广东省汕头市潮阳实验学校2024届高三上学期联合模拟考试（二） 数学试题（含解析）

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2024届高三上学期联合模拟考试（二） 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共22小题，满分120分 考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则（ ）
A．B．
C．D．
3．在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．锐角中，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．设数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
6．在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
7．设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．14D．
8．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86分D．笔试成绩的平均分为76分
10．已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使点到直线的距离为
C．存在点，使直线与所成角的余弦值为
D．存在点，使点，到平面的距离之和为3
12．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数B．在处的切线斜率为7
C．D．对
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若，且，则的值为 .
14．已知数列满足，在和之间插入个1，构成新的数列，则数列的前20项的和为 .
15．已知椭圆，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直角边与椭圆分别交于另外两点．若这样的有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
16．已知函数（且）在上有两个极值点，，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在锐角中，角所对的边分别为，已知，且的面积.
(1)求；
(2)求的最小值.
18．已知数列满足，且点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.
19．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，.

(1)求证：平面平面；
(2)若是棱的中点，求二面角的余弦值.
20．在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．
(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；
(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．
21．在直角坐标系xOy中，点为抛物线（）上一点，点M、N为x轴正半轴（不含原点）上的两个动点，满足，直线PM、PN与抛物线C的另一个交点分别为点A、B.
(1)求直线AB的斜率；
(2)求面积的取值范围.
22．设（其中）．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
1．C
【分析】
根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，仅点在直线上，
所以.
故选：C
2．B
【分析】
根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】
由复数，所以.
故选：B.
3．B
【分析】结合平行四边形性质推出，根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】平行四边形中,，则∽，
因为点是上靠近的四等分点，所以，
所以，

故．
故选：B．
4．B
【分析】由二倍角公式结合即可化简求解.
【详解】由题意，而，所以，
所以.
故选：B.
5．C
【分析】由题得，进而有，由裂项相消法求和即可.
【详解】由题意，则，
两式相减得，所以，
又，
所以，，
所以数列的前10项和为.
故选：C.
6．B
【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.
【详解】
如图，在棱长为1的正方体中，，
因为、为线段上的两个三等分点，
所以，
易知，平面，平面，
所以平面，则，
同理可证，又平面，平面，，
则平面，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
则，
所以在平面内，
则，
所以，
所以平面内点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
如图，在正三角形中，为中心，圆的半径为，即，
，
所以在直角三角形中，
则，
所以三个虚线弧圆心角弧度数为，
则三个实线弧圆心角弧度数为，
所以点的轨迹长度为.
故选：B
7．A
【分析】
根据渐近线方程求得，利用双曲线的定义，通过求的最小值来求得的最小值.
【详解】双曲线，对应，
渐近线方程为，所以，
所以双曲线的标准方程为，，
根据双曲线的定义有，
两式相加得，
，
依题意可知直线与轴不重合，双曲线的左焦点为，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
由，解得，
由于直线与双曲线左支相交于两点，所以，
设，则，
所以
，
，所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为.
故选：A
8．C
【分析】根据切点和斜率列方程，利用构造函数法结合导数来求得的取值范围.
【详解】设切点为，因为，所以．
又因为切点在直线上，
所以，解得，所以．
令，则，
所以在区间上，单调递减，
在区间上单调递增，
所以，故的取值范围为．
故选：C
9．BD
【分析】根据题意，由统计图表中的数据，结合频率分布直方图的面积和百分位数，以及平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，
00后的考生有人，可得人，所以A不正确；
对于B中，由频率分布直方图性质，可得，
解得，则前三个矩形的面积和，
所以试成绩的分位数为分，所以B正确；
对于C中，设面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；
对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，所以D正确.
故选：BD.
10．BD
【分析】
由题意化简得或，结合且即可判断AB；结合平方关系以及即可判断CD.
【详解】因为，其中且，
所以，
所以或，即或.
因为且，所以，所以，B正确，A错误；
因为，所以，所以，C错误；
因为，所以，D正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】
连接，应用勾股定理求的范围判断A；利用等面积法有即可判断B；构建空间直角坐标系，设，，应用向量法表示线线角余弦值，列方程求参数即可判断C；在平面中，过，分别作，，垂足为，，由即可求最大值判断D.
【详解】
连接，则，故A正确；
点到直线的距离，故B正确；
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，则，，
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
整理得，解得，故C错误；
在平面中，过，分别作，，垂足为，，
则点，到平面的距离之和为．
设，则，
当点与重合时，点，到平面的距离之和最大，
所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误．
故选：AB
12．ACD
【分析】
利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D.
【详解】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，
故为奇函数，A正确；
由于，故，即，
则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B错误；
又，
则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，
即，则，C正确；
对
,
故，D正确，
故选：ACD
13．
【分析】
根据展开式中常数项和一次项系数相等得到方程，求出答案.
【详解】
由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，
则，解得或0（舍去）.
故答案为：
14．77
【分析】根据题意条件，求出新数列中不超过的数的个数，再分组计算数列的前20项的和.
【详解】在之间插入个1，构成数列，而，
则数列中不超过的数的个数为，
当时，，当时，，
所以.
故答案为：
15．
【分析】先设出直线和直线，联立椭圆方程，求出，表达出，根据相等关系得到无实数解或有两个相等的实数解，分两种情况，求出，从而求出离心率的取值范围.
【详解】不妨设直线，则直线，
联立方程得，得，
，用代替得，
．
由，得，
该方程关于已有一解，由于符合条件的有且仅有一个，
关于的方程无实数解或有两个相等的实数解．
当方程无实数解时，，解得；
当方程有两个相等的实数解时，，解得，
，
则该椭圆的离心率．
故答案为：.
【点睛】求椭圆的离心率是(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
16．
【分析】由进行转化，根据极值点的个数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】令，由题意知，方程有两个不同的正实数解，，
所以，对两边取对数，得，
令，则.
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，
当时，，当时，,
要使有两个零点，必须使，即，
所以，解得，故.
此时，，，
而，指数增长快过的增长，
即总存在，使得，此时.
故当时，由上面的讨论，可得有两个零点，设为，.
当时，，
所以，，单调递增；
当时，
所以，，单调递减；
当时，，所以，，单调递增.
所以，就是的两个极值点.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】利用导数研究函数极值点，除了要满足以外，还需要注意在两侧，函数的单调性要相反.否则，如果在两侧，函数的单调性相同的话，此时不是函数的极值点.在解题的过程中，往往要结合零点存在性定理来进行求解.
17．(1)；
(2)3
【分析】（1）根据面积公式求出，从而求出；
（2）由基本不等式求出，进而由余弦定理得到.
【详解】（1）因为，所以，
又为锐角三角形，所以；
（2）由余弦定理可知，，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即，所以的最小值为3.
18．(1)
(2)5
【分析】（1）由题设易得为等差数列，即可求其通项公式；
（2）对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和，将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得.
【详解】（1）点在直线上，得，
所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．
故，即．
（2），
所以
即，因 ，故，
故要使对恒成立，需使，即，
又，所以的最小值为5.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直判定定理证明平面，可得，再由勾股定理逆定理可得，从而证明平面，根据面面垂直判定定理即可证明结论；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别求平面与平面的法向量，即可求二面角的余弦值.
【详解】（1）取中点，连接

三棱柱的所有棱长都为2
则，又为中点，所以，且
又，平面
所以平面，因为平面，所以
因为为中点，所以，三角形为等边三角形，所以
由，可得，所以
又平面，所以平面
因为平面，平面平面；
（2）由（1）可知，，，如图，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系

则，
由于平面，平面，即可作为平面的一个法向量
设平面的法向量为，又
所以，令，则
所以，
由图可知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.
20．(1)分布列见解析；6
(2)证明见解析
【分析】
（1）确定随机变量X的可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得期望；
（2）设在甲参加了的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y，可得，由此求出的表达式没利用作差法，即可证明结论.
【详解】（1）依题意可得，随机变量，
设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则，
则，
，
故X的分布列为：
故；
（2）证明：设在甲参加了的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y，
则所获总分为，若，则，
则，因为，
故，同理可得,
则
，
故.
21．(1)
(2)
【分析】
（1）结合已知条件分析得到，由此得到的结果，再根据两点间斜率公式以及抛物线方程化简可得结果；
（2）设出方程，联立与抛物线方程得到纵坐标的韦达定理形式，然后表示出和到直线的距离，最后利用导数求解出面积的取值范围.
【详解】（1）设，因为在抛物线上，
所以，所以，所以，
不妨设在的左边，过作垂直于轴交于点，如下图，
因为，所以，
因为，
所以，
所以直线的倾斜角互补，
所以，
显然不与关于轴的对称点重合，所以，
又因为，，
所以，所以，所以，
所以，
即直线的斜率为；
（2）设，
联立可得，
所以，
且，所以，
若与重合，此时，
由上可知，
又，
且到直线的距离，
所以，
令，
所以，
所以在上单调递增，且，
所以的面积取值范围是，即为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；
（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或；
（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（为内切圆半径）.
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求定义域，再求导，对导函数因式分解，分，，三种情况，求出单调性；
（2）不等式转化为，构造，求导得到其单调性，得到当且仅当时等号成立，并且存在，满足，故当时，满足要求，当时，不合要求，得到答案.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
令得，，
当时，，当或时，；当时，，
则在，单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，故在单调递增；
当时，，当或时，，当时，，
则在，单调递增，在单调递减．
综上，当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减；
（2）将代入中，
，
化简得，不等式两边同减去得，
，
可化为，
令，则，
易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，从而当且仅当时等号成立，
则当且仅当时等号成立，
令，，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，，
故存在，满足，
当时，，，可得原不等式成立；
当时，由于存在，满足，
从而使得，
而，于是不恒成立．
综上，实数a的取值范围是．
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同减去得，，从而构造进行求解.X
3
5
7
9
P