北京课改版九年级上册数学第十八章相似形学情评估试卷（含答案解析）

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北京课改版九年级上册数学第十八章相似形学情评估试卷(满分100分,限时60分钟)一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分)1.已知两数x,y,且3x=2y,则下列结论一定正确的是 (　　)A.x=2,y=3　　　　　　　　　　 B.x3=y2C.x+yy=53　　　　　　　　　　 D.x+2y+3=322.(2023北京顺义新英才学校月考)如图,在△ABC中,DE∥BC,ADBD=2,若DE=6,则BC的值为 (　　)A.12　　　　　B.10　　　　　C.9　　　　　D.83.(2022山东德州中考)如图,把一根长为4.5 m的竹竿AB斜靠在石坝旁,量出竿长1 m处离地面的高度为0.6 m,则石坝的高度为 (　　)A.2.7 m　　　　　　　　　　B.3.6 mC.2.8 m　　　　　　　　　　D.2.1 m4.(2023北京顺义牛栏山一中期中)如图,点P在△ABC的边AC上,如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB,那么以下添加的条件中,不正确的是 (　　)A.∠ABP=∠C　　　　　　　　　　B.∠APB=∠ABCC.AB2=AP·AC　　　　　　　　　　D.ABBP=ACCB5.(2023浙江宁波鄞州月考)如图,取一张长为a、宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则a、b应满足的条件是 (　　)A.a=22b　　　　　B.a=2b　　　　　C.a=2b　　　　　D.a=22b6.(2022湖南湘潭中考)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,则S△ADE∶S△ABC= (　　)A.1∶1　　　　　B.1∶2　　　　　C.1∶3　　　　　D.1∶47.(2023山东潍坊诸城月考)在△ABC中,AB=6 cm,AC=5 cm,点D,E分别在AB,AC上,△ADE与△ABC相似,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶8,则AD的长为 (　　)A.35 cm　　　　　　　　　　B.53 cm或2 cmC.2 cm　　　　　　　　　　D.34 cm或53 cm8.(2022四川攀枝花中考)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E、F分别为BC、CD的中点,BF、DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交BF于点H,则线段GH的长度是 (　　)A.56　　　　　B.1　　　　　C.54　　　　　D.53二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)9.(2023北京交大附中诊断)黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,这个比例被公认为最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割.现有长为4 m的绳子按照黄金分割分成两段,设较长一段的长为x m,依题意,可列方程为　　　　　　　.10.(2023江苏扬州宝应月考)已知两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm和14 cm,且它们的周长相差60 cm,则这两个三角形的周长分别为　　　　　　　. 11.(2022浙江嘉兴中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,△ABC的边BC落在直尺的一边上,直尺的另一边分别交AB,AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽BD为　　　　. 12.在网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”.如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC是一个格点三角形,如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形,它与△ABC相似且面积最大,那么△DEF与△ABC相似比的值是　　　　. 13.【新考法】如图,把矩形I、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的L型放入矩形ABCD中.矩形I的一个顶点落在L型中正方形的顶点E处,其他顶点在矩形ABCD的边上;L型中的正方形有三个顶点恰好在矩形ABCD的边上,另有一个顶点和小正方形顶点重合.若矩形I与矩形ABCD相似,则AB∶BC的值为　　　　　　　. 三、解答题(共48分)14.(6分)如图所示,在△ABC中,∠A=40°,∠B=65°,点D、E分别在边AB、AC上,且∠AED=75°.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD∶BD=2∶3,AE=3,求AC的长.15.(9分)如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,S△ADE=16 cm2,S△EFC=49 cm2.(1)求BCDE的值;(2)求△ABC的面积.16.(9分)大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔,被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位.某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,如图所示,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=1.28米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与大雁塔底部的点A在同一直线上),这时测得FG=1.92米,CG=20米,请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.17.(2023浙江杭州月考)(10分)如图,D,E分别是AC,AB上的点,∠AED=∠C,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F.(1)求证:AF∶AG=AD∶AB;(2)若AE=3,AC=5,求△ADF与△ABG的面积之比.18.(2023四川遂宁射洪一中教育联盟期中)(14分)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,P为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B.(1)求证:△ABP∽△PCM;(2)设BP=x,CM=y,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)当△APM为等腰三角形时,求PB的长.(直接写出答案,不写解题过程)答案全解全析1.C　∵3x=2y,∴xy=23,∴x+yy=xy+yy=23+1=53.故选C.2.C　∵ADBD=2,∴ADAB=23,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DEBC=ADAB=23,∵DE=6,∴BC=32DE=32×6=9,故选C.3.A　如图,过点B作BF⊥AD于点F,∵DC⊥AD,BF⊥AD,∴DC∥BF,∴△ACD∽△ABF,∴DCBF=ACAB,∴0.6BF=14.5,∴BF=2.7 m.故选A.4.D　∵∠A=∠A,∴当∠ABP=∠C时,△ABP∽△ACB;当∠APB=∠ABC时,△ABP∽△ACB;当AB2=AP·AC,即APAB=ABAC时,△ABP∽△ACB;当添加条件ABBP=ACCB时,由已知条件无法得到△ABP∽△ACB.故选D.5.B　由题意得,对折两次后得到的小长方形纸片的长为b,宽为14a,∵小长方形与原长方形相似,∴ab=b14a,∴b2=14a2,∴a2=4b2,∴a=2b,故选B.6.D　∵D、E分别为AB、AC的中点,∴DE为△ABC 的中位线,∴DE∥BC,DE=12BC,∴△ADE∽△ABC,且相似比为1∶2,∴S△ADE∶S△ABC=1∶4.7.B　∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶8,∴S△ABC∶S△ADE=9∶1.∵△ADE与△ABC相似,∴△ADE与△ABC的相似比为1∶3.∵∠A=∠A,∴①当∠C=∠AED时,△ADE∽△ABC,∴ADAB=13,∴AD=AB3=2(cm);②当∠C=∠ADE时,△AED∽△ABC,∴ADAC=13,∴AD=AC3=53(cm).综上,AD的长为2 cm或53 cm.故选B.8.A　∵四边形ABCD是矩形,AB=6,AD=4,∴DC=AB=6,BC=AD=4,∠C=90°,∵E、F分别为BC、CD的中点,∴DF=CF=12DC=3,CE=BE=12BC=2,∵EH∥CD,∴FH=BH,∴EH为△BCF的中位线,∴EH=12CF=32,在Rt△BCF中,由勾股定理得,BF=BC2+CF2=42+32=5,∴BH=FH=12BF=52,∵EH∥CD,∴△EHG∽△DFG,∴EHDF=GHFG,∴323=GH52−GH,解得GH=56,故选A.9.答案 x2=4(4-x)解析　较长一段的长为x m,则较短一段的长为(4-x)m,∴x4=4−xx,即x2=4(4-x).10.答案 100 cm,40 cm解析　由题意得,两个相似三角形的对应边的比是35∶14=5∶2,∵相似三角形的周长比等于相似比,∴可以设较大三角形的周长是5x cm,较小三角形的周长是2x cm,∵周长相差60 cm,∴5x-2x=60,解得x=20,∴这两个三角形的周长分别为100 cm,40 cm.11.答案 233解析　由题意得,DE=1,BC=3,在Rt△ABC中,∠A=60°,易得AB=3,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DEBC=ADAB,即13=3−BD3,解得BD=233.12.答案 105解析　由网格可得AB=2,BC=2,AC=10,如图所示,作△DEF,DE=5,DF=10,EF=5,∵ABDE=BCDF=ACEF=105,∴△EDF∽△ABC,∴△DEF与△ABC相似比的值是105.13.答案 45或210+29解析　本题通过拼图的方式考查相似的知识点.如图,设BF=FG=a(a≠0),DW=x(x≠0).由题意得HJ∶JT∶HT=1∶2∶5,△GFH∽△HJT∽△TCR∽△RWE,得,FH=2a,GH=HJ=5a,JT=25a,TH=5a,CT=a,CR=2a,WR=2a,EW=4a,∴BC=9a,∵矩形I与矩形ABCD相似,∴CDBC=DWEW或CDBC=EWDW,∴x+4a9a=x4a或x+4a9a=4ax,解得x=165a或x=210a-2a(负根舍去),∴AB=CD=165a+4a=365a或AB=CD=210a-2a+4a=2a+210a,∴ABBC=365a9a=45或ABBC=2a+210a9a=2+2109.14.解析　(1)证明:∵∠A=40°,∠B=65°,∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.∵∠AED=75°,∴∠AED=∠C.又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.(2)∵∠AED=∠C,∴DE∥BC,∴ADBD=AEEC,∴23=3EC,∴EC=92,∴AC=AE+EC=3+92=152.15.解析　(1)∵DE∥BC,∴∠AED=∠C,∵EF∥AB,∴∠A=∠FEC,∴△ADE∽△EFC.∴S△ADES△EFC=DEFC2=1649,∴DECF=47.∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DEFB是平行四边形,∴DE=BF,∴DEBC=411,∴BCDE=114.(2)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴S△ADES△ABC=DEBC2=16121,∵S△ADE=16 cm2,∴S△ABC=121 cm2.16.解析　根据题意得△EDC∽△EBA,△FHG∽△FBA,∴DCBA=ECEA,GHAB=FGFA,∵DC=HG,∴FGFA=ECEA,∴1.921.92+20+CA=1.281.28+CA,∴CA=40米,∴2AB=1.281.28+40,∴AB=64.5米.答:大雁塔的高度AB为64.5米.17.解析　(1)证明:∵∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△DAE∽△BAC,∴∠ADE=∠B.∵AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∴∠AFD=∠AGB=90°,∴△ADF∽△ABG,∴AFAG=ADAB,即AF∶AG=AD∶AB.(2)∵△DAE∽△BAC,∴ADAB=AEAC=35.∵△ADF∽△ABG,∴S△ADFS△ABG=ADAB2=352=925.18.解析　(1)证明:∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP,∵∠APM=∠B,∴∠BAP=∠CPM,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△ABP∽△PCM.(2)BP=x,则PC=8-x,∵P为BC边上一动点(不与点B、C重合),∴0∠C矛盾,∴不合题意,舍去;②当PA=PM时,△ABP≌△PCM,∴BP=CM,即x=y,∴-15x2+85x=x,解得x1=0,x2=3,此时PB的长为3;③当MA=MP时,∠APM=∠PAM,∵∠APM=∠B=∠C,∴△MAP∽△ABC,∠PAM=∠C,∴MAAB=PABC,PA=PC=8-x,∴5−y5=8−x8,∴8y=5x,即8−15x2+85x=5x,整理得8x2-39x=0,解得x1=0,x2=398,此时PB的长为398.综上所述,PB的长为3或398.