青岛版九年级上册数学第3章对圆的进一步认识学情评估试卷（含答案解析）

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青岛版九年级上册数学第3章对圆的进一步认识学情评估试卷(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2022山东济南章丘期中)用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时,首先应该假设这个三角形中(　　)A.有一个内角小于45°B.每一个内角都小于45°C.有一个内角大于或等于45°D.每一个内角都大于或等于45°2.(2022山东枣庄市中校级月考)已知☉O的半径为3,直线l上有一点P满足PO=3,则直线l与☉O的位置关系是(　　)A.相切　 　B.相离C.相离或相切　　D.相切或相交3.(2023浙江绍兴新昌期中)已知扇形的弧长为6π cm,圆心角为120°,则扇形的面积为 (　　)A.27π cm2 B.13.5π cm2 C.54π cm2 D.36π cm24.(2023河南信阳平桥期中)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AO,OC,∠OCD=40°,AO∥CD,则∠ADC= (　　)A.110°　　　B.105°　　　C.100°　　　D.96°5.(2023天津南开期中)如图,AB是☉O的直径,点E在☉O上,点D、C是BE的三等分点,∠COD=34°,则∠AOE的度数是 (　　)A.78°　　　B.68°　　　C.58°　　　D.56°6.【数学文化】(2022江西赣州南康期末)斐波那契螺旋线,也称“黄金螺旋线”,自然界中存在许多包含斐波那契螺旋线的图案(如图1).图2是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,……画出来的螺旋曲线,阴影部分内部是边长为1的正方形,黑色曲线就是斐波那契螺旋线,它是依次在以1,2,3,5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形,将其圆弧连接起来得到的.那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为(　　)A.92π　　　B.5π　　　C.112π　　　D.6π7.(2023湖北荆门期末)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点P为AEC上一点,则∠APC的度数为 (　　)A.36°　　　B.45.5°　　　C.67.5°　　　D.72°8.【新情境·光盘与直尺】(2022山东聊城冠县期末)下图是用直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60°角的顶点,点B为光盘与直尺的唯一交点,点O为光盘的圆心,点C为光盘与直角三角板的唯一交点,若AB=3,则光盘的直径是 (　　)A.63　　　B.33　　　C.6　　　D.39.(2022四川泸州中考)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=42,DE=4,则BC的长是 (　　)A.1　　　B.2　　　C.2　　　D.410.(2022山东济宁微山期末)如图,以△ABC的边AB为直径作☉O经过点C,分别过点B,C作☉O的两条切线相交于点D,OD交☉O于点E,AE的延长线交BD于点F.下面结论中,错误的是 (　　)A.BC⊥ODB.AC∥ODC.FD=FED.点E为△BCD的内心二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2022江苏苏州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D=　　　　.12.【新独家原创】在圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶4∶5,则∠D的度数为　　　　.13.(2022山东泰安中考)如图,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO=　　　　.14.【数学文化】(2022山东临沂莒南期中)《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”,其卷九勾股篇记载:今有圆材埋于壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何.大意是,如图,今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这个木材,锯口深CD等于1 寸,锯道AB长1 尺,问圆柱形木材的底面直径是多少.(1 尺=10 寸)答:圆柱形木材的底面直径是　　　　寸.15.【新情境·蜂巢】(2023北京昌平期末改编)我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合而来的.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图,某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF,若☉O的内接正六边形为正六边形ABCDEF,则BF的长为　　　　.16.(2023重庆实验外国语学校月考)如图,在正方形ABCD中,分别以B、D为圆心,BC的长为半径画弧,分别交对角线BD于点E、F,连接AE、CF,若AD=2,则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留π)三、解答题(共52分)17.(2023河南驻马店确山期中)(7分)如图所示,☉O的直径AB为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D.(1)判断△ADB的形状,并证明;(2)求BD的长.18.【尺规作图】(2023山东烟台莱州期末)(8分)如图,AB是☉O的直径,点P是AB上一点,且点P是弦CD的中点.(1)依题意画出弦CD;(不写作法,保留作图痕迹)(2)若AP=4,CD=16,求☉O的半径.19.(2022福建中考)(8分)如图,△ABC内接于☉O,AD∥BC交☉O于点D,DF∥AB交BC于点E,交☉O于点F,连接AF,CF.(1)求证:AC=AF;(2)若☉O的半径为3,∠CAF=30°,求AC的长(结果保留π).20.(2022山东枣庄中考)(9分)如图,在半径为10 cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6 cm(1)求证:CD是☉O的切线;(2)求AD的长.21.(2022内蒙古呼伦贝尔期末)(10分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BE.(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数;(2)求证:DE=DB.22.(2023北京房山期末)(10分)如图,AB是☉O的直径,直线MC与☉O相切于点C.过点B作BD⊥MC于D,线段BD与☉O相交于点E.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)若AB=10,BE=6,求BC的长.答案全解全析1.D　“钝角三角形中必有一个内角小于45°”的反面是“这个三角形中每一个内角都不小于45°”,即先应该假设每一个内角都大于或等于45°.故选D.2.D　∵☉O的半径为3,PO=3,∴☉O与直线l有公共点P,∴直线l与☉O相切或相交.故选D.3.A　设扇形的半径为r cm,则120πr180=6π,解得r=9,∴该扇形的面积=12·6π·9=27π(cm2).故选A.4.A　∵∠OCD=40°,AO∥CD,∴∠AOC=180°-∠OCD=140°,∴∠B=12∠AOC=70°.∵∠ADC+∠B=180°,∴∠ADC=180°-70°=110°.故选A.5.A　∵点D、C是BE的三等分点,∴DE=CD=BC,∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°,∴∠AOE=180°-3×34°=78°.故选A.6.C　这一段斐波那契螺旋线的弧长为90π×1180+90π×2180+90π×3180+90π×5180=112π.故选C.7.D　∵正五边形ABCDE内接于☉O,∴AB的度数=BC的度数=15×360°=72°,∴AC的度数=72°×2=144°,∴∠APC=12×144°=72°.故选D.8.A　如图,连接OA、OB,由切线长定理得AB=AC,易证AO平分∠BAC,∴∠OAB=60°.易知AB⊥OB,∴∠ABO=90°,在Rt△ABO中,OB=AB·tan∠OAB=33,∴光盘的直径为63.故选A.9.C　∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°.∵OD⊥AC,∴点D是AC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥BC,且OD=12BC.设OD=x,则BC=2x.∵DE=4,∴OE=4-x,∴AB=2OE=8-2x.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,∴(8-2x)2=(42)2+(2x)2,解得x=1,∴BC=2x=2.故选C.10.C　∵DC和DB是☉O的两条切线,∴DC=DB,易证∠CDO=∠BDO,∴OD⊥BC,故选项A正确,不符合题意;∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,∴AC∥OD,故选项B正确,不符合题意;∵OE⊥BC,OE是☉O的半径,∴CE=BE,∴∠BAE=∠CAE,如图,连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠BAE=90°-∠ABE,又∠ABF=90°,∴∠EBF=90°-∠ABE,∴∠BAE=∠EBF,∵∠CAE=∠CBE,∴∠CBE=∠EBF,∴BE平分∠CBD,∵DE平分∠BDC,∴点E为△BCD的内心,故选项D正确,不符合题意;由已知条件无法确定FE=FD,故选项C错误,符合题意.故选C.11.62°解析　如图,连接BC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=62°,∴∠D=∠ABC=62°.12.60°解析　∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.∵∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶4∶5,∴∠B、∠D的度数之比为4∶2,∴∠D=180°×24+2=60°.13.64°解析　如图,连接OC,∵∠A=32°,∴∠DOC=2∠A=64°.∵BC与☉O相切于点C,∴OC⊥BC,即∠BCO=90°.∵∠B=90°,∴∠B+∠BCO=180°,∴AB∥OC,∴∠ADO=∠DOC=64°.14.26解析　如图,连接OC,OA,易知O、C、D三点共线,且OC⊥AB,∴AC=BC=12AB=5 寸,设圆柱形木材的底面半径为x 寸,则OC=(x-1)寸.在Rt△OAC中,由勾股定理,得52+(x-1)2=x2,解得x=13.∴圆柱形木材的底面直径为2×13=26(寸).15.63解析　如图,连接OA、OB,OA与BF交于点G,易知△OAB是等边三角形,且OA⊥BF,∴∠AOB=60°,OB=AB=6,BG=FG.在Rt△BOG中,BG=OB·sin∠AOB=33,∴BF=2BG=63.16.12π-2+2解析　如图,连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD=2AD=2,∴DE=BD-BE=2-2,OA=OC=1.根据对称性可知,S阴影=2(S扇形ADF-S△ADE)=2×45π×(2)2360−12×(2−2)×1=12π-2+2.17.解析　(1)△ADB是等腰直角三角形.证明:∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴AD=BD,∴AD=BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴△ADB是等腰直角三角形.(2)∵AB=6 cm,∴BD=AB2=62=32(cm),∴BD的长为32 cm.18.解析　(1)如图,弦CD即为所求.(2)如图,连接OD,易知∠OPD=90°,PD=12CD.∵CD=16,∴PD=8.设☉O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-4.在Rt△ODP中,∵∠OPD=90°,∴OD2=OP2+PD2,即r2=(r-4)2+82,解得r=10.∴☉O的半径为10.19.解析　(1)证明:∵AD∥BC,DF∥AB,∴四边形ABED是平行四边形,∴∠B=∠D.∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,∴∠AFC=∠ACF,∴AC=AF.(2)如图,连接AO,CO,∵∠AFC=∠ACF,∠CAF=30°,∴∠AFC=180°−30°2=75°,∴∠AOC=2∠AFC=150°,∴AC的长=150×π×3180=5π2.20.解析　(1)证明:如图,连接OC,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO.∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.∵AD⊥DC,∴CO⊥DC.∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)∵E是BC的中点,OA=OB,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE.∵OE=6 cm,∴AC=12 cm.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°=∠ADC.又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴ADAC=ACAB,即AD12=1220,∴AD=365 cm.21.解析　(1)∵E是△ABC的内心,∴AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB.∵∠CBD=34°,∴∠CAD=∠CBD=34°,∴∠BAC=2∠CBD=68°,∴∠ABC+∠ACB=180°-68°=112°,∴∠ABE+∠ACE=12×112°=56°,∴∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=68°+56°=124°.(2)证明:∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.∵∠DAC=∠DBC,∠DBE=∠DBC+∠EBC,∠DEB=∠EBA+∠EAB,∴∠DBE=∠DEB,∴DE=DB.22.解析　(1)证明:如图,连接OC,∵直线MC与☉O相切于点C,∴OC⊥MC,即∠OCM=90°.∵BD⊥CD,即∠BDM=90°,∴∠OCM=∠BDM,∴OC∥BD,∴∠DBC=∠BCO.∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO,∴∠DBC=∠CBO,∴BC平分∠ABD.(2)如图,连接AC,AE,AE交OC于点F,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=∠ACB=90°,∴AE=AB2−BE2=8.∵OC∥BD,O为AB的中点,∴AF=4,∴OF=OA2−AF2=3,∴CF=OC-OF=2,∴AC=AF2+CF2=25,∴BC=AB2−AC2=45.