新高考数学解答题核心考点分解训练与突破专题02：转换法解三角形含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破专题02：转换法解三角形含解析答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为
A．4+2B．4﹣2C．1D．1
2．在△中，若，则△的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰或直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3．已知的内角的对边分别为，，且.若，是上的点，平分，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．设的内角所对的边分别为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．在 中，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，若的周长为，且，则（ ）
A．B．2
C．4D．
7．在中，已知，判断的形状（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
8．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，，则c＝（ ）
A．2B．4C．D．8
9．在 中，角 的对边分别为 ，且．角A等于（ ）
A．B．C．D．
10．在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ）
A．B．C．D．
11．在中，内角，， 所对的边分别为 ．已知．则（ ）
A．B．C．D．
12．在中，若，则角C等于（ ）
A．B．C．D．
13．记的内角对边分别为已知．若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰锐角三角形
C．等腰钝角三角形D．不等腰钝角三角形
14．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
15．在中，内角的对边分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
16．若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
18．在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
19．在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
20．在中，内角的对边分别为.若，且，则
A．B．C．D．
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
22．已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
23．在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．
25．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
26．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90B．60C．45D．30
27．在中，角的对边分别是，，则（ ）
A．B．C．D．
28．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
29．中，所对的边分别为，若，，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
30．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
31．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
32．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
33．在钝角中，角所对的边分别为，且，已知，，则的面积为
A．B．C．D．
34．在中，角、、的对边分别是，，，已知，且，则（ ）
A．9B．6C．3D．18
二、多选题
35．在中，若，则角的值可以为（ ）
A．B．C．D．
36．（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
37．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角B．
C．D．
38．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则为锐角三角形D．若，则为等腰三角形
三、填空题
39．在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，则 .
40．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为 ．
41．在中，角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，则的值为 .
42．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则实数的值为 ；
43．已知内角所对的边分别为面积为，且的中点为，则的长是 ．
44．在△ABC中，若，且，则的面积是 ．
45．在中，为中点，，且，则 ．
46．在中，角所对的边分别为，，，其中，为边上一点，，若，则的面积为 .
47．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ．
48．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角 ．
49．中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为 .
50．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
51．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为 .
52．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为 ．
参考答案：
1．D
【解析】先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可知的值，代入到余弦定理中求得．
【详解】解：由已知可得：，解得：，
又，由正弦定理可得：，
由余弦定理：
，
解得：，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．
2．B
【分析】利用切化弦及正弦定理边角转化，可得，即，从而可得出或.
【详解】由，可得，
由正弦定理，可得，
因为，所以，
则，故或，
即或，所以△是等腰或直角三角形.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换，考查学生的推理能力，属于基础题.
3．B
【分析】先利用正弦定理化简已知式求得，再结合角平分线定理求得，即知代入计算即得结果.
【详解】由正弦定理可知，，即，
故，故，而，故.
是上的点，平分，则由角平分线定理可知，，故，即.
故选：B.
4．B
【分析】由三角形内角和性质求出各角的大小，应用正弦定理求边的比例.
【详解】由，又，则，
由，即，
所以.
故选：B
5．D
【分析】由正弦定理得到，进而得到，即可求解.
【详解】由，根据正弦定理可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
故选：D.
6．C
【分析】根据正弦定理把转化为边的关系，进而根据的周长求出的值
【详解】由题知周长为①，
∵，
由正弦定理得②，
∴由①②，可解得.
故选:C．
7．D
【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答案可得.
【详解】解：根据正弦定理由，得，即，
所以，所以，
所以为等腰三角形.
故选：D.
8．A
【分析】由正弦定理，结合条件，得，进一步求出，利用余弦定理求出.
【详解】由正弦定理，及，
得，又，
所以，
整理得，所以，
又，所以．
由余弦定理，得，则．
故选：A．
9．B
【分析】根据正弦定理角化边化简，可得，再根据余弦定理即可求得答案.
【详解】在 中, ,则,
即，即，
故 ，而 ,
故，
故选：B
10．D
【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
设，则，，
由余弦定理可得.
故选：D.
11．B
【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.
【详解】，因为，得
又因为
得
整理得
由正弦定理可得
得
得，因为
所以
所以
故选:B
12．A
【分析】根据余弦定理可得的值，即得答案．
【详解】在中，，可得，
由于，故 ，
故选：A．
13．C
【分析】由条件运用正弦定理角化边，由余弦定理求出，根据条件可求得，从而可判断.
【详解】由已知，根据正弦定理得，，则，
∴，又，∴，
，
又，∴，∴，即，
此时，，∴为等腰钝角三角形．
故选：C．
14．A
【分析】由已知结合正弦定理可得，，的比例关系，然后结合余弦定理可求.
【详解】若，
由正弦定理可得：
，
可设，，，
由余弦定理可得，.
故选：A.
15．B
【分析】化简已知等式可得，由余弦定理边化角可求得，由此可得.
【详解】由得：，
，
，，即，
，又，.
故选：B.
16．B
【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答.
【详解】由，得，
化简得，
所以，由余弦定理得，
因为，所以，
因为，
所以，由正余弦定理角化边得，化简得，
所以，即为等边三角形．
故选：B
17．A
【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论.
【详解】，由正弦定理，得，
即
∴，可得，
又，∴，
则的形状为等腰三角形.
故选：A.
18．B
【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.
【详解】因为，
所以由余弦定理可得，即，
所以
故选：B
19．D
【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.
【详解】因为，
由可得：，
即，
所以，
所以，
所以或，
因为，，
所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
20．A
【详解】边换角后约去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.
21．B
【分析】利用正弦定理可得，根据三角形性质和边角互化得出，，解方程组可得结果.
【详解】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.
故选：B.
22．C
【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件转化为，由此可得．
【详解】由条件及余弦定理得：
∴，
由正弦定理得，
∴，即
∵，∴，
又，∴．
故选：C．
23．C
【分析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：，
由正弦定理得，
即，
由，
得，，
，，
即，即，则，
故选：．
24．C
【分析】由射影定理以及可得的值，根据可计算出的值，结合已知条件可求解出的值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，，所以是等边三角形，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：，，.
25．A
【解析】由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及，得，结合余弦定理，即可求得本题答案.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，
∴，
又，∴；
由正弦定理及，得，
又由余弦定理得，
所以，得．
故选：A
【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.
26．B
【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，解得，
而，则，由余弦定理及得：，
而，因此，，即，又，则，
所以.
故选：B
27．C
【分析】根据正弦定理角化边有，设，，，
再利用余弦定理即可求得.
【详解】在中，，则，
设，，
则.
故选：C
28．D
【分析】根据题意及三角形内角和可得，根据正弦定理即可求解.
【详解】因为，，所以.
所以由正弦定理可得.
故选:D.
29．D
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理列出方程，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
即，
又因为，可得，所以，
因为，由余弦定理可得，
即，所以.
故选：D.
30．B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
31．B
【解析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】，由正弦定理可得，可得，
由余弦定理可得：，，所以，
由，有，得，
所以，，，，
由余弦定理可得.
故选：B.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
32．A
【分析】根据题意和正弦定理可得，进而，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】，由正弦定理，
得，又，所以，
所以，则，
所以，
所以的面积为.
故选：A.
33．C
【解析】由正弦定理可得，再利用二倍角公式可求，再利用余弦定理求出后可求的面积.
【详解】由正弦定理，得，由，得（舍），
由余弦定理，得
，
即，解得.
由，得，所以的面积，故选C.
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
34．B
【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系，解方程求即可.
【详解】设的外接圆半径为，
因为，
所以，
所以，
所以，又，
所以，
所以或（舍去），
故选：B.
35．AD
【分析】由余弦定理及同角三角函数的关系可得，根据三角形内角性质即可求角的大小.
【详解】由，显然，故，
又，则为或.
故选：AD
36．BD
【分析】根据已知条件结合余弦定理可得，为三角形内角有，即可求B的值.
【详解】根据余弦定理可知，代入，
可得，即，因为，
所以或.
故选：BD.
37．BCD
【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断.
【详解】∵，∴，
即，∴，
又，∴一定是钝角，故A错误；
由余弦定理知，，
化简得，，故B正确；
∵，
∴，
，C正确；
∴，D正确；
故选：BCD
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
38．AC
【分析】利用余弦定理可判断选项A，利用正弦定理和二倍角的正弦公式可判断选项B，利用边与角的关系可判断选项C，利用正弦定理和二倍角的正弦公式可判断选项D.
【详解】对A，
，A正确；
对B，因为，
所以,
所以，即，
且 ，
所以或，即或，
所以或，故B错误；
对C，由题可知，为中最大的数，
因为，所以，
（因为函数为减函数）
所以，即，
所以为锐角，且为最大的角，
所以为锐角三角形，C正确；
对D，因为，所以，即，
且 ，
所以或，即或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误；
故选:AC.
39．
【分析】根据正弦定理化角为边，进而即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，
设，，，
解得，，，
所以.
故答案为：.
40．/
【分析】余弦定理结合已知条件直接求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
因此，
又因为，所以.
故答案为:
41．
【分析】由，根据余弦定理，求得，得到，根据因为的面积为，求得，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】根据余弦定理，可得，整理得，
可得，因为，可得，
又因为的面积为，可得，解得，
又由，根据余弦定理可得，
即，
所以，可得.
故答案为：.
42．1
【分析】利用余弦定理可得到，即可求解.
【详解】解：因为，由余弦定理可得，
即，又，整理得，故.
故答案为：1
43．
【分析】由正弦定理化简，再由余弦定理求出A，根据面积公式求出，结合余弦定理可求出，求出边长知三角形为正三角形得解.
【详解】由可得，
由正弦定理可得，，即，
由余弦定理可得，因为，所以，
由，解得，
由可得，由，
解得，联立可得，
故为正三角形，所以中线.
故答案为：
44．
【分析】利用诱导公式可得，再由商数关系和平方关系可得，然后由面积公式可得.
【详解】因为，
所以，解得
又，所以，
所以．
故答案为：
45．4
【分析】由化简得，根据向量关系化简求得结果．
【详解】由得
所以，则，因为得
因为，则
因为，设，则
所以，解得或（舍去），所以
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：本题关键在于运用平面向量数量积运算求得结果．
46．
【分析】根据题意利用由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而利用余弦定理结合面积公式运算求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则，
整理得，
又因为，则，
整理得，所以，
由题意可得：，
在中，由余弦定理，
即，整理得，解得，
则的面积，
又因为，所以.
故答案为：.
47．
【分析】由题可得，计算即可.
【详解】由题得，，
由第一余弦定理知，
所以，
所以，又C为三角形的内角
解得，
故答案为：
48．/
【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式化简
【详解】由题意得，而，
由正弦定理化简得，故，，得
故答案为：
49．
【分析】由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】，由边角互化思想得，
即，，
由余弦定理得，，
所以，，因此，，故答案为.
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.
50．
【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.
【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得,
又∵，∴，由，可得，
解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，
故答案为：.
51．
【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，利用余弦定理得到，代入公式计算得到答案.
【详解】由于，所以，
故，
即，
因为，，故.
由余弦定理得，整理得，
所以.
故答案为：
52．或
【分析】根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得，然后根据为直角三角形，分或，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】由正弦定理，可化为：
，即，
所以，，所以，
又为直角三角形，
若，则，，，，
若，则，，，．