广东省惠州市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段考试数学试题（试题+答案）

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一、单选题
1．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．B．C．-2D．2
2．复数z满足，（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
4．设，则对任意实数，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．2C．D．
6．在中，的对边分别是，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．1
7．若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（ ）
A．0B．C．2D．3
8．已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线必过边的中点
C．
D．若，且，则
11．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A．
B．若，则函数的最小正周期为；
C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
三、填空题
12．若集合， ，则集合的真子集个数为 ．
13．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米.
14．某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求向量；
(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
16．如图，在中，已知点在边上，且，，，．

(1)求的长；
(2)求．
17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.
(1)若，，为边的中点，求中线的长度；
(2)若为边上一点，且，，求的最小值.
18．已知函数，记.
(1)若，求实数的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围；
(3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
19．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、