广东省珠海市第一中学2024届高三下学期 数学冲刺模拟卷10（B卷较难版）

这是一份广东省珠海市第一中学2024届高三下学期 数学冲刺模拟卷10（B卷较难版），共27页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知锐角满足，则，设直线系等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，向量满足，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点.则满足的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
3．样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．设，函数，则的值等于
A．9B．10C．11D．12
5．已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

6．若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点A位于第一象限，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设直线系：，则（ ）
A．点到中任意一条直线的距离为定值
B．存在定点不在中任意一条直线上
C．点到中所有直线距离的最大值为5
D．对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
10．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（ ）
A．事件A与事件B相互独立B．
C．D．
11．已知定义域为的连续函数不是常函数，且，则（ ）
A． B．
C．可能是增函数 D．的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设集合，，则 ．
13．在中，，，延长到点，使得，，则的长为 ．
14．若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为 ，该十面体的外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：
(1)完善列联表并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？
(2)用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中．
16．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)已知，求的值；
(3)若关于的方程在上有两个不同的实根，且，求的取值范围.
17．如图，正方体的棱长为2，点在棱上，点在棱上.
（1）若 (如图1)，求证：B､F､､E四点共面；
（2）若为的中点，过B､E､F三点的平面记为，平面与棱相交于G点(如图2)，平面将正方体分割所成的.上下两个部分的体积分别为､，若，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
18．设等差数列的前n项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若､30､成等差数列，､18､成等比数列，求正整数p､q的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
性别
喜欢情况
合计
喜欢
不喜欢
男同学
60
女同学
20
合计
60
140
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】
由数量积运算律、模的坐标公式得、，进一步求得的值，结合向量夹角公式即可求解.
【详解】由题意，得，且，
，
设向量与的夹角为，则.
故选：C.
2．B
【分析】设正方体的棱长为，如图建立空间直角坐标系，分别求出四个选项中的坐标进而可得与的坐标，判断是否成立，进而可得正确选项.
【详解】设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系：
对于①：由图知：，，，，
所以，，因为，
所以与不垂直，即不成立，故①不正确；
对于②：由图知：，，，，
所以，，因为，
所以与垂直，即，故②正确；
对于③：由图知：，，，，
所以，，因为，
所以与垂直，即，故③正确；
对于④：由图知：，，，，
所以，，因为，
所以与不垂直，即不成立，故④不正确；
所以②③正确，
故选：B.
3．C
【分析】
对实数的取值进行分类讨论，将数据由小到大排序，结合中位数的定义可得出实数的取值范围.
【详解】若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；
若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
4．C
【分析】先求出，从而，由此能求出结果．
【详解】，函数，．故选C．
【点睛】本题考查分段函数值的求法，考查指对数函数运算求解能力，属基础题．
5．A
【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.
【详解】因为ab+a+2b=7，
所以，，
所以，
当且仅当时等号成立，
故选：A
6．C
【分析】根据极值点以及零点的含义可得，即可发现和都是函数的零点，利用函数单调性即可求解.
【详解】，
由得
可知和都是函数的零点，
因为函数是单调递增函数，所以，．
故选：C．
7．A
【分析】设，联立直线与抛物线，利用韦达定理结合条件即可求解.
【详解】由，可得焦点，，
设，
，
，，
由题可知直线的斜率存在，可设直线l的方程为，
联立直线与抛物线方程：，
化简整理可得，
由韦达定理可得，故，
解得，且点A位于第一象限，
，
∴的值为．
故选：A．
8．B
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得到，再利用余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由，
可得，
可得，
所以
可得
即，
可得
，
所以，则.
故选：B.
9．ABD
【分析】利用点到直线的距离公式，可判定A正确；由点到的距离为，得到直线表示的是圆的所有切线，可判定B正确；由直线B项知直线表示的是圆的所有切线，求得，进而可判定C不正确；结合正多边形的性质和圆的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由点到的距离为，
所以点到中任意一条直线的距离为定值，所以A正确；
对于B中，由点到的距离为，可得直线表示的是圆的所有切线，所以存在定点，例如：圆内部的点，不在直线中任意一条直线上，所以B正确；
对于C中，由直线B项知直线表示的是圆的所有切线，
其中圆的圆心，半径为，又由，可得，
所以点到中所有直线距离的最大值为，所以C不正确；
对于D中，例如：若圆是一个正三角形的内切圆，即正三角形的三边分别为圆的切线，因为直线表示的是圆的所有切线，所以三角形的三边均在直线中的直线上，所以D正确.
故选：ABD.
10．CD
【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.
【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：
从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；
从甲袋中任取1球是红球的概率为：，从甲袋中任取1球是白球的概率为：，
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：
，故B错误；
，所以，故C正确；
，故D正确.
故选：CD
11．BCD
【分析】
A选项先把原式变形分解，赋值，即得的值.B选项运用反证法推出与已知不是常函数矛盾，即得正确.C选项运用特例函数推出正确.D选项把原式赋值，化简即得.
【详解】条件可变形为.
令，得.
因为不是常函数，所以不恒成立，所以，即，A错误.
假设，令，有，即，则是常函数，
这与条件矛盾，所以假设不成立，从而，B正确.
取满足条件，因为为减函数，且，所以为增函数，C正确.
令中，得，
整理得即，
所以的图象关于点对称，D正确.
故选：
【点睛】本题主要考查抽象函数中常用的赋值法，主要用于求值和推导函数其他性质.另外证明否定结论可采用反证法.
12．
【分析】
解出集合，按照集合的交运算进行运算即可.
【详解】∵，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
∴．
故答案为：.
13．
【分析】利用正弦定理可求的值，进而可求的值，可求，的值，进而利用正弦定理可得的值．
【详解】在中，，，延长到点，使得，，
在由正弦定理得，
可得，
又，所以或，
若，则，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
若，则，
则，不符合题意，故舍去；
综上可得．
故答案为：．
14． /
【分析】
根据给定条件，利用割补法，结合锥体体积公式计算体积；建立空间直角坐标系，求出外接球半径即可求出表面积.
【详解】正四棱锥的所有棱长为2，点是所在棱的中点，如图，
显然，即有，则正四棱锥的高为，
于是，
到平面的距离，
所以所求十面体的体积为；
令，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，则，
，设外接球球心，半径，
则，因此，解得，
所以十面体的外接球的表面积为.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.
15．(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，
【分析】
（1）根据题意补全列联表，计算卡方值并与临界值比较即可；
（2）按步骤列出分布列，再根据期望公式计算即可.
【详解】（1）
完善列联表如下：
零假设为：该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别无关．
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）
按分层随机抽样的方法从喜欢吃山西大同刀削面和不喜欢吃山西大同刀削面中随机抽取10人，
则抽取的人中喜欢吃山西大同刀削面的人数为3，不喜欢吃山西大同刀削面的人数为7，
故的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故的分布列为
则
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）结合同角三角函数基本关系，根据二倍角公式和两角差的正弦公式计算即可；
（3）结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围及的范围，即可求解.
【详解】（1）由图可知，，因为，又，所以，所以，
又，，
所以，，由得，
所以；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，
所以
；
（3）令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
因为方程在上有两个不同的实根，
所以，的图象与直线有两个不同的交点，
如图：
由图知，
由正弦函数的对称性可知，所以，所以，
又，所以，
所以.
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）在上取点，利用平行四边形证得平行于，即可，从而证得结论；（2）连接BG，BD，利用等体积法求得的长，建立空间直角坐标系，写出各点坐标和向量坐标，求得平面的法向量，用向量数量积计算二面角的余弦值．
【详解】解：（1）在上取点，使，在正方形中，四边形是平行四边形，所以且，
又因为，可得且，
所以且，所以B､F､､E四点共面.
（2）连接BG，BD，则，
设，则，
，
所以，解得，
如图，以B为坐标原点，分别以BC､BA､为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系
则，，
设平面法向量为，
由得
令，得
又平面法向量为，所以，
所以平面与平面所成税二面角的余弦值为.
18．（1）；（2）；（3）存在，或14.
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题设可得关于的方程组，求出其解后可得列的通项公式.
（2）由（1）可得关于的方程组，其解即为所求的正整数p､q的值；
（3）根据题设条件可得关于的方程，利用该方程有正整数解可求的值.
【详解】（1），所以，
.
（2）由（1）可得.
因为成等差数列，成等比数列，
故，故或
所以或（因不是正整数，舍），
故.
（3）假设存在使得为数列中的项，
故，其中，
，
故，而，
所以（无正整数解，舍）或或
故或，所以或.
19．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）根据给定条件，求出，再结合离心率求出即得.
（2）（ⅰ）在直线的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心到距离，列出的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得.
【详解】（1）
因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，
又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，
所以的方程为.
（2）
（i）当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去得：，
由直线与椭圆相切，得，整理得，
于是圆心到直线的距离，
则的面积为，
设，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，取得最大值，此时，
当的斜率不存在时，由（1）知，，
由，得，则.
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以.
（ii）因为均存在，
设点，且，
设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设，
令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因此，
而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则，
所以.
【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.性别
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