广东省广州市广雅中学2023-2024学年高三上学期第二次调研 数学试卷

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试卷类型：A
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（本题5分）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式求得集合B，再根据并集的概念计算即可.
【详解】由可得，即，
而，所以.
故选：B
2．（本题5分）已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得到，利用复数的除法求出即可.
【详解】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，
则，
所以.
故选：A.
3．（本题5分）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由已知，
则在上的投影向量为.
故选：D.
4．（本题5分）已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.
【详解】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，
即，∴.
故选：A
5．（本题5分）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】B
【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.
【详解】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
6．（本题5分）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系（为保鲜时间，为储存温度），若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时，在常温的保鲜时间是48小时，则该食品在高温的保鲜时间是（ ）
A．16小时B．18小时C．20小时D．24小时
【答案】A
【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可.
【详解】由题意，得，即，
于是当时，（小时）.
故选：A
7．（本题5分）在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.
【详解】如图所示：

由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，即是等边三角形，，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
如图所示：

设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，过点，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
不妨设点在面，面内的射影分别为，
即，
由题意，且二面角为直二面角，即面面，，
所以，即，
结合可知四边形为矩形，不妨设，
则由以上分析可知，，
由勾股定理以及，即，
可得，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：画出图形，通过数学结合分析已知量与未知量的关系，建立适当的桥梁关系即可得到球心的位置以及球的半径，关键是首先去找，底面外接圆的圆心，综合性较强.
8．（本题5分）函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出.
【详解】因为，
令，则，
则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，
可得和的函数图象都关于直线对称，
则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.
观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，
即有8个零点，且关于直线对称，
故所有零点的和为.
故选：D
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A．样本相关系数在内B．当时，残差为-2
C．点一定在经验回归直线上D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130
【答案】AD
【分析】x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出时的预测值，求得残差，判断B；看是否适合回归直线方程，判断C；将代入回归直线方程，求出预测值，判断D.
【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，A正确；
根据题意得，
故，解得，
故当时，，残差为，B错误；
点即点，当时，，
即点不在经验回归直线上，C错误；
当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，D正确，
故选：AD
10．（本题5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】BD
【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错；
，则，将代入中得，
则，，解得，，
因为，所以，，，
所以是的对称轴，故B正确；
当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故C错；
该图象向右平移个单位可得，故D正确.
故选：BD
11．（本题5分）已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为B．当时，的最大值为
C．存在点，使得D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，
，故A项正确；
对于B项： ，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；

对于C项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知，得，又因为，得，
所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于D项： ，
，
当且仅当时取等号，故D项正确.
故选：ABD.
12．（本题5分）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，，且，，若是偶函数，则下列正确的是（ ）．
A．
B．的最小正周期为4
C．是奇函数
D．，则
【答案】ABD
【分析】A选项，两边求导得到，赋值得到；B选项，由题意条件推出，得到函数的最小正周期；C选项，假设为奇函数，推出矛盾；D选项，利用题目条件得到，结合函数的最小正周期得到答案.
【详解】A选项，为偶函数，故，
两边求导得，，
令得，解得，A正确；
B选项，因为，，
所以①，
因为，所以②，
则①②相减得，③，
又④，
则③④相减得，即，
又，故的最小正周期为4，B正确；
C选项，假如为奇函数，则，
当时，可得，
但，当可得，
显然不满足要求，故不是奇函数，C错误；
D选项，因为，所以，
又，故，
由B选项得，故，解得，
且，
由B选项知的一个周期为4，故，
所以，
则，D正确.
故选：ABD
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
三、填空题（共20分）
13．（本题5分）若，且，则 .
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
14．（本题5分）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ．
【答案】1296
【分析】首先由递推关系算出，求出，再由等比中项得到，解出，最后由基本量法求出，求出最后结果即可.
【详解】依题意，，
故当时，，
当时，，
依题意，两式相减可得，，则，
因为当时，也满足，
所以，，故；
因为，，是等比数列的前三项，
所以，
则，
化简得，，解得或（舍去）
所以，，
所以等比数列的公比，通项公式，
故.
故答案为：1296
15．（本题5分）在中，，D为边BC上一点，满足且，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据，结合正弦定理得到AD是的平分线，根据和面积公式得到，由基本不等式得到，从而求出.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
故，又，故，
所以AD是的平分线．
记，，，则，又因为，
由面积公式可得，
化简得，
因为，当且仅当时取等号，
所以．
故答案为：
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
16．（本题5分）已知对，不等式恒成立，则的最大值是 .
【答案】
【分析】由不等式恒成立，求得，故，只需求的最大值即可.
【详解】下面证明当时不成立：当时，原不等式变形为，，
若，则，而当时，原不等式不成立；
若，当时，，取，则，，原不等式不成立，
故当时不成立，所以.
不等式可化为，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，即，
所以，
令，则令可得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是．
四、解答题（共70分）
17．（本题10分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为，，，且．
(1)求角A；
(2)若，D为线段BC延长线上一点，且，，求的BC边上的高．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据等边三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合锐角三角形的定义进行求解即可.
【详解】（1）由题意得，，，
则，所以，
由余弦定理可得，又，所以；
（2）设（为锐角），在和中，
由正弦定理可得，，
于是，又，，
所以，化简得．
根据同角三角函数基本关系，可得：，
解得，负值舍去，
设，垂足为，
故的BC边上的高为．
18．（本题12分）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求数列的前10项和.
【详解】（1）当时，，，，
等比数列的公比为，则有，
由，可得．
当时，．
经检验，当时，满足上式，
所以．
（2），
设的前10项和为，
．
19．（本题12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；
（2）由题意计算可得点所处位置，根据线面角的定义找到线面所成角后计算即可得.
【详解】（1），，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）取的中点．连接、，
由（1）知平面，
平面，，
如图，过点作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，平面，平面，
，为的中点，
，又，，
平面，为直线与平面所成角，
由（1）知，又，，
，，，
则，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
20．（本题12分）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
(1)甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
(2)为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
【答案】(1)分布列详见解析
(2)买个
【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得的分布列.
（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.
【详解】（1）由题意可知所有可能取值为，
,
所以的分布列如下：
（2）设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.
依题意，可取.
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.
方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用元.
方案3：购买个盲盒时，
当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，
总费用，，
当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物，
总费用，
所以元.
方案4：购买个盲盒时，
当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，，
当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，
则总费用，
当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用，
所以元.
对比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小，
故应该一次性购买个吉祥物盲盒.
21．（本题12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，直线AM的方程为，直线BN的方程为
【分析】（1）分析题意直接求方程即可.
（2）先分析直线斜率不为，后翻译条件，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由分析题意得解得
所以椭圆C的方程为．
（2）存在最大值，当取最大值时，
直线AM的方程为，BN的方程为，理由如下：
由（1）可得，，
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，
联立，得，所以，
，，所以．
又
所以，可知或．
若取最大值，则，此时．
此时
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时直线AM的方程为，即，
直线BN的方程为，即．
22．（本题12分）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)若，求函数的零点个数.
【答案】(1)0
(2)答案见解析
【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，进而得到最值；
（2）化简得到，令，求出在上的零点个数即可，求导，当时，有唯一零点，时，求出函数单调性，最值，换元后，求导得到函数单调性，分，，，三种情况，结合函数单调性和零点存在性定理求出零点个数.
【详解】（1）由题意得的定义域为，
且，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也时最小值，
所以.
（2），
令，则.
因为的定义域为，故的零点与的零点相同，
所以下面研究函数在上的零点个数.
由，得.
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增.
又，故此时有唯一零点，
当时，，
令，得，令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
令，则，
令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，，
①当，即时，，
此时有唯一零点；
②当，即时，则.
因为，所以在上有唯一的零点.
，
令，则，
所以，由（1）知，，又，
所以在上存在唯一零点，不妨设，
所以在上有唯一的零点，
故在上有两个零点；
③当，即时，且，
由函数零点存在定理可得在上有唯一零点，
故在上各有一个唯一零点.
综上，当或时，函数有唯一零点；
当且时，函数有两个零点.
【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方x
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