黑龙江省部分学校2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省部分学校2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1.本卷满分 150分，考试时间120分钟. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（ ）
A．82B．83.24C．83.92D．84
4．已知向量，，则 是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知且，若函数为偶函数，则实数（ ）
A．3B．9C．D．
6．已知点是圆上的动点，点，则当最大时，（ ）
A．B．1C．D．
7．函数的部分图象如图所示，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A．的离心率为B．
C．点到直线的距离为D．的周长为8
10．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
11．已知函数，则（ ）
A．函数没有零点
B．直线是函数与图象的公共切线
C．当时，函数的图象在函数图象的下方
D．当时，
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12．已知的二项展开式中，项的系数是18，则的值为 .
13．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为 ，体积为 .
14．已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，求函数的最值.
16．2023 年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合产值如下：
年份代码x，综合产值y（单位：亿元）
(1)请通过样本相关系数，推断y与x之间的相关程度；（若，则线性相关性程度很强;若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测 2024 年该省刺梨产业的综合产值.
参考公式：样本相关系数经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
参考数据：
17．如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若点，过点的直线交的轨迹于两点，求的最小值.
19．已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为.
①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值；
②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列.
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
综合产值y
1.5
2
3.5
8
15
1．D
【分析】
根据复数的运算求出再判断.
【详解】，
所以在复平面内的对应点为，在第四象限.
故选：D
2．A
【分析】
解不等式得到集合A，B，再由，即可得到实数的取值范围.
【详解】因为，，
又，所以，故.
故选：A.
3．C
【分析】
求得班级得分总和再求平均数.
【详解】根据题意，可得该班成绩的平均分是.
故选：C
4．A
【分析】
利用垂直关系的向量表示及向量模的坐标表示求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】向量，，由，得，
解得，显然当时，有成立，
所以是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】
用偶函数的定义求解.
【详解】已知且，若函数为偶函数，则有，
即，化简得，所以.
故选：B
6．B
【分析】
当最大时，与圆相切，连接，求得，从而.
【详解】圆的圆心为，半径为1，点，
如图所示：当最大时，与圆相切，连接，可知，
，
故，所以.
故选：B
7．C
【分析】
根据函数的图象求得解析式，令求解零点.
【详解】由图可知，
所以.
因为函数的图象过点，且在的单调增区间上，
所以，
因为，所以.
令，得或，
所以或，
又，所以或或或或，
所以函数在区间内有5个零点.
故选：C
8．D
【分析】
写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案.
【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，
所以，
由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即.
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故选：D.
9．ABD
【分析】
对A：由椭圆方程判断；对B：由为等边三角形计算；对C：利用点到直线的距离判断；对D：利用点关于直线对称求解.
【详解】对A： 由题知，，所以离心率，A正确；
对B：，所以为等边三角形，，B正确；
对C：因为直线的方程为，
所以点到直线的距离，错误；
对D：由题知直线为的角平分线，则点关于直线对称，
所以的周长8，即的周长为正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】
根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假.
【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为：，
所以所求正方体的外接球表面积为：，故A正确；
对B：如图
连接，∵，所以即为异面直线与所成的角，设为.
在中，，，，
所以，所以，故B正确；
对C：如图：
取中点，连接，过点作，交于点，则，
所以平面截正方体所得截面为梯形.
由，所以.
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：
设点到平面的距离为，则，
而，
，
所以：，故D正确.
故选：ABD
11．BC
【分析】
根据零点定义判断A；利用导数的几何意义求出切线判断B；构造函数利用导数求最值判断C；利用赋值法判断选项D
【详解】因为 ，
所以是函数的零点，故A错；
，
所以函数与在处的切线方程为，即，
所以直线是函数与图象的公共切线，故B对；
令，
，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增；在上单调递减，
由于，所以恒成立，
即恒成立，且当时，，
所以当时，函数的图象在函数图象的下方，故C对；
由， 令时，，
，
而，
所以，故D错；
故选：BC
12．3
【分析】
求出展开式的通项，由项的系数是18求得的值.
【详解】展开式的通项为，
令，得，所以项的系数为，所以.
故答案为：3
13．
【分析】
根据最短路程为圆锥的侧面展开图中，由余弦定理求得及，再求得圆锥的高与体积.
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得：
，所以.
设底面圆的半径为，则有，解得，
所以这个圆锥的高，体积.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，该小虫爬行的最短路程为侧面展开图中之间的距离.
14．
【分析】
设方程，根据求得方程，再由双曲线定义求的周长.
【详解】由，得，
则双曲线，
，渐近线，
不妨设直线，，
联立方程消去得，
则，
可得，解得，可得，
由双曲线的定义可得，
则，
可得，所以的周长.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：在双曲线中，直线过焦点，，则的周长.
15．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)最小值为，无最大值.
【分析】
（1）求导判断导函数为单调递增的，且，进而确定函数的单调区间；
（2）由（1）的结论直接求解.
【详解】（1）已知函数，定义域为，
,
易知均在单调递增，
若，则单调递增，且，
故单调递减，
，单调递增，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知的最小值为，无最大值.
16．(1)线性相关性程度很强，理由见解析；
(2)，2024年该省刺梨产业的综合产值为亿元.
【分析】
（1）根据公式计算出相关系数，得到结论.
（2）根据公式求出和，得到经验回归方程，并令，预测2024年该省刺梨产业的综合产量.
【详解】（1）依题意，，，
，
，，
故，
所以线性相关性程度很强.
（2）由（1）得，则，
所以关于的经验回归方程为，当时，.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再根据面面垂直的性质定理证明平面，得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1），，，
，
又在直角梯形，过点作，因为，，
所以，则，即，可得，
，即，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
.
（2）如图，过点作，则平面，以点为坐标原点，过点平行为轴，
过点平行为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，则，
又易得平面的一个法向量为，
，易知二面角的正弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）设动圆圆心为，根据条件求得的轨迹方程；
（2）设直线方程，联立得韦达定理，将表示为的函数求最小值.
【详解】（1）设动圆圆心为，
到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，
则，化简得；
所以动圆圆心的轨迹方程为.
（2）
设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
与的轨迹方程联立得
消去得，
由在抛物线内部，故，所以.
由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得，
，
所以当时，的最小值为；
当直线斜率不存在时，.
由抛物线定义知.
综上，的最小值为.
19．(1)
(2)① 32；②
【分析】
（1）利用基本量法得到公比q的方程，得到q,进而求出通项公式；
（2）①确定两数列的公共元素，并结合等差和等比数列求和公式求解；②对元素2进行分类讨论，确定.
【详解】（1）是公比为2的等比数列且构成等比数列.
则，即，
解得，故数列的通项公式.
（2）
①,设其前n项和，
,设其前n项和，
集合中的所有元素的最小值为，
且三个元素是中前205项中的元素，
且是中的元素，
又．
又，
故，
且,
故使成立的的最大值是32.
②因为，中的元素按从小到大的顺序记为，
对集合中的元素2进行分类讨论：
当时，由的前5项成等比数列，得，显然不成立；
当时，由的前5项成等比数列，得，；
因此数列的前5项分别为1，，2，，4；
这样，则数列的前9项分别为1，，2，，4，，
，，8；上述数列符合要求；
当时，有，即数列的公差，
，1，2，；
，2，4在数列的前8项中，由于，这样，，，，
以及1，2，4共9项，
它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾，所以也不成立；
综上所述，；
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的公共项问题，关键是利用数列特点确定公共项，并估算和为2024的大概位置.