T8联考2024届高三第二次学业质量评价 数学试题
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这是一份T8联考2024届高三第二次学业质量评价 数学试题,共10页。试卷主要包含了若成等比数列,则公比为,在中,,则,已知函数,则下列判断正确的是,已知为坐标原点,点等内容,欢迎下载使用。
考试时间:2024年3月20日下午15:00—17:00 试卷满分:150分 考试用时:120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.复数满足为纯虚数,则( )
A. B. C. D.
3.样本数据的第70百分位数次为( )
A.7 B.9 C.9.5 D.10
4.若成等比数列,则公比为( )
A. B. C. D.2
5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动,每人只能报其中一项活动,每项活动至少有一个人参加,则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为( )
A. B. C. D.
6.在中,,则( )
A. B. C. D.1
7.已知正方体的棱长为为线段上的动点,则三棱锥外接球半径的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的方程为为其焦点,点坐标为,过点作直线交抛物线于两点,是轴上一点,且满足,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在毎小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知函数,则下列判断正确的是( )
A.若,且,则 B.若,且,则
C.是偶函数 D.在区间上单调递增
10.已知为坐标原点,点.若点满足,则下列判断错误的是( )
A. B.面积的最大值为
C. D.
11.已知正方体的棱长为是中点,是的中点,点满足,平面截该正方体,将其分成两部分,设这两部分的体积分别为,则下列判断正确的是( )
A.时,截面面积为 B.时,
C.随着的增大先减小后增大 D.的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.是任处的切线方程,则_________。
13.1675年,卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线,卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹。已知点,动点满足,则面积的最大值为_________。
14.已知是实数,满足,当取得最大值时,_________。
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
设数列为等差数列,前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设的前项和为,求。
16.(本小题满分15分)
兵乓球(table tennis),被称为中国的“国球”,是一种世界流行的球类体育项目。已知某次乒乓球比赛单局赛制为:两球换发制,每人发两个球,然后由对方发球,先得11分者获胜。
(1)若单局比赛中,甲发球时获胜的概率为,甲接球时获胜的概率为,甲先发球,求单局比赛中甲获胜的概率;
(2)若比赛采用三局两胜制(当一队朚得两场胜利时,该队获胜,比赛结束),每局比赛甲获胜的概率为,每局比赛结果相互独立,记为比赛结束时的总局数,求的期望.(参考数据)
17.(本小题满分15分)
已知三棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,,,平面与底面的交线为直线.
(1)若,证明:;
(2)若三棱锥的体积为为交线上的动点,若直线与平面的夹角为,求的取值范围.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线的方程为,其中,)是双曲线上一点,直线与双曲线的另一个交点为,直线与双曲线的另一个交点为,双曲线在点处的两条切线记为与交于点,线段的中点为,设直线的斜率分别为。
(1)证明:;
(2)求的值。
19.(本小题满分17分)
记,若,满足:对任意,均有,则称为函数在上“最接近”直线.已知函数.
(1)若,证明:对任意;
(2)若,证明:在上的“最接近”直线为:,其中且为二次方程的根。
2024届高三第二次学业质量评价(T8联考)
数学试题参考答案及多维细目表
1.【答案】B
【解析】.
,故选B.
2.【答案】A
【解析】.
.故选A.
3.【答案】D
【解析】数据,11,12的第70百分位数为10.故选D。
4.【答案】B
【解析】成等比数列.,即,。
,公比为,故选B.
5.【答案】C
【解析】先将5名志愿者分成3组,第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再分配到三项活动中,总安排数为,甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为,设过件为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同,.故选C。
6.【答穼】C
【解析】,两式相减,得.由正弦定理,得,故选C。
7.【答案】C
【解析】如图,连接,交于点,易多为的外心。
進接.交于点,易知平而三棱锥的外接球球心在上。
设的外接四四心为平面,且。
设的外接圆半径为.三棱锥的外接球半径为。
设.
又.
.
设,设.则.
又易知.故选C。
8.【答案】B
【解析】设,直线方程为:,联立直线与抛物线方程,可得.
又,故是方程的解。
将代入方程,得。
,即.故选B.
9.【答案】AD
10.【答穼】ACD
【解析】落,则点在劣弧上,或者在优弧上。
或者,故A错误;,故B正确;取,故C错误;
点在劣弧上时,.点在优弧上时.错误.故选ACD.
11.【答案】BCD
【解析】如图1,当时,截面为正六边形.且棱长为,故截面面积为错误;
由对称性可知.当时.平面分两部分体积相等,B正确;
如图2.当从0变化到1时.截面从四边形变化至五边形(其中为靠近点的三等分点).被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0,再逐渐增大,故C正确.
取最大值时对应为,或时情形.计算可知讨.时,的最大值为,故D正确。故选BCD。
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】5
【解析】.
.
.
取等条件:或
15.(1)略。
(2)。11分
。13分
16.略。
17.解:由题意:∵,∴分别为棱的中点,∴。2分
.4分
为等边三角形,为中点.
.
又平面,
平面.6分
平而7分
(2)如图,在底面内过点作的平行线即面与底面的交线.
由题意可得,即。8分
故底面的面积为。
设底面上的高为,则,于是.
注意到侧面是边长为2的正三角形,取中点.
连接,则,从而平面.9分
取中点,连接,则。
于是,以点为坐标原点.分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,12分
于是..
设平面的一个法向是为。
则即
解得即14分
由线面所成角的定义可知15分
18.解:(1)证明:.3分
又任双曲线上,.
5分
由可知 7分
(2)略
19.略。题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
B
C
C
题号
7
8
9
10
11
答案
C
B
AD
ACD
BCD
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