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2024-2025学年度北师版八上数学-第四章-一次函数-回顾与思考【课件】
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第四章 一次函数回顾与思考数学 八年级上册 BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS 1. 函数的定义.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变 量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是自变量.2. 函数的三种表示方式. 、 、 .函数 列表法 图象法 关系式法 3. 一次函数的表达式为 .当 b ＝0时，该一次函数的表达式为 ，它是正比例函数.4. 正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的性质.y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0） y ＝ kx （ k ≠0） 当 k ＞0时，图象过第 象限；当 k ＜0时，图象过 第 象限.注：当 k ＝1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的 任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当 k ＝－1时，该函数图 象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于 它的纵坐标的相反数.一、三 二、四 5. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象.当 x ＝0时，图象与 y 轴的交点坐标为 ；当 y ＝0 时，图象与 x 轴的交点坐标为 .（0， b ） 6. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的性质.（1）当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的 而 ；当 k ＜0时， y 的值随着 x 值的 而 ；（2）当 k ＞0且 b ＞0时，函数的图象过第 象限；当 k ＞0且 b ＜0时，函数的图象过第 象限； 当 k ＜0且 b ＞0时，函数的图象过第 象限；当 k ＜0且 b ＜0时，函数的图象过第 象限.增大 增大 增大 减小 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 7. 确定函数的表达式.（1）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）中有两个未知系数，所以需要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数的表达式；（2）正比例函数 y ＝ kx 只有一个未知系数，所以只要知道 就可以求出它的表达式.一个点的坐标 8. 一次函数图象的位置关系.因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的 位置关系有两种：平行和相交.设两条直线分别为 y ＝ k1 x ＋ b1， y ＝ k2 x ＋ b2.当 k1＝ k2， b1≠ b2 时，两条直线平行；当 k1≠ k2时，两条直线相交.9. 一元一次方程与一次函数的联系.一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应的自变量 的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx ＋ b ＝0的解.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练 要点一 函数的定义 （1）下列表示两个变量间的关系的图象中， y 不是 x 的函 数的是（ D ）ABCDD【解析】A，B，C三个选项中，对于 x 的每一个值， y 都有唯一 的值与它对应，不符合题意；选项D中， y 轴右侧一个 x 值对应 两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数，符合题意.故选D. 【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化 过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一 个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时 满足. 【解析】由题意，得 x －2≥0且 x －5≠0.解得 x ≥2且 x ≠5.故 答案为 x ≥2且 x ≠5. x ≥2且 x ≠5 1. 下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x ≥3的是（ B ） B①②③⑤ 要点二 一次函数的图象和性质 已知一次函数 y ＝（4＋2 m ） x ＋ m －4.（1）当 m 为何值时， y 的值随着 x 值的增大而减小？（2）当 m 为何值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？（3）若 m ＝－1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.解：（1）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，所以4＋2 m ＜0，解得 m ＜－2.所以当 m ＜－2时， y 的值随着 x 值的增大而减小.（2）因为该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，所以 m －4＜0且4＋2 m ≠0，解得 m ＜4且 m ≠－2.所以当 m ＜4且 m ≠－2时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方. 【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件 k ≠0. 已知关于 x 的一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2.（1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的值；（2）若这个函数的图象不过第四象限，求 m 的取值范围；（3）不论 m 取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这个定点的坐标.解：（1）因为这个函数的图象经过原点，所以当 x ＝0时， y ＝0，即4 m －2＝0， （2）因为这个函数的图象不经过第四象限，所以 m ＞0且4 m －2≥0， （3）将一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2变形为 m （ x ＋4）＝ y ＋2.因为不论 m 取何实数这个函数的图象都过定点，所以 x ＋4＝0， y ＋2＝0，解得 x ＝－4， y ＝－2.则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点（－4，－2）.要点三 一次函数在实际问题中的应用 小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程 y （m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象如图所示.请解答下列问题：（1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度 为 m/min；（2）求小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式，并写出 自变量的取值范围；4 000 100 （3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4 000 m， 小玲步行的速度为（4 000－2 000）÷（30－10）＝100（m/min）.故答案为4 000，100. （3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为 m min.由点 A （10，2 000），易得 OA 的函数表达式为 y ＝200 x （0≤ x ≤10）.由图象，得300 m ＋200 m ＝4 000，解得 m ＝8.所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为300×8＝2 400（m）.故当两人相遇时，他们离图书馆2 400 m.【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关 系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数 法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求 得所需结果. 甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y （cm）与注水时间 x （min）之间的关系如图2所示.根据图象解答下列问题：图1图2（1）图2中折线 EDC 表示 槽中水的深度 y 与注水时间 x 之 间的关系，铁块的高度为 cm；（2）求 AB 的函数表达式；（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.乙 16 （2）解：设 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.将点（0，14），（7，0）代入，得 b ＝14，7 k ＋ b ＝0.所以 k ＝－2.所以 AB 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋14（0≤ x ≤7）.（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断 增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 所以折线 EDC 表示的是乙槽的水深 y 与注水时间 x 的关系.折线 EDC 中，点 D 表示乙槽水深16 cm，也就是铁块的高度为16 cm. 故答案为乙，16.（3）解：设 ED 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.将点（0，4），（4，16）代入，得 n ＝4，4 m ＋ n ＝16.所以 m ＝3.所以 ED 的函数表达式为 y ＝3 x ＋4（0≤ x ≤4）.根据题意，得－2 x ＋14＝3 x ＋4，解得 x ＝2.故注水2 min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.要点四 一次函数在几何图形中的应用 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 m 经过点（－1，2），交 x 轴于点 A （－2，0），交 y 轴于点 B ，直线 n 与直线 m 交于点 P ，分别与 x 轴、 y 轴交于点 C ， D （0，－2）.连接 BC ，点 P 的横坐标为－4.（1）求直线 m 的函数表达式和点 P 的坐标.（2）试说明：△ BOC 是等腰直角三角形.（3）直线 m 上是否存在点 E ，使得 S△ ACE ＝ S△ BOC ？若存在， 求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设直线 m 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.因为直线 m 经过点（－1，2）， A （－2，0），所以－ k ＋ b ＝2，－2 k ＋ b ＝0.所以 k ＝2， b ＝4.所以直线 m 的函数表达式为 y ＝2 x ＋4.将 x ＝－4代入 y ＝2 x ＋4，得 y ＝2×（－4）＋4＝－4.所以点 P 的坐标为（－4，－4）. 又因为∠ BOC ＝90°，所以△ BOC 是等腰直角三角形. 【点拨】解答这类动点问题时，要注意动点所在位置，可以在 图上画出使面积相等的点的大概位置，这样有助于分析题目， 在分类讨论时不会遗漏和重复. 如图，已知一次函数 y ＝ x －2的图象交 y 轴于点 A ，一次函数 y ＝4 x ＋ b 的图象交 y 轴于点 B ，且分别与 x 轴，一次函数 y ＝ x －2的图象交于点 C ， D ，点 D 的坐标为（－2，－4）.（1）求△ ABD 的面积.（2）在 x 轴上是否存在点 E ，使得以点 C ， D ， E 为顶点的三 角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐 标；若不存在，请说明理由.解：（1）把点 D 的坐标代入一次函数 y ＝4 x ＋ b ，得4×（－2）＋ b ＝－4， （2）存在符合条件的点 E . 图1①如图1，当点 E 为直角顶点时，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E . 因为 D （－2，－4），所以点 E 的坐标为（－2，0）；②当点 C 为直角顶点时， x 轴上不存在符合条件的点 E ；③如图2，当点 D 为直角顶点时，过点 D 作 DE ⊥ CD 交 x 轴于点 E ，作 DF ⊥ x 轴于点 F . 图2设 E （ t ，0）.当 y ＝0时，得4 x ＋4＝0.所以 x ＝－1.图2所以 C （－1，0）.因为 F （－2，0），所以 CF ＝1， CE ＝－1－ t ， EF ＝－2－ t .因为 D （－2，－4），所以 DF ＝4.在Rt△ DEF 中，根据勾股定理，得 DE2＝ EF2＋ DF2＝（－2－ t ）2＋42＝ t2＋4 t ＋20.在Rt△ CDF 中，根据勾股定理，得 CD2＝ CF2＋ DF2＝12＋42＝17.演示完毕 谢谢观看
第四章 一次函数回顾与思考数学 八年级上册 BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS 1. 函数的定义.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变 量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是自变量.2. 函数的三种表示方式. 、 、 .函数 列表法 图象法 关系式法 3. 一次函数的表达式为 .当 b ＝0时，该一次函数的表达式为 ，它是正比例函数.4. 正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的性质.y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0） y ＝ kx （ k ≠0） 当 k ＞0时，图象过第 象限；当 k ＜0时，图象过 第 象限.注：当 k ＝1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的 任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当 k ＝－1时，该函数图 象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于 它的纵坐标的相反数.一、三 二、四 5. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象.当 x ＝0时，图象与 y 轴的交点坐标为 ；当 y ＝0 时，图象与 x 轴的交点坐标为 .（0， b ） 6. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的性质.（1）当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的 而 ；当 k ＜0时， y 的值随着 x 值的 而 ；（2）当 k ＞0且 b ＞0时，函数的图象过第 象限；当 k ＞0且 b ＜0时，函数的图象过第 象限； 当 k ＜0且 b ＞0时，函数的图象过第 象限；当 k ＜0且 b ＜0时，函数的图象过第 象限.增大 增大 增大 减小 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 7. 确定函数的表达式.（1）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）中有两个未知系数，所以需要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数的表达式；（2）正比例函数 y ＝ kx 只有一个未知系数，所以只要知道 就可以求出它的表达式.一个点的坐标 8. 一次函数图象的位置关系.因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的 位置关系有两种：平行和相交.设两条直线分别为 y ＝ k1 x ＋ b1， y ＝ k2 x ＋ b2.当 k1＝ k2， b1≠ b2 时，两条直线平行；当 k1≠ k2时，两条直线相交.9. 一元一次方程与一次函数的联系.一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应的自变量 的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx ＋ b ＝0的解.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练 要点一 函数的定义 （1）下列表示两个变量间的关系的图象中， y 不是 x 的函 数的是（ D ）ABCDD【解析】A，B，C三个选项中，对于 x 的每一个值， y 都有唯一 的值与它对应，不符合题意；选项D中， y 轴右侧一个 x 值对应 两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数，符合题意.故选D. 【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化 过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一 个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时 满足. 【解析】由题意，得 x －2≥0且 x －5≠0.解得 x ≥2且 x ≠5.故 答案为 x ≥2且 x ≠5. x ≥2且 x ≠5 1. 下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x ≥3的是（ B ） B①②③⑤ 要点二 一次函数的图象和性质 已知一次函数 y ＝（4＋2 m ） x ＋ m －4.（1）当 m 为何值时， y 的值随着 x 值的增大而减小？（2）当 m 为何值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？（3）若 m ＝－1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.解：（1）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，所以4＋2 m ＜0，解得 m ＜－2.所以当 m ＜－2时， y 的值随着 x 值的增大而减小.（2）因为该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，所以 m －4＜0且4＋2 m ≠0，解得 m ＜4且 m ≠－2.所以当 m ＜4且 m ≠－2时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方. 【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件 k ≠0. 已知关于 x 的一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2.（1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的值；（2）若这个函数的图象不过第四象限，求 m 的取值范围；（3）不论 m 取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这个定点的坐标.解：（1）因为这个函数的图象经过原点，所以当 x ＝0时， y ＝0，即4 m －2＝0， （2）因为这个函数的图象不经过第四象限，所以 m ＞0且4 m －2≥0， （3）将一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2变形为 m （ x ＋4）＝ y ＋2.因为不论 m 取何实数这个函数的图象都过定点，所以 x ＋4＝0， y ＋2＝0，解得 x ＝－4， y ＝－2.则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点（－4，－2）.要点三 一次函数在实际问题中的应用 小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程 y （m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象如图所示.请解答下列问题：（1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度 为 m/min；（2）求小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式，并写出 自变量的取值范围；4 000 100 （3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4 000 m， 小玲步行的速度为（4 000－2 000）÷（30－10）＝100（m/min）.故答案为4 000，100. （3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为 m min.由点 A （10，2 000），易得 OA 的函数表达式为 y ＝200 x （0≤ x ≤10）.由图象，得300 m ＋200 m ＝4 000，解得 m ＝8.所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为300×8＝2 400（m）.故当两人相遇时，他们离图书馆2 400 m.【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关 系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数 法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求 得所需结果. 甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y （cm）与注水时间 x （min）之间的关系如图2所示.根据图象解答下列问题：图1图2（1）图2中折线 EDC 表示 槽中水的深度 y 与注水时间 x 之 间的关系，铁块的高度为 cm；（2）求 AB 的函数表达式；（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.乙 16 （2）解：设 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.将点（0，14），（7，0）代入，得 b ＝14，7 k ＋ b ＝0.所以 k ＝－2.所以 AB 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋14（0≤ x ≤7）.（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断 增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 所以折线 EDC 表示的是乙槽的水深 y 与注水时间 x 的关系.折线 EDC 中，点 D 表示乙槽水深16 cm，也就是铁块的高度为16 cm. 故答案为乙，16.（3）解：设 ED 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.将点（0，4），（4，16）代入，得 n ＝4，4 m ＋ n ＝16.所以 m ＝3.所以 ED 的函数表达式为 y ＝3 x ＋4（0≤ x ≤4）.根据题意，得－2 x ＋14＝3 x ＋4，解得 x ＝2.故注水2 min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.要点四 一次函数在几何图形中的应用 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 m 经过点（－1，2），交 x 轴于点 A （－2，0），交 y 轴于点 B ，直线 n 与直线 m 交于点 P ，分别与 x 轴、 y 轴交于点 C ， D （0，－2）.连接 BC ，点 P 的横坐标为－4.（1）求直线 m 的函数表达式和点 P 的坐标.（2）试说明：△ BOC 是等腰直角三角形.（3）直线 m 上是否存在点 E ，使得 S△ ACE ＝ S△ BOC ？若存在， 求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设直线 m 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.因为直线 m 经过点（－1，2）， A （－2，0），所以－ k ＋ b ＝2，－2 k ＋ b ＝0.所以 k ＝2， b ＝4.所以直线 m 的函数表达式为 y ＝2 x ＋4.将 x ＝－4代入 y ＝2 x ＋4，得 y ＝2×（－4）＋4＝－4.所以点 P 的坐标为（－4，－4）. 又因为∠ BOC ＝90°，所以△ BOC 是等腰直角三角形. 【点拨】解答这类动点问题时，要注意动点所在位置，可以在 图上画出使面积相等的点的大概位置，这样有助于分析题目， 在分类讨论时不会遗漏和重复. 如图，已知一次函数 y ＝ x －2的图象交 y 轴于点 A ，一次函数 y ＝4 x ＋ b 的图象交 y 轴于点 B ，且分别与 x 轴，一次函数 y ＝ x －2的图象交于点 C ， D ，点 D 的坐标为（－2，－4）.（1）求△ ABD 的面积.（2）在 x 轴上是否存在点 E ，使得以点 C ， D ， E 为顶点的三 角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐 标；若不存在，请说明理由.解：（1）把点 D 的坐标代入一次函数 y ＝4 x ＋ b ，得4×（－2）＋ b ＝－4， （2）存在符合条件的点 E . 图1①如图1，当点 E 为直角顶点时，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E . 因为 D （－2，－4），所以点 E 的坐标为（－2，0）；②当点 C 为直角顶点时， x 轴上不存在符合条件的点 E ；③如图2，当点 D 为直角顶点时，过点 D 作 DE ⊥ CD 交 x 轴于点 E ，作 DF ⊥ x 轴于点 F . 图2设 E （ t ，0）.当 y ＝0时，得4 x ＋4＝0.所以 x ＝－1.图2所以 C （－1，0）.因为 F （－2，0），所以 CF ＝1， CE ＝－1－ t ， EF ＝－2－ t .因为 D （－2，－4），所以 DF ＝4.在Rt△ DEF 中，根据勾股定理，得 DE2＝ EF2＋ DF2＝（－2－ t ）2＋42＝ t2＋4 t ＋20.在Rt△ CDF 中，根据勾股定理，得 CD2＝ CF2＋ DF2＝12＋42＝17.演示完毕 谢谢观看
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