有一个交点，所以有一个零点；
当时，与只有两个交点，所以有两个零点；
当时，与没有交点，所以无零点．

递增
递减
递增
0
1
2
年度
2019
2020
2021
2022
年度代码
1
2
3
4
银耳产量
34.90
36.20
37.20
38.5
是否使用“多保灵”
每筒产量克
每筒产量克
总计
未使用
25
45
有按规定比例量使用
10
总计
70
30
100
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
是否使用“多宝灵”
每筒产量克
每筒产量克
总计
未使用
25
20
45
有按规定比例使用
45
10
55
总计
70
30
100
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343