初中20.4 解直角三角形测试题

这是一份初中20.4 解直角三角形测试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分)
1.(2023北京昌平期末)如图,在一块直角三角板ABC中,∠A=30°,则sin A的值是 ( )
A.32 B.12 C.22 D.3
2.(2023北京石景山期末)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°.若sin A=
23,BC=4,则AB的长为( )
A.2 B.25 C.213 D.6
3.(2023北京通州期末)下图是某博物馆大厅电梯的截面图,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是( )
A.12sin α米 B.12cs α米
C.12sinα米 D.12csα米
4.如图所示的是我们数学课本上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入:2ndFtan56·78=,显示屏显示的结果为
88.991 020 49,将这个数据精确到0.001后,下列说法正确的是 ( )
°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78'的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991'
5.(2023北京平谷期末)如图,每个小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上,则sin B的值是 ( )
A.1 B.34 C.35 D.45
6.(2023河南洛阳伊川期末)如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cs α的值,错误的是 ( )
A.BDBC B.BCAB C.CDAC D.ADDC
7.(2023陕西西安碑林铁一中月考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,此时灯塔P位于海轮的( )
A.北偏西45°方向,距离海轮40海里处
B.南偏东45°方向,距离海轮40海里处
C.北偏西45°方向,距离海轮402海里处
D.南偏东45°方向,距离海轮402海里处
8.(2023江苏苏州姑苏市区直属学校期中)阅读理解:为计算
tan 15°三角函数值,我们可以构建Rt△ACB(如图),使得∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至D,使BD=AB,连接AD,可得到∠D=15°,设AC=x,所以tan 15°=ACCD=x(2+3)x=2−3(2+3)×(2−3)=2-3.类比这种方法,计算tan 22.5°的值为( )
A.2+1 B.2-1
C.2 D.12
二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分)
9.若csA−12+|tan B-3|=0,则△ABC的形状是 .
10.(2023北京昌平期末)如图,在△ABC中,AB=3,sin B=23,∠C=45°,则AC的长为 .
11.【新情境·载人飞船】(2022宁夏中考)2022年4月16日9时56分,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,如图,某一时刻从观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°,降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE=46°12'.已知半径OA长14米,拉绳AB长
50米,返回舱高度BC为2米,这时返回舱底部离地面的高度CE约为
米.(精确到1米,参考数据:sin 46°12'≈0.72,
cs 46°12'≈0.69,tan 46°12'≈1.04)
12.如图,一幢居民楼OC临近山坡AP,山坡AP的坡度i=1∶3tanα=13,小亮在山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°,当从A处沿坡面行走6米到达P处时,测得楼顶C的仰角刚好为45°,点O,A,B在同一直线上,则该居民楼的高度为 米(结果保留根号).
13.【国防科技】“科技兴则民族兴,科技强则国家强”,为增强国防技能,某学校在进行科技机器人大赛时,某团队同学们组装了一个智能机器臂.如图1,水平操作台为l,底座AB固定,AB⊥l,AB的长度为24 cm,连杆BC的长度为30 cm,手臂CD的长度为28 cm,点B,C是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.图2是其示意图,转动连杆BC和手臂CD,当∠ABC=135°,∠BCD=165°时,端点D离操作台l的高度DE为 cm.

14.已知函数y=12x(x>0),−3x(x<0)的图象如图所示,点P是y轴正半轴上一动点,过点P作y轴的垂线交图象于A,B两点,连接OA、OB.若∠AOB=90°,则cs A= .
三、解答题(共44分)
15.(6分)计算:
(1)(2022四川成都中考)12−1-9+3tan 30°+|3-2|;
(2)(2022湖南岳阳中考)|-3|-2tan 45°+(-1)2 022-(3-π)0.
16.【教材变式·P89T2】(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,
AC=b,AB=c,根据下列条件解直角三角形.
(1)a=85,b=815;
(2)∠B=45°,c=14.
17.(2021北京中考)(7分)如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cs B=45,求BF和AD的长.
18.【新情境·动感单车】(2022吉林中考)(7分)动感单车是一种新型的运动器械.如图所示的是一辆动感单车的侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC的长为70 cm,
∠BCD的度数为58°.当AB的长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度.(结果精确到1 cm,参考数据:sin 58°≈0.85,
cs 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
19.【实践探索试题】(2022山东济宁中考)(8分)知识再现
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=ac,sin B=bc,
∴c=asinA,c=bsinB.
∴asinA=bsinB.
拓展探究
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.

20.(10分)如图,小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底部D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B,C,D三点在同一直线上.
(1)求树DE的高度;
(2)求食堂MN的高度.
答案全解全析
1.B ∵∠C=90°,∠A=30°,∴sin A=12,故选B.
2.D ∵sin A=BCAB=23,BC=4,∴23=4AB,解得AB=6.故选D.
3.A Rt△ABC中,sin α=BCAB,∵AB=12米,
∴BC=12sin α米.故选A.
4.B 根据计算器功能键作用知,该组按键表示正切函数值为56.78的角约是88.991°.故选B.
5.C 如图,过A作AD⊥BC,交BC的延长线于D.在Rt△ABD中,∵BD=4,AD=3,∴AB=BD2+AD2=42+32=5,∴sin B=ADAB=35,故选C.
6.D ∵AC⊥BC,CD⊥AB,∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠α=∠ACD,∴cs α=cs∠ACD=BDBC=BCAB=CDAC,故选D.
7.C 如图,作PC⊥AB于C点,
∵A在P的北偏东30°方向上,
∴∠EPA=30°,∴∠APC=90°-∠EPA=90°-30°=60°,
∵B在P的南偏东45°方向上,
∴∠FPB=45°,灯塔P位于海轮的北偏西45°方向上,
∴∠BPC=90°-∠FPB=90°-45°=45°,
在Rt△APC中,∠PAC=90°-∠APC=90°-60°=30°,
∴PC=12AP=12×80=40(海里),
在Rt△PCB中,PB=PCcs∠BPC=4022=402(海里).
故灯塔P位于海轮的北偏西45°方向,距离海轮402海里处.故选C.
8.B 如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB至D,使BD=AB,连接AD,∴∠BAD=∠D=22.5°,
设AC=BC=x,则AB=BD=2AC=2x,
∴CD=BC+BD=(1+2)x,∴在Rt△ADC中,tan 22.5°=ACCD=x(1+2)x=11+2=2-1,故选B.
9.答案 等边三角形
解析 由题意得cs A-12=0,tan B-3=0,∴cs A=12,tan B=3,
∴∠A=60°,∠B=60°,∴∠C=60°,∴△ABC的形状是等边三角形.
10.答案 22
解析 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ABD中,AB=3,sin B=ADAB=23,
∴AD=AB·sin B=3×23=2,
在Rt△ADC中,∠C=45°,sin C=ADAC,
∴AC=ADsin45°=222=22.
11.答案 1 614
解析 在Rt△AOB中,由勾股定理得,OB=AB2−OA2=502−142=48(米),
∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE=50+CE,
∵∠CDE=45°,∠DEC=90°,∴∠DCE=45°,
∴DE=CE,设DE=CE=x米,
则AF=(50+x)米,DF=(x-14)米,
∵∠ADE=46°12',∴tan 46°12'=AFDF=50+xx−14≈1.04,
解得x≈1 614,∴CE=1 614米.
12.答案 (63+9)
解析 如图,过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥CO于点F,则四边形OEPF是矩形,∴OF=PE,OE=FP.
∵山坡AP的坡度i=1∶3=tan α=13=33,
∴α=30°,∵PE⊥OB,AP=6米,
∴PE=12AP=3(米),AE=3PE=33(米),
∵PF⊥OC,∠CPF=45°,∴△PCF是等腰直角三角形,∴CF=PF,
设CF=PF=m米,则OC=(m+3)米,OA=(m-33)米.
在Rt△AOC中,∠OAC=60°,
∴OC=3OA,即m+3=3(m-33),
解得m=63+6,∴OC=63+6+3=(63+9)米,
即该居民楼的高度为(63+9)米.
13.答案 (38+152)
解析 如图,过点B作BF⊥DE,垂足为F,过点C作CG⊥BF,垂足为G,过点C作CH⊥DE,垂足为H,则四边形ABFE,四边形CGFH都是矩形,∴AB=EF=24 cm,CG=HF,∠BGC=∠ABF=∠GCH=90°,
∵∠ABC=135°,∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=45°,
∴∠BCG=90°-∠CBG=45°,
∵∠BCD=165°,
∴∠DCH=∠BCD-∠BCG-∠GCH=30°,
在Rt△BCG中,BC=30 cm,∴CG=BC·sin 45°=30×22=152(cm),
∴HF=CG=152 cm,
在Rt△CDH中,CD=28 cm,∴DH=CD·sin 30°=28×12=14(cm),
∴DE=DH+HF+EF=14+152+24=(38+152)cm.
14.答案 55
解析 设P的坐标为(0,m),∵AB⊥y轴,
∴∠APO=90°,点A的坐标为−3m,m,点B的坐标为12m,m,
∴AP=3m,BP=12m,
∴AB=AP+BP=15m,∵∠AOB=90°,
∴∠APO=∠AOB=90°,∵∠PAO=∠OAB,
∴△APO∽△AOB,∴APAO=AOAB,
即AO2=AP·AB=3m×15m,∴AO=35m,
在Rt△AOP中,cs A=APAO=3m35m=55.
15.解析 (1)原式=2-3+3×33+2-3=2-3+3+2-3=1.
(2)原式=3-2×1+1-1=1.
16.解析 (1)∵a=85,b=815,∠C=90°,
∴c=b2+a2=(815)2+(85)2=165,
∴∠A=30°,∠B=60°.
(2)∵∠B=45°,c=14,∠C=90°,
∴∠A=45°,a=b=14×22=72.
17.解析 (1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥CE,∵AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形.
(2)∵EF⊥AB,∴∠BFE=90°,
∴cs B=45=BFBE,∵BE=5,∴BF=4,
∴EF=BE2−BF2=52−42=3.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90°,
∴EC=EF=3,由(1)知四边形AECD是平行四边形,
∴AD=EC=3.
18.解析 ∵AB=34 cm,BC=70 cm,
∴AC=AB+BC=34+70=104(cm),
由题意知∠AEC=90°.
在Rt△ACE中,sin∠ACE=AEAC,
∴AE=AC·sin 58°≈104×0.85≈88 cm.
答:点A到CD的距离AE的长度约为88 cm.
19.解析 拓展探究
如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=h,
在Rt△ABD中,
∵sin B=ℎc,∴h=c·sin B.
在Rt△ACD中,
∵sin C=ℎb,∴h=b·sin C.
∴c·sin B=b·sin C,∴bsinB=csinC.
同理,过点B作BE⊥AC于点E(图略),可得asinA=csinC.∴asinA=bsinB=csinC.
解决问题
∵∠A=75°,∠C=60°,
∴∠B=180°-∠A-∠C=45°.
根据ABsinC=ACsinB,
得AB=AC·sinCsinB=60×sin60°sin45°=306(m).
答:点A到点B的距离为306 m.
20.解析 (1)如图,过A作AF⊥DE于F,∴AF∥BC.
∴∠FAC=∠BCA=30°.
∴∠EAC=∠EAF+∠CAF=30°+30°=60°.
∵∠ACE=180°-∠BCA-∠DCE=180°-30°-60°=90°,
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=180°-60°-90°=30°.
在Rt△ABC中,∵∠BCA=30°,AB=2,
∴AC=2AB=4.
在Rt△ACE中,∵∠AEC=30°,AC=4,
∴EC=3AC=43.
在Rt△CDE中,∵sin∠ECD=EDEC,∠ECD=60°,EC=43,∴sin 60°=ED43,
∴ED=43×sin 60°=43×32=6(米).
答:树DE的高度为6米.
(2)如图,延长NM交BC于点G,则GB=MA=3,MG=AB=2.
在Rt△ABC中,∵AB=2,AC=4,
∴BC=AC2−AB2=42−22=23.
在Rt△CDE中,∵CE=43,DE=6,
∴CD=CE2−DE2=(43)2−62=23.
∴GD=GB+BC+CD=3+23+23=3+43.
在Rt△GDN中,∵∠NDG=45°,
∴NG=GD=3+43.
∴MN=NG-MG=3+43-2=(1+43)米.
答:食堂MN的高度为(1+43)米.