新高考数学解答题核心考点分解训练与突破03体积与距离问题含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破03体积与距离问题含解析答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．不确定
2．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2B．4:5C．4:9D．5:7
3．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，正方体的棱长为4，，分别是棱，上的动点，且，当四点共面时，点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．3
5．如图所示，在三棱柱中，已知是边长为1的正方形，四边形是矩形，平面平面．若，则直线到面的距离为（ ）
A．B．1C．2D．3
6．如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题
7．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.若△是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，则三棱锥的体积为 .

8．如图，在中，分别在上，，沿将翻折，使平面平面，则四棱锥的体积的最大值为 ．
9．如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为 .

10．如图，在矩形中，，点为线段的中点.沿直线将翻折，点运动到点的位置.当平面与平面所成角为时，三棱锥的体积为 .

11．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为 ．
12．正三棱锥的高为为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为，则 .
13．如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ．
14．如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为 .

15．如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为 ．
16．如图所示为一个半圆柱，已知为半圆弧上一点，若，，直线与所成角的正切值为，则点到平面的距离是 .
17．如图，在三棱锥中，平面BDC，，则点B到平面ACD的距离等于 .
18．如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为 ．

19．如下图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，已知，，则点A到平面的距离 .

20．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .

21．在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 .
22．如图，已知AB，CM分别为圆柱上、下底面的直径，且AB＝2，圆柱的高为，，则点M到平面ABC的距离为 .
23．如图所示，已知三棱锥中，平面，，，，．则点A到平面的距离 ．
24．如图所示，若正方形的边长为，平面，且，分别为的中点，则点到平面的距离为 .
参考答案：
1．A
【分析】根据题意可知平面，而，在线段上运动，则平面，从而得出点到直线的距离不变，求出的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，得出点到平面的距离为，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.
【详解】解：由题可知，正方体的棱长为1，
则平面，又，在线段上运动，
平面，
点到直线的距离不变，
由正方体的性质可知平面，则，
而，，
故的面积为，
又由正方体可知，，，且，
平面，则平面，
设与交于点，则平面，
点到平面的距离为，
.
故选：A.
2．D
【分析】根据题设易知为直三棱柱，即侧面为矩形，利用柱体体积公式、锥体体积公式求，进而确定比值.
【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，
又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱体积，
而，故，
所以，故，
所以.
故选：D
3．A
【分析】设平面与平面交于， 由面面平行的性质可得，结合题意可知F是BC的中点，利用台体的体积公式可得，进而得出答案.
【详解】连接，设平面与平面交于，
因为平面平面，平面与平面交于，
则，又，
则，又是棱的中点，则F是BC的中点.
，,
，
，故.
故选：A.
4．A
【分析】由面面平行的性质得到，又，故，分别为，的中点，有等体积法求出点到平面的距离.
【详解】因为平面与平面平行，
当四点共面时，由面面平行的性质可得，
又，故此时，分别为，的中点，连接EF，

设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
，即.
其中，，
，，
取的中点，连接，则⊥，，
故，，
所以.
故选：A
5．A
【分析】首先证明平面，平面，即可得到直线到面的距离即为点到面的距离设为，利用等体积法计算可得.
【详解】因为四边形是矩形，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
所以直线到面的距离即为点到面的距离设为，
又，，所以，所以，
，
又，则，即，
解得，即直线到面的距离为.
故选：A
6．B
【分析】由三棱锥等体积法，可得，运算得解.
【详解】连接．由已知得为的中位线，所以，
为正三角形的中线，所以，又，
所以，所以为直角三角形，
所以．
因为，所以到平面的距离为，
设到平面的距离为，
因为，所以，
所以，所以．
故选：B.
7．/
【分析】建立空间直角坐标系根据二面角的大小为，求出的长，再利用三棱锥的体积公式求解.
【详解】∵平面平面，平面平面，平面，,
∴平面,
如图所示,以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴,建立空间直角坐标系，则,,,
设，，则，,
设为平面的法向量，则，即，
令得，故，
平面的一个法向量为，
∴，解得，
∴三棱锥的高为，
∵，
∴，
故答案为：.

8．
【分析】
由题意先得四棱锥的体积的表达式，进一步通过导数即可得解.
【详解】因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即是四棱锥的高，
不妨设，因为，所以，相似比为，
所以，
所以四棱锥的体积为，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，四棱锥的体积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是得到四棱锥体积表达式，由此即可顺利得解.
9．/
【分析】
首先求四棱锥的高，再根据体积公式，即可求解.
【详解】作平面，垂足为点，点为正方形的中心，连结，
，，所以，

所以四棱锥的体积.
故答案为：
10．
【分析】
根据二面角的几何法可得为平面与平面所成角的平面角，故,进而可得点到平面的距离，即可由锥体的体积公式求解.
【详解】
如图，取的中点，连接，与交于点.
由翻折前后的不变性可知，.由已知，四边形为正方形，则
所以（或其补角）为平面与平面所成角的平面角，故或；
由于平面,所以平面，平面，
故平面平面，即在平面上的射影在直线上（点在线段或上均可）.
由题意可知，在Rt中，，则
，又，则.
故答案为：
11．
【分析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.
【详解】
如图所示，连结，交于点，很明显平面，
则是四棱锥的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为
，
故答案为.
点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．
【分析】根据题意，做出截面，然后利用向量的线性表示及共线定理推论可得，进而可得，从而可得的值.
【详解】连接并延长交于，连接，则为的中点，
延长交于，过作分别交于，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，又平面，故平面即为过作与棱平行的平面，
由题可知，，即，
设，则，又为中点，
所以，
所以，所以，即，
，，
所以.
故答案为：.
13．/
【分析】取的中点，连接交于点，连接，由面面垂直的性质得到平面，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】如图，取的中点，连接交于点，连接．易知四边形为正方形，则，
由翻折前后的不变性可知，，
当平面平面时，又平面平面，平面，
所以平面．
由题意可知，，，
所以．
故答案为：
14．
【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用等体积法即可得解.
【详解】由题意，折叠后的四面体如图所示，

因为正方形边长为，分别是的中点，
所以，即，
又平面，所以平面，
同时由，得，
又，
所以，
，
设到平面的距离为，
则，即，解得.
故答案为：.
15．
【分析】
中点到平面距离为到平面距离的一半，由，等体积法求点到平面的距离.
【详解】设中点为O，O到平面距离为到平面距离的一半，连接，
设到平面的距离为，由，即，
，∴O到平面CDE的距离为.
故答案为：.
16．
【分析】
由异面直线夹角的定义确定直线与所成角的平面角，由条件可求，再由等体积法求点到平面的距离.
【详解】因为，又，所以，.
因为，平面，平面，
所以为直线与所成角，且，
即，
所以，故，
所以，
所以，，
，，
因为，，所以，
又，平面，
所以平面，
设点到平面的距离是，由等体积法得，
即，所以.
故答案为：.
17．
【分析】设到平面的距离为，利用，即可求得点到平面的距离.
【详解】因为平面BDC，所以，，
又，则，,平面,平面,
所以平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，所以，
设到平面的距离为，因为，
所以，解得 ，
故答案为：
18．/
【分析】
由题意可得平面，设点到平面MAD的距离为h，然后利用等体积法可求得结果.
【详解】
因为ABCD为矩形，所以，，
因为，平面，
所以平面，
因为，
所以，
，
点到平面MAD的距离为h，，
所以，解得．
故答案为：
19．/
【分析】
利用等体积法，结合分割法计算三棱锥的体积，明确底面积，根据体积公式，可得答案.
【详解】取的中点，记为，连接，如下图：

在中，，，且为中点，所以，同理可得：，
由，则，且，
因为，平面，所以平面
在中，由余弦定理可得：，
由，，解得，
在中，，
所以，易知，
三棱锥的体积，
在中，由余弦定理可得：，
则，，
设到平面的距离为，.
故答案为：.
20．/
【分析】
运用等体积法即可求得结果.
【详解】如图所示，

设到平面的距离为h，
由得，
所以，
因为正方体的棱长为1，所以，，，
所以是等边三角形，
所以，
所以，即到平面的距离为.
故答案为：.
21．
【分析】证明平面，再利用等体积法求解
【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面，
所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面，
易得,
在△中由余弦定理：得，故，
于是，
由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d
因为，所以,解得
故答案为：
22．
【分析】如图所示，连接AM，BM，设，O分别为上、下底面圆的圆心，连接AO，BO，.先证明平面ABO，得到，设点M到平面ABC的距离为d，根据等体积法可求.
【详解】如图所示，连接AM，BM，设，O分别为上、下底面圆的圆心，连接AO，BO，.
因为，又，，则平面ABO，
则，
过C作垂直于圆柱上底面，垂足为，连接，，
则，，
设点M到平面ABC的距离为d，
则有，解得，
故点M到平面ABC的距离为.
故答案为：
23．/2.4
【分析】
由等体积法可求点A到平面的距离.
【详解】因为，，，所以，
因为平面，所以，且，因为，
所以,
，
因为，所以是直角三角形，且，
所以，
因为在中，
由平面知，为三棱锥以平面为底时的高，
所以设点A到平面的距离为，由等体积法知：
，即：，
所以，解得：.
故答案为：
24．
【分析】设点到平面的距离为，转化为三棱锥的高，结合，利用锥体的体积公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
因为正方形的边长为，且、分别为、的中点，
可得,
又因为平面，且，所以，
设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，
因为平面，且平面，所以，
由正方形的边长为，且，
在直角中，可得，则,
在直角中，可得，则
在直角中，可得，即，
取的中点，因为，所以，且，
所以，
又由，可得，即，解得，
即点到平面的距离为.
故答案为：.