新高考数学解答题核心考点分解训练与突破01平行垂直证明含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破01平行垂直证明含解析答案，共30页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

证明：.
2．如图，是三棱锥的高，，，是的中点.证明：平面.

3．如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面.
4．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论.
5．如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：.

6．如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明：平面.
7．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．证明：平面.
8．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点.证明：平面.

9．如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面.
10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由.
11．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.
(1)作出（不要求写作法）；
(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由.
12．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；

13．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．证明：直线平面PAD.
14．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；

15．如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

16．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．证明：.
17．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l⊥平面PDC.
18．在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面
19．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，.
(1)求证：；
(2)若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点E，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，证明：
21．如图，四棱锥中，平面平面为等边三角形，，是棱的中点. 证明：；
22．如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面.
23．如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点. 求证： 平面.
24．在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.

25．已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. 求证：平面平面.

26．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，分别是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上确定一点，使平面，并给出证明.
27．如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
28．如图，在四面体中，证明：
29．如图，四棱锥中，，，，平面平面．证明：；
30．在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
求证：底面；
31．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．求证：平面平面.
32．如图，三棱锥中，平面，．证明：在线段上存在点，使得，并求的值．
参考答案：
1．证明见解析
【分析】利用空间直角坐标系，由正四棱柱的各棱长分别表示出向量与，根据向量共线定理即可证明.
【详解】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，
所以，
可得，即向量与共线，
又不在同一条直线上，
所以.
2．证明见解析.
【分析】根据题意，连接并延长交于点，连接、，根据几何关系证明为的中点，再根据三角形中位线的性质得到，最后根据线面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，
又因为平面，
所以、，
又，所以，即，
所以，
又，即，
所以，，
所以，
所以，即，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.

3．证明见解析
【分析】利用面面平行的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可得证.
【详解】因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为垂直底面于垂直底面于O，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
4．存在为棱的中点，证明见解析
【分析】由中点找中点，取棱的中点，证明两次线面平行即得平面平面.
【详解】
存在为棱的中点，使平面平面．
证明如下：如图，连接．
因为分别是棱的中点，所以，
因为平面平面，所以平面．
因为分别是棱的中点，所以，
因为平面平面，所以平面．
因为，平面，所以平面平面，得证．
5．证明见解析.
【分析】根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行.
【详解】证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线与母线的延长线必交于一点，四点共面.
圆面圆面，且平面圆面，平面圆面.
.
6．证明见解析
【分析】由线面平行的判定定理可知，只需在平面内找到一条和平行的直线即可.
【详解】连接，并延长交于G，连接，
∵，，F是线段BC的中点，
∴，又，
∴O是的重心，∴，
又D是侧棱中点，∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
7．证明见解析
【分析】由证明平面,再证,即可证得平面.
【详解】证明：由题可知，平面，平面，平面．
又平面，平面平面， ．
又平面，平面，
平面.
8．证明见解析
【分析】由线面平行的判定定理，在平面内找到一条平行于的直线即可得证.
【详解】证明：取中点M，连接，如图所示，G为中点，则，
又，得，由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.

9．证明见解析
【分析】先根据线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证。
【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形，
且有，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，得证.
10．当是棱的中点时，平面，证明见解析
【分析】取的中点，的中点，连接，记与交于点O，连接，先证明平面平面，从而得平面.
【详解】当是棱的中点时，平面，证明如下：
取的中点，连接，记与交于点O，连接．
易得平面平面平面．
由是的中点，知是的中点，
由四边形是正方形，知O为的中点，所以，
平面平面平面．
又，平面，∴平面平面，
平面平面.
11．(1)答案见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）延长交于点，利用点线面的位置关系可得直线即为所作直线；
（2）由利用三角形相似以及线面平行判定定理可求得线段的中点，使平面.
【详解】（1）延长交于点，经过点画直线，则直线即为所作直线，如图所示：

易知平面，则平面，
同理平面，又平面，平面，
因此平面平面，即面平面，
所以直线即为所作直线.
（2）点为的中点，使平面；

由，得，而，则，
即为的中点，
又点为的中点，于是，
而平面平面，
因此平面，
所以线段的中点，使平面.
12．证明见解析
【分析】利用线面平行的判定定理，得到平面，再利用线面平行的性质，即可证明结果.
【详解】证明：四棱锥的底面是菱形，，
又平面，平面，则平面，
又平面平面，平面，
所以.
13．证明见解析.
【分析】
由中位线和平行传递性推导出平行四边形，利用平行四边形性质，在平面PAD中找到与平行的线段，再通过线线平行证明线面平行.
【详解】
取PD中点E，连接AE，NE，
∵N为PC中点，∴且，
又且，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
平面PAD，平面PAD，平面PAD．
14．证明见解析
【分析】连接，利用三棱柱性质和面面平行的判定定理可证明平面平面，由面面平行的性质可得平面；
【详解】证明：连接，如下图所示：

因为，且，分别是棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面，
所以平面.
15．存在，为的中点，证明见解析
【分析】当为的中点时，取得中点，连接，，，先利用中位线及平行四边形的性质得出，再根据线面平行的判定定理即可证明.
【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面.
证明如下：

取得中点，连接，，.
因为为的中点，
所以，且.
因为为的中点，且四边形为平行四边形，
所以，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
16．证明见解析
【分析】连接，可得，，可证平面，进而可得.
【详解】连接，
因为E为BC中点，，可得，
因为，，
可知与均为等边三角形，即，可得，
且，平面，
则平面，而平面，所以．
17．证明见解析
【分析】根据，利用线面平行的判定定理得到平面，再利用线面平行的性质定理得到，再由，，利用线面垂直的判定定理证明.
【详解】在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，
所以，
所以，
又平面，
所以
因为，
所以平面.
【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质．
18．证明见解析
【分析】取的中点为，连接，证得，利用勾股定理证得，即可证明平面，再根据面面垂直得判定定理即可得证.
【详解】证明：取的中点为，连接，
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
19．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】
（1）利用线面垂直的判定得平面，再通过线面垂直的性质即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量，利用面面垂直的空间向量法即可得到方程，解出即可.
【详解】（1）
取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）
由（1）得，因为平面平面且交线为，且平面，所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的法向量为，，则，
令，则，则
设平面的法向量为
则，令，所以，
若平面平面，则，求得，
此时，所以．即此时.
20．证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质定理证明AO⊥平面BCD，结合线面垂直的定义可证明.
【详解】因为，O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，
所以AO⊥CD
21．证明见解析
【分析】首先由面面垂直的判定定理求证平面平面，再由面面垂直的性质定理得平面，进而可证得.
【详解】在梯形中，设，
由，
，，
即，所以可得.
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，平面，所以平面平面
又等边是棱的中点，所以，
平面平面平面，所以平面，
平面，故.
22．证明见解析
【分析】由等腰三角形性质得到，再借助棱柱性质得到平面，由线面垂直性质得出，结合已知条件，根据线面垂直判定定理得证.
【详解】证明：因为是直三棱柱，所以平面，而平面，所以，
因为，M是的中点，所以，
因为,平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，,平面，所以平面.
23．证明见解析
【分析】通过证明线面垂直得到，通过几何关系得到，结合线面垂直的判定定理即可得解.
【详解】由于，所以，
由于是的中点，所以，
由于平面，平面，所以，
由于平面，
所以平面，
由于平面，所以.
由题设，
所以，所以，
由于平面，
所以平面.
24．证明见解析
【分析】依题意可取的中点，连接，利用棱长可证明，再由面面垂直性质可得平面，根据面面垂直判定定理可得出证明.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：

由题意可知为等边三角形，则，且，可得，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，由平面ABC，可得，
又因为，，平面，
可得平面，且平面，
所以平面平面.
25．证明见解析
【分析】
分别取,的中点,证明平面，建立空间直角坐标系，分别求得相关点坐标和相关向量的坐标，计算出平面和平面的法向量，由坐标运算得两法向量垂直即可推理得到.
【详解】
在中，且，由余弦定理，
得解得，得.
在中，，则为正三角形.

如图，取的中点O，连接，则，又平面平面，
平面平面平面，所以平面.
取的中点E，连接OE，则，而，所以，
由平面，所以
故可以O为原点，以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，
所以
设平面和平面的一个法向量分别为，
则
令，则，
所以，所以，
故平面平面.
26．(1)证明见解析
(2)为线段中点时，平面，证明见解析，
【分析】
（1）由中位线易得，，从而得，，然后由平面与平面平行的判定定理即可证明结论；
（2）Q为中点，可知，则为平面四边形，可证，，则平面，证毕.
【详解】（1）分别是线段的中点，所以，
又为正方形，，所以，
又平面，所以平面，
因为分别是线段的中点，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）为线段中点时，平面，证明如下：
取中点，连接，
由于，所以为平面四边形，
由平面，得，
又，，所以平面，
因为平面，所以，
又三角形为等腰直角三角形，为的中点，所以，
又因平面，所以平面.
27．(1)证明见解析
(2)存在，且
【分析】（1）利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接，利用面面垂直的性质推导出平面，可得出，可得出，推导出，可得出平面，再利用线面垂直的性质可得出结论.
【详解】（1）证明：如图1，在中，、分别是和边的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面.
（2）解：在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接.

由题意得，平面平面.
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为平面，所以，.
在中，因为，，所以，，
所以，，
翻折前，为等边三角形，则，
因为为的中点，所以，，即，
翻折后，仍有，所以，，故，
在中，，因为，则.
又因为，则平分，
因为是斜边上的中线，则，且，
所以，是等边三角形，则，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
综上，在线段上存在一点，且当时，.
28．证明见解析
【分析】
取的中点为E，连结，分别证明和，即得平面，从而.
【详解】
如图，取的中点为E，连结，∵，∴，
在和中，，，，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴．
29．证明见解析
【分析】取BC中点，连接，则四边形为正方形，故可证，结合面面垂直有平面，故可证.
【详解】
取BC中点，连接，则，
又，，
所以四边形为正方形，则，且，
又在中，，则，
所以，即．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又面，所以．
30．证明见解析
【分析】先根据余弦定理与勾股定理证明，进而证明面，
【详解】在中：，，所以．
在中：，，，
由余弦定理有：
，故，所以，所以①
又因为②，由①②，，面，所以面.
又平面，所以③．
在中：，，，所以④.
由③④，，面，所以面．
31．证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可证得结果.
【详解】连接，
∵O，E分别为的中点和的中点，，
因为四边形为矩形，所以，
又在直四棱柱中，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，即平面，
又平面，所以平面平面.
32．证明见解析，．
【分析】利用线面垂直性质可证明平面，再利用三角形相似即可求得.
【详解】证明：在平面内，过点B作，垂足为，
过作交于，连接，如下图所示：
由平面，平面可得，所以．
由于平面，
故平面，又平面，所以；
即可得在线段上存在点，使得；
在直角中，，
从而．
由，得．