新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02求空间角及空间向量的应用含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02求空间角及空间向量的应用含解析答案，共44页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
2．如图，在三棱锥中，，若，则直线与所成角的大小是 .

3．如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
4．如图，在圆锥中，是底面圆直径，，，为的中点.则直线与直线所成角的余弦值为 .
5．如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .

6．如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
7．如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
8．如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ．
9．如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
10．如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
11．如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 .
12．如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
13．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 ．

14．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l．若，Q为l上的点，则PB与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
15．如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为 .

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BCAD，PA⊥平面ABCD且AB＝BC＝PA＝1，AD=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为 ．
17．如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为 .
18．如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），直线与平面所成角为，则的最大值为
19．如图，平面，，且，则直线与平面所成角的正切值为 .
20．如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为 ．
21．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为 ．
22．如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为 ．
23．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.则这个二面角的余弦值为 .
24．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ．
25．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．

26．如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则 ．
27．在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为 ．
28．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点，若，，，则二面角的正弦值为 ．

29．在正方体中，为的中点，则二面角的大小为 ．
30．在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为 ．

31．如图，在三棱柱中，，，，，，点，分别在棱和棱上，且，，则二面角的正切值
32．如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则 ．
三、解答题
33．如图，在正三棱柱中，D，E分别为棱的中点，在棱上，且平面．若，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案：
1．D
【分析】建立空间直角坐标系，解得平面的法向量为,,，,1,，设，则,,，，解得，可得坐标，
平面的法向量为,1,，设与平面所成角为，则，进而可得答案．
【详解】如图，建立空间直角坐标系：

,1,，,1,，
设平面的法向量为,,，
则，令，则，，
所以,2,，
又,1,，因为点在上，
设,,，所以,,，
所以,,，
因为面，所以，
所以,,,2,，
所以，解得，
所以,,，
平面的法向量为,1,，
设与平面所成角为，
所以，
所以，
故选：D．
2．
【分析】
利用空间向量可得，在根据模长可求得，即可求出直线与所成角的大小是.
【详解】根据题意可得，又，
所以可得
，
即可知，
设直线与所成的角为，
则，又，
所以.
故答案为：
3．/
【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可.
【详解】．
解法一
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
所以，则，解得，
所以，所以，设线线角为
则，
因此异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
解法二
设，因为，所以，得．如图，取线段上靠近点的三等分点，靠近点的三等分点，连接，易知， 又，
所以，故为异面直线与所成的角或其补角．
，
所以，因此异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
4．
【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解直线与直线所成角的余弦值即可.
【详解】连接，
在圆锥中有平面，平面，所以
又是底面圆直径，所以为中点，因为，所以，
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系
则
所以，
则
则直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
5．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线与所成角的余弦值最大时点位置，进而求出大小.
【详解】
由题可以为原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则，设，
则，
设异面直线与所成角为，
则，
令，
则，
当时，，
当时，，
令，则，
因为，
当时，有最小值，
此时有最大值，
由得，，
则异面直线与所成角的余弦值最大时，
即，，
所以.
故答案为：
6．/
【分析】
以、、作为一组基底表示出、，再根据空间向量法计算可得.
【详解】因为，所以，
又，
设正四面体的棱长为，则，
所以
，
，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
7．/
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线的夹角.
【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为3，又，
则 ，
则 ，
故 ，
故直线与直线所成角的余弦值为 .
故答案为：.
8．/
【分析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点P到平面BFE的距离，结合三棱锥的体积等于1可得到，再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的范围，继而算出答案
【详解】以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
而，则点P到平面BFE的距离，
又，
在等腰中，到的高为，则
而，于是，
解得或，由，得，则，
设直线与所成的角为，则，，
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.
9．
【分析】根据题意以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，可知为二面角的平面角，设出点的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.
【详解】如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，
则
由，，可知为二面角的平面角，
又，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
其中，，
当且仅当，即时，取得最大值,
则的最大值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据题意设出点的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.
10．/
【分析】以为基底表示，利用向量的运算和夹角公式求解.
【详解】,
,
,
∵,
,
∴
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
11．
【分析】取的中点E，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解即得.
【详解】取的中点E，连接OE，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
依题意，，则，
设直线AD与BC所成的角为，
则，解得，
所以直线AD与BC所成的角为.
故答案为：
12．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可.
【详解】因为直线到平面的距离为，
所以必有面，即点到平面的距离为，
如图建立空间直角坐标系，设，又，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
则，解得，即，
过作平面的平行平面，与正方体的截面为，
分别为线段和线段的中点，则
所以在直线上，
设，
又，则，
当时，，
当时，，
又，所以，
则的最小值为.
故答案为：
13．
【分析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面，然后过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】

过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，
过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为，
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
故答案为：
14．
【分析】建立空间直角坐标系，向量法求与平面所成角的正弦值，利用基本不等式求最大值.
【详解】因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则，
为正方形，有，
平面，平面，则平面，
平面平面，，
平面，则，即，
设，则有，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量为，
则，
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，
当时，，
当时，
，
当且仅当且，即时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
故答案为：.
15．
【分析】由且可得四点共面，则可延长交与，由 平面,可知直线与平面所成角即，中求即可.
【详解】且四点共面
延长交与,如图

平面,平面
直线与平面所成角即,
,
则
即可解得
则
中可得
故答案为：.
16．/
【分析】证明出PA，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的余弦值.
【详解】因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为AB＝BC＝PA＝1，AD=2，
所以，
设平面PCD的法向量为，
则，
令，则，
故，
设PB与平面PCD所成角的大小为，
则.
故答案为：
17．
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，求出的坐标以及平面的法向量，根据向量法，即可得出答案.
【详解】
依题意，以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，
则，，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，
所以是平面的一个法向量.
设与平面所成的角为，.
因为，，，
则，
所以.
因为，
所以，
所以与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
18．
【分析】以为坐标原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量共线求出点坐标，从而求出向量，向量法计算直线与平面所成角的正弦值，当正弦最大时即为正切最大时，计算可求出正切值.
【详解】如图所示，以为坐标原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，所以，故

由条件可知平面的法向量为
设直线与平面所成角为，，
所以，
因为在上单调递增，
所以当取得最大值时，取得最大值，
当时，，此时，
所以.
故答案为：
19．
【分析】根据几何性质建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，得到直线的方向向量与平面的法向量，进而求出直线与平面所成角的正切值.
【详解】解：由题意，在中，，且，
∴是等腰直角三角形，，，
设，则，
∵平面，
∴，
∴是等腰直角三角形，
建立空间直角坐标系如图所示：
则,,,,
∴平面的一个法向量为：，
,
设直线与平面所成角为，
∴，
∴，
.
故答案为：.
20．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设与平面所成角的大小为，
则，
与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
21．
【分析】以为轴，为轴为轴建立空间坐标系，利用向量法求解与平面所成角的正弦值即可.
【详解】因为是矩形，所以，
又因为平面，平面,，平面，
所以，
以为轴，为轴为轴建立如图所示空间坐标系：
所以，因为是中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令解得，
所以与平面所成角的正弦值，
故答案为：.
22．
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件找到其横坐标和竖坐标之间的关系，再求线面角正切值的最大值即可.
【详解】根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系如下所示：
则，
设点的坐标为，，
因为，即，即；
取平面的一个法向量为，
故，则，
又在单调递减，在单调递增，
故时，取得最小值，取得最大值，
此时，取得最大值为.
故答案为：.
23．
【分析】根据条件，将二面角的余弦值转化成两向量的夹角，再利用条件即可求出结果.
【详解】因为，，
设二面角为，
则由图知，，又，
则，
即，所以，
故答案为：.
24．
【分析】
取的中点E，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面，再建立空间直角坐标系，求出棱长，利用面面角的向量求法求解即得.
【详解】在直三棱柱中，取的中点E，连接AE，由，得，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，平面，平面，则，，
又平面且相交，因此平面，直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
而，又，
解得，则，的中点，
则，，设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的一个法向量，则，令，得，
则，所以二面角的正弦值为.
故答案为：
25．
【分析】
根据几何体性质，建立以点为原点的空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的正弦值为.
【详解】不妨设，，所以，
．
，，
又，平面,
可得平面；
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
可得，取，所以；
且，取，所以，
所以，从而．
所以二面角的正弦值为．
故答案为：
26．1
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量的坐标表示，再由二面角为即可得或，可求出.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，
设，则，
设平面的法向量，则，
令，得，所以可得，
设平面的法向量，则，
令 ，得，即，
因此，
化简可得，解得或，
即或，
可得.
故答案为：1
27．
【分析】
设点是线段的中点，由得，根据已知得，进而得到平面，，可建如图所示的空间坐标系，利用向量法求解.
【详解】
设点是线段的中点，连接,由得，
由得，所以，
又正方形中,,平面,平面,
故平面，又平面,所以,
在平面内，过作，交于，则，
故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，则即，
取，则，故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
故答案为：.
28．
【分析】
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用空间向量即可求得二面角的正弦值.
【详解】
过点作，如图建立空间直角坐标系，

因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，
可得，，，，所以，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以；
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，
即二面角的正弦值为.
故答案为：
29．
【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，运用面面角的向量求解方法可求得答案.
【详解】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系:
设正方体的棱长为2，则，
设平面的法向量 ，则，令 则，
设平面的法向量 ，则，令 则，
设二面角的平面角为，，因此， ，
又由图示知二面角为锐角，所以二面角的大小为，
故答案为：.
30．/
【分析】根据面面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设的中点为，连接，
因为菱形ABCD中，，
所以三角形和三角形ACD都是等边三角形，
因此，，
因为平面平面ACD，平面平面ACD，
所以平面ACD，而平面ACD，
因此，因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设菱形的边长为，，
设平面BCD的法向量为，，
所以有，
平面ACD的法向量为，
平面BCD与平面ACD夹角为，
所以，
因此，
故答案为：
31．
【分析】根据题意，先得到平面，所以向量为平面的一个法向量；分别以，为轴，轴，以垂直于平面过点的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据题意求出平面的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.
【详解】因为，，，且平面，
所以平面，所以向量为平面的一个法向量；
分别以，为轴，轴，以垂直于平面过点的直线为轴，
建立空间直角坐标系，
因为，，，所以，，，
则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则 ，即，
解，令，则，
所以，
由图像可得，二面角为锐角，记为，
所以，
因此，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
32．
【分析】设正方体的棱长为1，，以为坐标原点，，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定、坐标进而得到、的坐标表示，求面、面的法向量，结合图形根据法向量夹角与二面角的关系，有关于的二面角余弦值的函数，求最值即可得的值
【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，，则易得，，
则，，设平面的一个法向量为
则，令，得平面的一个法向量为
由平面为xOz平面，可知其一个法向量为
由图知：平面与平面所成的二面角为锐角，设其为，则
当即时，取最小值，取最大值，此时最小角，即
【点睛】本题考查了空间向量与立体几何，构建空间坐标系并用坐标表示相关点坐标，将平面中两相交线段用向量的坐标形式表示求法向量，根据平面法向量夹角与二面角的关系，结合向量的数量积坐标公式得到二面角余弦值
33．
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得出结果.
【详解】取的中点，连接EG交AD于点，连接．易证，则．
因为平面，且平面平面，所以，
则四边形为平行四边形，故．
因为为棱AB的中点．所以
所以，所以，即
过点作AC的垂线AM，从而有两两垂直，
故以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
可得，
设平面的法向量为，
则，令，得；
所以；
易知，,,
所以平面，
则平面的一个法向量为．
设平面AEF与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．