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北师版九上数学第一章特殊平行四边形回顾与思考(课外培优课件)
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这是一份北师版九上数学第一章特殊平行四边形回顾与思考(课外培优课件),共29页。
第一章 特殊平行四边形回顾与思考 1. 如图,已知点 D , E , F 分别是△ ABC 各边的中点,则下列说法正确的是( C )C2. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E 是边 AB 上一点, DE = AD ,连接 EC . 若∠ ADE =36°,则∠ DEC 的度数为( B )B B4. (2022·重庆)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O . 点 E , F 分别为 AC , BD 上一点,且 OE = OF ,连接 AF , BE , EF . 若∠ AFE =25°,则∠ CBE 的度数为 .65° 7. 如图,已知四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD 于点 O ,分别过点 C , D 作 CE ∥ BD , DE ∥ AC , CE 和 DE 交于点 E ,连接 AE ,交 BD 于点 F ,点 O , F 分别为 AC , AE 的中点.(1)求证:四边形 ODEC 是矩形;(1)证明:∵ CE ∥ BD , DE ∥ AC ,∴四边形 ODEC 是平行四边形.又∵ AC ⊥ BD ,∴∠ DOC =90°.∴▱ ODEC 是矩形.(2)若 OF =1,∠ CAE =30°,求 AC 的长. 8. 如图,已知点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点, CE ∥ BD , EB ∥ AC ,连接 OE ,交 BC 于点 F . (1)求证: OE = CB ;(1)证明:∵ CE ∥ BD , EB ∥ AC ,∴四边形 OBEC 为平行四边形.∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°.∴▱ OBEC 为矩形.∴ OE = CB . 9. (2022·贺州)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB =8, BC =6,点 E , F 分别是 AD , AB 的中点,∠ ADC 的平分线交 AB 于点 G ,点 P 是线段 DG 上的一个动点,则△ PEF 周长的最小值为 . 【解析】如答图,在 CD 上取点 H ,使 DH = DE ,连接 EH , PH , FH ,过点 F 作 FK ⊥ CD 于点 K . 在矩形 ABCD 中,∠ A =∠ ADC =90°, AD = BC =6, CD = AB =8,∴△ DEH 为等腰直角三角形.∵ DG 平分∠ ADC ,∴ DG 垂直平分 EH . ∴ PE = PH . ∴△ PEF 的周长等于 PE + PF + EF = PH + PF + EF ≥ FH + EF . ∴当 F , P , H 三点共线时,△ PEF 的周长最小,最小值为 FH + EF . 答图 答图 答图 11. 如图,在矩形 ABCD 中,已知∠ BAD 的平分线 AE 与 BC 边交于点 E ,点 P 是线段 AE 上一定点(其中 PA > PE ),过点 P 作 AE 的垂线与 AD 边交于点 F (不与点 D 重合).一个直角三角形的直角顶点落在点 P 处,两直角边分别交 AB 边和 AD 边于点 M , N . (1)求证:△ PAM ≌△ PFN ;(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ BAD =90°.∵∠ BAD 的平分线 AE 交 BC 边于点 E ,∴∠ BAE =∠ EAD =45°.∵ PF ⊥ AP ,∴∠ PAF =∠ PFA =45°.∴ PA = PF . ∵∠ MPN =90°,∠ APF =90°,∴∠ MPN -∠ APN =∠ APF -∠ APN ,即∠ MPA =∠ NPF . 又∵ PA = PF ,∠ MAP =∠ NFP =45°,∴△ PAM ≌△ PFN (ASA).(2)若 PA =3,求 AM + AN 的长. 12. 如图,在△ ABC 中,已知 AC =9, AB =12, BC =15,点 P 为 BC 边上一动点, PG ⊥ AC 于点 G , PH ⊥ AB 于点 H . (1)求证:四边形 AGPH 是矩形.(1)证明:∵ AC =9, AB =12, BC =15,∴ AC2+ AB2= BC2.∴∠ A =90°.又∵ PG ⊥ AC , PH ⊥ AB ,∴∠ AGP =∠ AHP =90°.∴四边形 AGPH 是矩形.(2)在点 P 的运动过程中, GH 的长是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 13. (选做)如图,在边长为1的正方形 ABCD 中,点 K 在 AD 上,连接 BK . 过点 A , C 作 BK 的垂线,垂足分别为 M , N ,点 O 是正方形 ABCD 的中心,连接 OM , ON . (1)证明:△ ABM ≌△ BCN ; (2)请判定△ OMN 的形状,并说明理由;(2)解:△ OMN 是等腰直角三角形.理由如下:如图,连接 OB . ∵点 O 是正方形 ABCD 的中心,∴ OA = OB ,∠ OBA =∠ OAB =45°=∠ OBC , AO ⊥ BO . 由(1)可知,∠ MAB =∠ CBM ,∴∠ MAB -∠ OAB =∠ CBM -∠ OBC . ∴∠ MAO =∠ NBO . ∵△ ABM ≌△ BCN ,∴ AM = BN . 演示完毕 谢谢观看
第一章 特殊平行四边形回顾与思考 1. 如图,已知点 D , E , F 分别是△ ABC 各边的中点,则下列说法正确的是( C )C2. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E 是边 AB 上一点, DE = AD ,连接 EC . 若∠ ADE =36°,则∠ DEC 的度数为( B )B B4. (2022·重庆)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O . 点 E , F 分别为 AC , BD 上一点,且 OE = OF ,连接 AF , BE , EF . 若∠ AFE =25°,则∠ CBE 的度数为 .65° 7. 如图,已知四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD 于点 O ,分别过点 C , D 作 CE ∥ BD , DE ∥ AC , CE 和 DE 交于点 E ,连接 AE ,交 BD 于点 F ,点 O , F 分别为 AC , AE 的中点.(1)求证:四边形 ODEC 是矩形;(1)证明:∵ CE ∥ BD , DE ∥ AC ,∴四边形 ODEC 是平行四边形.又∵ AC ⊥ BD ,∴∠ DOC =90°.∴▱ ODEC 是矩形.(2)若 OF =1,∠ CAE =30°,求 AC 的长. 8. 如图,已知点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点, CE ∥ BD , EB ∥ AC ,连接 OE ,交 BC 于点 F . (1)求证: OE = CB ;(1)证明:∵ CE ∥ BD , EB ∥ AC ,∴四边形 OBEC 为平行四边形.∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°.∴▱ OBEC 为矩形.∴ OE = CB . 9. (2022·贺州)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB =8, BC =6,点 E , F 分别是 AD , AB 的中点,∠ ADC 的平分线交 AB 于点 G ,点 P 是线段 DG 上的一个动点,则△ PEF 周长的最小值为 . 【解析】如答图,在 CD 上取点 H ,使 DH = DE ,连接 EH , PH , FH ,过点 F 作 FK ⊥ CD 于点 K . 在矩形 ABCD 中,∠ A =∠ ADC =90°, AD = BC =6, CD = AB =8,∴△ DEH 为等腰直角三角形.∵ DG 平分∠ ADC ,∴ DG 垂直平分 EH . ∴ PE = PH . ∴△ PEF 的周长等于 PE + PF + EF = PH + PF + EF ≥ FH + EF . ∴当 F , P , H 三点共线时,△ PEF 的周长最小,最小值为 FH + EF . 答图 答图 答图 11. 如图,在矩形 ABCD 中,已知∠ BAD 的平分线 AE 与 BC 边交于点 E ,点 P 是线段 AE 上一定点(其中 PA > PE ),过点 P 作 AE 的垂线与 AD 边交于点 F (不与点 D 重合).一个直角三角形的直角顶点落在点 P 处,两直角边分别交 AB 边和 AD 边于点 M , N . (1)求证:△ PAM ≌△ PFN ;(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ BAD =90°.∵∠ BAD 的平分线 AE 交 BC 边于点 E ,∴∠ BAE =∠ EAD =45°.∵ PF ⊥ AP ,∴∠ PAF =∠ PFA =45°.∴ PA = PF . ∵∠ MPN =90°,∠ APF =90°,∴∠ MPN -∠ APN =∠ APF -∠ APN ,即∠ MPA =∠ NPF . 又∵ PA = PF ,∠ MAP =∠ NFP =45°,∴△ PAM ≌△ PFN (ASA).(2)若 PA =3,求 AM + AN 的长. 12. 如图,在△ ABC 中,已知 AC =9, AB =12, BC =15,点 P 为 BC 边上一动点, PG ⊥ AC 于点 G , PH ⊥ AB 于点 H . (1)求证:四边形 AGPH 是矩形.(1)证明:∵ AC =9, AB =12, BC =15,∴ AC2+ AB2= BC2.∴∠ A =90°.又∵ PG ⊥ AC , PH ⊥ AB ,∴∠ AGP =∠ AHP =90°.∴四边形 AGPH 是矩形.(2)在点 P 的运动过程中, GH 的长是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 13. (选做)如图,在边长为1的正方形 ABCD 中,点 K 在 AD 上,连接 BK . 过点 A , C 作 BK 的垂线,垂足分别为 M , N ,点 O 是正方形 ABCD 的中心,连接 OM , ON . (1)证明:△ ABM ≌△ BCN ; (2)请判定△ OMN 的形状,并说明理由;(2)解:△ OMN 是等腰直角三角形.理由如下:如图,连接 OB . ∵点 O 是正方形 ABCD 的中心,∴ OA = OB ,∠ OBA =∠ OAB =45°=∠ OBC , AO ⊥ BO . 由(1)可知,∠ MAB =∠ CBM ,∴∠ MAB -∠ OAB =∠ CBM -∠ OBC . ∴∠ MAO =∠ NBO . ∵△ ABM ≌△ BCN ,∴ AM = BN . 演示完毕 谢谢观看
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