新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02圆锥曲线中的求值问题含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02圆锥曲线中的求值问题含解析答案，共43页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知点在双曲线上，直线l交C于两点，直线的斜率之和为0，则l的斜率为 ．
2．已知曲线的方程为，设点在直线上，过的两条直线分别交于A、两点和，两点，且，则直线的斜率与直线的斜率之和为 ．
3．已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于 ．
4．已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，直线与椭圆C交于M，N两点，射线与椭圆C交于点P，设直线，的斜率分别为，，则 ．
5．已知椭圆与抛物线交于点，直线与轴的交点既是的右焦点，也是的焦点，点关于原点的对称点分别为，点是上与均不重合的点，记直线的斜率分别为，则 .
6．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
7．已知点满足方程，点，，若直线的斜率为，斜率为，则的值为 .
8．已知椭圆的上下顶点分别为，过点的直线交椭圆于两点，记，则 .
9．设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，已知点，若直线AM与直线AN的斜率分别为，，则 ．
10．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点P是直线上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为，，则 ．
11．已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为 ．
12．已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 .
13．过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的最小值为 ．
14．斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是 .
15．已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ．
16．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ．
17．已知，是椭圆C：上两个动点，满足，O为坐标原点，则 ．
18．已知点是椭圆C：上的一点，是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆C的方程是.若圆的切线与椭圆C相交于M点，则的最大值是 .
19．已知椭圆，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ．
20．已知点P在双曲线上，分别过P点作渐近线的平行线交x轴于点A，B且A点在靠近原点一侧，过A点作x轴的垂线交以为直径的圆于点C，则的取值范围是 ．
21．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，若，则的面积为 ．
22．记抛物线的焦点为F，点，直线与抛物线C交于M，N两点，则四边形的面积为 .
23．已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为 ．
24．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ．
25．已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，是双曲线右支上任一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若的最小值是，则当取最小值时，的面积是 .
26．若双曲线的一条渐近线为，则过抛物线的焦点且垂直于轴的弦，与抛物线的顶点组成的三角形的面积为 .
27．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点且均与轴平行，在直线上分别取点（均在点的右侧），和的角平分线相交于点，则的面积为 .
28．过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ．
29．已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则与为坐标原点）面积之和的最小值为 .
30．如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左，右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为 .

31．在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则 ．
32．已知椭圆，A，B为其左右顶点，设直线上有一动点，连结AP，BP交椭圆于C，D，则直线BC的斜率与直线BD的斜率的乘积 .
33．已知椭圆，过椭圆左焦点F任作一条弦（不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的最小值为 ．
34．已知直线与椭圆交于两点，则 .
35．过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .
36．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 .
37．已知抛物线上的点到焦点的距离为4，过点作直线交抛物线于两点，延长交准线于点两点在准线上的射影分别为，若，则的面积为 ．
38．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，且，过双曲线C上一点Q作两渐近线的平行线分别交渐近线于M，N两点，则四边形OMQN的面积为 .
39．的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 .
40．已知抛物线.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形面积的最小值为 .
41．过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ．
二、解答题
42．已知矩形有三个顶点在抛物线上，证明：矩形的周长大于．
参考答案：
1．
【分析】显然直线的斜率存在，设， ，联立双曲线方程由韦达定理有，结合，化简并整理得，由此即可进一步求解.
【详解】易知直线的斜率存在，
设，，
联立，
可得，，
所以，，
即且．
所以由可得，
，
即，
即，
所以，
化简得，，
即，
所以或，
当时，
直线过点，
与题意不符，舍去.
即．
故答案为：.
2．0
【分析】先设出直线的方程，再分别将直线的方程与双曲线方程联立，利用设而不求的方法去表达，解之即可求得直线的斜率与直线的斜率之和.
【详解】如图所示，设，
设直线的方程为．
联立，
化简得．
则．
故．
则
设的方程为，
同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．因为，
所以．
故答案为：0
3．或
【分析】讨论若的大小，若，设，根据点在椭圆上可得，结合化简可得，再根据椭圆离心率求出，同理可求时情况，即可得答案.
【详解】由题意知若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故；
若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故，
故答案为：或
4．3
【分析】设，，直线过定点,设，由此求得，．再利用点差法求出，，即可结合，化简求值，求得答案.
【详解】设，，直线过定点．

设，即，
则，．
因为，所以，
两式作差得，
即，
所以，结合，得，，
由于，即，而射线与椭圆C交于点P，故，
又，故，
所以，
故答案为：3.
【点睛】关键点睛：本题的关键是设，再利用点差法解出，，最后再化简，将上述两式代入即可得到答案.
5．4
【分析】椭圆半焦距为c，根据给定条件，结合椭圆、抛物线的对称性求出及点的坐标，再利用斜率坐标公式计算即得.
【详解】令椭圆半焦距为c，由的右焦点，也是的焦点，得，
又直线过点，由椭圆、抛物线的对称性知，点关于x轴对称，即直线轴，
由，得，由，得，于是，即，
则，解得，不妨令，则，设，
显然，
，
所以.
故答案为：4
6．或
【分析】由A，F，B三点共线可得，再将A，B两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去求出，进而得到直线的斜率.
【详解】设，，因为，
又A，F，B三点共线，所以，
所以，所以，.
又，在椭圆上，
所以，所以，
即，
所以，所以，
所以，又，所以，所以，
由，解得，
当时，直线l的斜率；
当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或.
7．/
【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程，将方程变形代入斜率关系可得定值.
【详解】已知动点满足方程，
设，且，
则有，
故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程，
则，，
故所求轨迹方程为，则，
又，，
则.
故答案为：.
8．3
【分析】设，直线斜率为，直线：，直线：，联立直线和椭圆得到，，再把直线，直线分别与直线联立求得和坐标，利用等式得到和，两式相乘即可得出答案.
【详解】如图，，

设，直线斜率为，
则直线为，
联立，得，
则，，
设直线：，直线：，
联立，得，
联立，得，
由得，
解得，①
由得，
解得，②
①②得：，
即，则.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查解析几何，考查直线与椭圆相交问题，考查数学运算，属于中档题.
9．
【分析】先根据题意假设直线l的方程，联立椭圆的方程，由韦达定理得到，，从而利用斜率公式直接运算即可得解.
【详解】因为椭圆，所以，其右顶点为，下顶点为，
所以过点的直线l的斜率存在且不为0和，设直线l的方程为，即，
设，，点M，N的坐标均不为，
联立整理得，
则，解得,
因为时，，，
所以
.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
10．
【分析】设，由斜率公式可得，设，则有，由，可得.
【详解】，，设，
则，直线PB的斜率．
设，则有，
由，，所以，
所以，故．
故答案为：
11．
【分析】设点依题意找出的等量关系，进而由的范围求出的范围.
【详解】设点，，，求出，由把用表示，从而上的范围得的取值范围．
设点，，，
则，∴．
又∵，∴．
故答案为:
【点睛】结论点睛：在椭圆中，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上不同于的点，则（斜率存在时）．
12．/
【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两点间的距离公式计算可得.
【详解】椭圆的右焦点，
因为直线的倾斜角为且过点，
所以直线，设，，
联立，消去得，
所以，，
所以，，
所以，，
所以.
故答案为：
13．
【分析】结合点斜式得直线l的方程，联立方程组，利用根与系数关系和弦长公式，即可得出答案．
【详解】椭圆，则，，
由于直线l过右焦点，
则当l的斜率不存在时，令x＝1，则y＝，可得|AB|；
当斜率存在时，设直线，
代入椭圆方程得，，
即有，
即有
，则最小值为.
故答案为：．
14．
【分析】确定点P在椭圆上，设，联立椭圆方程可得根与系数的关系，化简可得，结合题意可求得，由此可求出A，B的横坐标，即可求得，即得答案.
【详解】由题意知满足，即P在椭圆C：上，
设，

联立，得，
需满足，即，
又因为在直线l的左上方，故，即，即；
若A或B的横坐标为，则，
则或，与不符，
故A或B的横坐标不可能为为；
则，，
则
上式中，分子等于
，即，
又，则与x轴围成的三角形为正三角形，
故，
故直线PA的方程，联立，
可得，其两根为，
则，即，
故；
同理求得，，
而，
故的周长是,
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，求解三角形周长，即要求出直线和椭圆相交的弦长，难点在于计算的复杂以及计算量较大，因此要十分细心.
15．
【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.
【详解】由，得，
故两点在直线上，
联立，消得，
恒成立，
则，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键.
16．
【分析】结合题意可得椭圆方程，借助点差法可得，设出直线的方程，结合可得其斜率，再借助韦达定理与弦长公式即可得解.
【详解】由题意得，解得，故椭圆的方程为，
设，线段的中点为，连接，如图，
点在椭圆上，，两式相减得，
则，
设直线的方程为，则，
点也为的中点，，
，解得，
，
，故直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，
则,
故答案为：
【点睛】方法点睛：点差法是处理中点弦问题常用的求解方法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率．
17．
【分析】根据已知条件列方程，整理后求得.
【详解】椭圆的方程为，即，
将两点坐标代入得，即，
两式相乘可得，
由得，则，
则，则.
由两式相加可得，
所以.
故答案为：
18．3
【分析】根据椭圆的几何性质可得方程为，由圆的切线可得，进而根据椭圆的弦长公式得，利用换元以及不等式即可求解最值.
【详解】由和可得， 即，，解得，，所以椭圆C：；
设圆的切线方程为，由得，
联立 消去x得，
，
设，，则，，
，
设，，
当且仅当，即时，取得最大值3.
故答案为：3
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19．
【分析】对直线、的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线、分别与两坐标轴重合时，直接求出的值；当直线、的斜率都存在时，设直线，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】当直线、分别与两坐标轴重合时，；
当直线、的斜率都存在时，设直线，
联立，可得，

所以，，
同理可得，
所以，
，
因为，则，令，
令，
因为函数在上为增函数，在上为减函数，
又因为，，则，
此时，，则.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
20．
【分析】根据射影定理可得，再求出两条相交直线的方程后利用韦达定理可求的长度为定值.
【详解】根据题意，过点与双曲线的两条渐近线分别平行的相交直线方程为，
设，则是关于x的方程的两根，
而，
因此．
故答案为：.
21．
【分析】设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可求出与的关系，不妨设直线的倾斜角为，依题意可得，再由及二倍角公式求出，从而得到直线、的方程，联立直线与双曲线方程，求出、坐标，即可求出方程，再求出面积即可.
【详解】法一：因为易知直线的斜率存在，设，，
联立可得，
由，可得且．
所以，
所以由可得，
即，
即，
所以，
化简得，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
不妨设直线的倾斜角为，
因为，所以，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去），
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，因为，所以，
即，即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，
且直线，整理得：，
所以点到直线的距离，
故的面积为．
法二： 设直线的倾斜角为，，，，
由，则，解得（负值已舍去），
由，即，得，
即，
联立及得，，
同理，，，
故，，
而，，由，
即，解得（负值已舍去），
故
故答案为：
22．
【分析】结合图形，因直线穿过四边形，且长度可求，故可把四边形的面积分割成两个三角形的面积的和来计算，需要求两个三角形的高，而这可以通过直线与抛物线方程联立后运用韦达定理求得.
【详解】
如图，由题意得，，联立，得.
设，，则，，
而四边形的面积为.
故答案为：.
23．
【分析】首先利用几何关系确定点的位置，再根据方程联立，求得底边长和高，即可求三角形面积的最值.
【详解】设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，
此时椭圆上的点到直线的距离最远，即的面积取得最大值．
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，化简可得：，
所以，即，解得，与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
联立，得或，
由两点之间距离公式可得．
所以△AMN的面积的最大值：．

故答案为：18
24．
【分析】先由条件求得椭圆方程，再分类讨论直线斜率存在与否，联立直线与椭圆方程求得，联立直线与抛物线方程求得，从而得到四边形面积关于的表达式，由此得解.
【详解】由题意得，即，又，所以，
由，得，所以椭圆的方程为.
由题意得过点的直线的斜率不为零，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
设，，，，
联立，消去得，易知，
则，，
所以，
抛物线的方程为，直线方程为，
联立，消去得，
则，
所以，
所以
，
因为，所以，，；
当直线的斜率不存在时，，，
所以；
综上，，所以四边形面积的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．
【分析】根据渐近线方程求出，得出，利用基本不等式求出当取最小值时，的值，结合面积公式可得答案.
【详解】由题意，得双曲线：的渐近线方程为，则，所以双曲线：，即.
由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，，，得.
设，则，
由点到直线的距离公式得.
在中，
，
所以，当且仅当时取等号，此时，
所以的面积为.
故答案为：.
26．2
【分析】由双曲线的渐近线求得，然后求出两点坐标后计算三角形面积．
【详解】双曲线的渐近线方程是，又直线是其一条渐近线，所以，
抛物线方程为，焦点为，
代入抛物线方程得，，即，
，
．
故答案为：2.

27．
【分析】当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，求出，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，,，,，联立抛物线的方程，由，求出，根据锐角三角函数表达边长，再进一步求出的面积．
【详解】由的右焦点为，所以抛物线的焦点为，
故，则，因此抛物线，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入抛物线的方程，得，
所以，，所以，不合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，,，,，
联立，得，所以，
所以，所以，
由对称性不妨设，则，
因为和的平分线相交于点，，
所以，，，
所以在中，，
，
所以
，
故答案为：．
28．
【分析】设出两直线的方程，求出、，表示出四边形面积，即可得出答案.
【详解】抛物线的焦点，
因为和的横坐标相同且在抛物线上，易知关于x轴对称且夹角为，
所以直线的斜率为，则直线的斜率为，显然直线和的斜率都存在，
则设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，消元得，则，
即，同理，
所以四边形的面积为：，
故答案为：.
29．
【分析】根据题意直线PQ斜率存在，设其方程为，利用导数可得出抛物线在点P、Q处的切线斜率，联立直线AB的方程与抛物线的方程，根据韦达定理即可求出的值，再利用面积公式结合基本不等式得出最小值.
【详解】由，得，，求导得，
根据题意直线PQ斜率存在，设其方程为，
设，，可知在处切线斜率分别为，
设，显然过点M的切线的斜率存在，设切线方程为，
联立方程，消去y得，
则，整理得，
可得，即，
联立方程，消去y整理得，
则，可得，
则直线PQ的方程为，过定点，且，
设，则，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以与为坐标原点）面积之和的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
30．
【分析】由求出，设，可得，从而，进而由，可求出.
【详解】由椭圆的对称性及得，
因为，所以，
设，则，即，
则，
因为，所以，所以，所以，
故.
故答案为：
31．/
【分析】设，，用表示，再将代入椭圆方程联立即可求解.
【详解】设，，中点，
，
因为，由椭圆的对称性可得，，
所以，
将，分别代入椭圆，
两式相减得，即，
所以，
故答案为：
32．/
【分析】由斜率公式与椭圆性质求解，
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
设，则，
故答案为：
33．
【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程由韦达定理代入求出，
再求出，即可求出，再由基本不等式即可求出的最小值.
【详解】设直线，
联立，
所以，，
由韦达定理可求得，
，
因为在椭圆上，所以，即，
由椭圆：可得，，
所以，
所以，
则，等号显然可以取得，故最小值为．
故答案为：.
34．/
【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】联立与，得，
设，
则，
故.
故答案为：
35．
【分析】由题意可知即为椭圆与直线的交点，设，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出的最大值是.
【详解】根据题意可知，显然在椭圆上，不妨取，则，
设，由不重合可知，且，即
所以，
根据二次函数性质可知，当时，取最大值为，
即可得的最大值是.
故答案为：
36．
【分析】由题意可知离心率且焦距为，结合焦距为，解出，从而得到椭圆方程；由，设出直线方程，与椭圆方程联立，再结合韦达定理可将表示成的函数，进一步求其最大值即可.
【详解】由题意得,
解得,，，
∴椭圆的方程为 .
由，设直线的方程为，，.
联立得，得 ，
又直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，
解得，
∴，，
∴
，
故当，即直线过原点时，最大，最大值为.
故答案为：.
37．
【分析】借助焦半径公式可得，借助抛物线定义与相似三角形的性质计算可得，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】由抛物线过点，且，
得，准线方程为，
如图．因为，所以，所以，
连接，又，所以为等边三角形，
因为，所以，得，
得，所以，
由，解得，
所以．
故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相似三角形的性质，得到系列等式，以解出、.
38．
【分析】先求得双曲线方程为，设到两渐近线的距离之积，结合双曲线的方程，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】过作渐近线的垂线，垂足为，如图所示，因为，，所以，
因为，所以，
在直角在中，，所以，所以，
又因为，所以，所以双曲线方程为，
因为，所以，
设到两渐近线的距离为，则，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.

39．1
【分析】由题意设出点的坐标，且由已知得，从而由点到直线的距离公式求出点到直线BC的距离的最小值即可.
【详解】设，
点到直线BC的距离为，
当时，取得最小值，
则的面积，
且当时，的面积取得最小值，且最小值为1.
故答案为：1.
40．32
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，设其两根为，求出，由抛物线的定义求出，同理求出，据此即可求解.
【详解】
依题意知,直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程为,
与抛物线方程联立,得，
消去,整理得,
设其两根为,则.
由抛物线的定义可知，,
同理可得,四边形的面积.
当且仅当时等号成立,此时所求四边形面积的最小值为32.
故答案为：32
41．
【分析】由题意设直线的方程为，将其与双曲线方程联立化简得，结合韦达定理、弦长公式可用表示出，由点到直线的距离公式可得三角形边上的高，从而可得三角形面积表达式，进一步可得（平行）四边形面积表达式，进一步即可求解.
【详解】
由题意得．
因为点在的右支上，
所以设直线的方程为．
与联立，得，，
设，则，
所以．
易知点到直线的距离．
由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形，
其面积．
由，得，
所以，所以．
故答案为：.
42．证明见解析
【分析】法一，设出矩形在抛物线上的三个顶点的坐标，利用斜率坐标公式求出，进而表示出线段长，建立矩形半周长的关系，结合放缩法求出函数最小值推理即得；法二，设及直线方程，与抛物线方程联立求出长，建立矩形半周长的关系，结合放缩法求出函数最小值推理即得.
【详解】设矩形的三个顶点在上，且，
显然矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
直线斜率，同理直线斜率，
而，不妨令，，则，即，
设矩形周长为，由对称性不妨设，，
则
，而，
则令，求导得，
当时，，当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，即，因此，
当时，，而等号成立的条件是，
所以．

法二：不妨设在上，且，
依题意，设，显然直线，的斜率均存在且不为0，则设，的斜率分别为和，
由对称性，不妨设，直线的方程为，
由得，，
解得，则，同理，
，
令，则，设，
则，当时，，当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，因此，
但等号成立的条件为，
所以，即矩形的周长大于．