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江苏省连云港市灌云县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)
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这是一份江苏省连云港市灌云县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中最大的负数是( )
A. -13B. -12C. -5D. -3
2.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (-x3)2=x6
C. 6x6÷2x2=3x3D. (x+y)2=x2+y2
4.点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是( )
A. 4B. 3C. -3D. -2
5.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1=23°，则∠2的度数是( )
A. 23°
B. 53°
C. 60°
D. 67°
6.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为( )
A. 30x=301.5x+1B. 30x=301.5x+1C. 30x=301.5x-1D. 30x=301.5x-1
7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 4
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，点B(x2,y2)在双曲线y=3x上，且0A. 23
B. 32
C. 12
D. 33
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.分解因式：6x2y-54xy2=______．
10.若圆锥的侧面积为25π，底面半径为5，则该圆锥的母线长是______．
11.将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点(1,1)，则平移后的函数表达式是______．
12.扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为______．
13.已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数是______．
14.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于1500年前，共三卷，卷上叙述算筹计数的纵横相间制度和筹算乘除法，记有许多有趣的问题.其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短.用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺.问木头的长度是多少尺？”你的计算结果是：木头的长度为______尺.
15.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标[2,0]，对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a-b+c<0；③2a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为(1,b2)；⑤当x<1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的是______．
16.如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=kx(k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上的点D1处，则a= ．
17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是______°.
18.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F.若CF=4cm，FB'=1cm，则BE= ______cm．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示．
(1)有月租费的收费方式是______(填①或②)，月租费是______元；
(2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
(3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
(1)计算：4tan60°+(2024-π)0- 27；
(2)先化简，再求值：(x2+1x-2)÷x2-1x2+x，其中x=-2．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．
(1)求证：△ABE≌△DFE；
(2)试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
22.(本小题8分)
某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，800名七年级学生全部参赛，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理(得分用x表示)：
A：50≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<80；D：80≤x<90；E：90≤x≤100．
并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：
已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79．
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)n= ______，抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是______；
(2)若将抽取的n名学生成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为______°；
(3)学校将对80分以上(含80分)的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．
23.(本小题8分)
2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
(1)求A、C两点之间的距离；
(2)求OD长．
(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 5≈2.24)
24.(本小题8分)
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题8分)
在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
(1)写出点M坐标的所有可能的结果；
(2)求点M在直线y=x上的概率；
(3)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
26.(本小题8分)
如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；
(3)若AC=16，tan∠BAC=43，F是AC中点，求EF的长．
27.(本小题8分)
问题呈现：
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE．
类比探究：
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
拓展提升：
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE．
(1)求BDCE的值；
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值．
28.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2).点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．
(1)直接写出结果：b= ______；c= ______；点A的坐标为______；tan∠ABC= ______；
(2)如图1，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°.点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE=DF，求BE+QF的最小值．
答案和解析
1.答案：A
解析：解：|-13|=13，|-12|=12，|-5|=5，|-3|=3，
∵13<12<3<5，
∴-13>-12>-3>-5，
∴所给的各数中最大的负数是-13．
故选：A．
有理数大小比较的法则：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.答案：A
解析：解：根据轴对称图形的定义，选项B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意；
选项A中的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，
故选：A．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.答案：B
解析：解：A、x2⋅x3=x5，故A错误；
B、(-x3)2=x6，故B正确；
C、6x6÷2x2=3x4，故C错误；
D、(x+y)2=x2+y2+2xy，故D错误．
故选：B．
根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．
本题主要考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识，解题的关键是熟记法则．
4.答案：D
解析：解：由题意可得，
∵点A向左移动3个单位长度得到点B，
∴点B代表的数字是：1-3=-2，
故选：D．
根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案．
本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键．
5.答案：B
解析：解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB//CD，
∴∠2=∠FHG．
又∵∠1+∠E=∠FHG，
∴∠2=∠1+∠E=23°+30°=53°．
故选：B．
利用平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，比较简单．
6.答案：A
解析：解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里/时，
由题意可得：30x=301.5x+1，
故选：A．
根据题意可知：步行的时间=牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∵AC=6，BD=8，
∴OC=3，OB=4，
∴CB= OB2+OC2=5，
∵E为边BC的中点，
∴OE=12BC=52．
故选：B．
由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．
8.答案：C
解析：解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A(x1,y1)，点B(x2,y2)在双曲线y=3x上，
∴AF=3x1，BH=3x2，FH=x2-x1，S△AOF=32=S△BOH，
∴S梯形ABHF=12FH⋅(AF+BH)=12(x2-x1)(3x1+3x2)，
∵S△AOB=S△AOF+S梯形ABHF-S△BOH=32+12(x2-x1)(3x1+3x2)-32=12(x2-x1)(3x1+3x2)，
∴12(x2-x1)(3x1+3x2)=94，
∴x22-x12=32x1x2，
∴x2x1-x1x2=32，
设t=x2x1，则t-1t=32，
解得：t=2或t=-12(舍去)，
∴x2x1=2，
∵AC//BD//x轴，点C，点D在双曲线y=6x图象上，
∴点C(2x1,3x1)，点D(2x2,3x2)，
∴AC=2x1-x1=x1，BD=2x2-x2=x2，
∴ACBD=x1x2=12，
故选：C．
过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，由A(x1,y1)，点B(x2,y2)在双曲线y=3x上，可得AF=3x1，BH=3x2，FH=x2-x1，S△AOF=32=S△BOH，即得S梯形ABHF=12FH⋅(AF+BH)=12(x2-x1)(3x1+3x2)，根据△AOB的面积为94，可得12(x2-x1)(3x1+3x2)=94，即有x2x1-x1x2=32，设t=x2x1，则t-1t=32，解得：t=2或t=-12(舍去)，故x2x1=2，又AC//BD//x轴，点C，点D在双曲线y=6x图象上，可得AC=2x1-x1=x1，BD=2x2-x2=x2，从而ACBD=x1x2=12．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
9.答案：6xy(x-9y)
解析：解：6x2y-54xy2=6xy(x-9y)．
故答案为：6xy(x-9y)．
直接提取公因式6xy，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10.答案：5
解析：解：∵圆锥的侧面积为25π，底面半径为5，
∴5πl=25π．
解得：l=5，
故答案为：5．
根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．
本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
11.答案：y=3x-2
解析：解答：
解：新直线是由一次函数y=3x+1的图象平移得到的，
∴可设新直线的解析式为：y=3x+b．
∵经过点(1,1)，则1×3+b=1，
解得b=-2，
∴平移后的函数解析式为y=3x-2；
故答案为y=3x-2．
12.答案：2.345×106
解析：解：2345000=2.345×106．
故答案为：2.345×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.答案：8
解析：解：∵x1，x2，x3，x4的平均数为5
∴x1+x2+x3+x4=4×5=20，
∴x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为：
(x1+3+x2+3+x3+3+x4+3)÷4
=(20+12)÷4
=8，
故答案为：8．
根据平均数的性质知，要求x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数，只要把数x1，x2，x3，x4的和表示出即可．
本题考查的是算术平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．
14.答案：6.5
解析：解：设木头长x尺，
根据题意得： x+4.52=x-1，
解得x=6.5，
∴木头长6.5尺．
故答案为：6.5．
设木头长x尺，则绳子长(x+4.5)尺，可得： x+4.52=x-1，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
15.答案：①③④
解析：解：抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)，对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(0,0)，因此①正确；
当x=-1时，y=a-b+c，由图象可知此时y>0，即a-b+c>0，因此②不正确；
对称轴是直线x=1，即-b2a=1，就是2a+b=0，而c=0，因此有2a+b+c=0，故③正确；
对称轴是直线x=1，即-b2a=1，就是a=-b2，而c=0，当x=1时，y=a+b+c=b2，故顶点为(1,b2)，因此④正确；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即：当x<1时，y随x的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，最大值(最小值)逐个进行判断，最后做出选择即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键，数形结合是常用的方法．
16.答案：2
解析：解：对于直线y=-3x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=1，即A(0,3)，B(1,0)．
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF//x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°，
∴∠OAB=∠EBC．
在△AOB和△BEC中，∠AOB=∠BEC=90°，∠OAB=∠EBC，AB=BC，
∴△AOB≌△BEC(AAS)，
∴BE=AO=3，CE=OB=1，
∴C(4,1)．
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y=4x，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF=BO=1，AF=AO=3，
∴D(3,4)，
把y=4代入反比例解析式得x=1，即D1(1,4)，
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上的点D1处，即a=2．
故答案为：2．
对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标；过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF//x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，通过证明△AOB≌△BEC得到点C坐标，进而求出反比例函数的解析式；同理得到△DFA≌△BOA，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．
此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
17.答案：120
解析：解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC=2CD，
∴OC=OD=CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∴∠BAD=120°，
故答案为：120．
连接OD，根据等边三角形的性质得到∠C=60°，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
18.答案：257
解析：解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE=∠CHE=90°，
∵CF=4cm，FB'=1cm，
∴B'C=CF+FB'=4+1=5(cm)，
由折叠得BC=B'C=5cm，∠BCE=∠B'CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC//AD，DC=BC=5cm，∠B=∠D，
∵CB'⊥AD于点F，
∴∠BCB'=∠CFD=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=12∠BCB'=12×90°=45°，DF= DC2-CF2= 52-42=3(cm)，
∴∠HEC=∠BCE=45°，
∴CH=EH，
∵EHBE=sinB=sinD=CFDC=45，BHBE=csB=csD=DFDC=35，
∴CH=EH=45BE，BH=35BE，
∴45BE+35BE=5，
∴BE=257cm，
故答案为：257．
作EH⊥BC于点H，由CF=4cm，FB'=1cm，求得B'C=5cm，由折叠得BC=B'C=5cm，由菱形的性质得BC//AD，DC=BC=5cm，∠B=∠D，因为CB'⊥AD于点F，所以∠BCB'=∠CFD=90°，则∠BCE=∠B'CE=45°，DF= DC2-CF2=3cm，所以∠HEC=∠BCE=45°，则CH=EH，由EHBE=sinB=sinD=45，BHBE=csB=csD=35，得CH=EH=45BE，BH=35BE，于是得45BE+35BE=5，则BE=257cm．
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.答案：(1)①；30；
(2)设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将(500,80)，(500,100)分别代入即可：
500k1+30=80，
∴k1=0.1，
500k2=100，
∴k2=0.2
故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；
(3)当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；
当x=300时，y=60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．
解析：解：(1)①；30；
(2)设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将(500,80)，(500,100)分别代入即可：
500k1+30=80，
∴k1=0.1，
500k2=100，
∴k2=0.2
故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；
(3)当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；
当x=300时，y=60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．
(1)根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；
(2)根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；
(3)求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
20.答案：解：(1)4tan60°+(2024-π)0- 27
=4 3+1-3 3
= 3+1；
(2)(x2+1x-2)÷x2-1x2+x
=x2+1-2xx⋅x(x+1)(x+1)(x-1)
=(x-1)2x⋅x(x+1)(x+1)(x-1)
=x-1，
当x=-2时，原式=-2-1=-3．
解析：(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CF．
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DFE中
∠1=∠2∠3=∠4AE=DE
∴△ABE≌△DFE．
(2)解：四边形ABDF是平行四边形．
∵△ABE≌△DFE，
∴AB=DF
又∵AB//DF
∴四边形ABDF是平行四边形．
解析：(1)可用AAS证明△ABE≌△DFE；
(2)四边形ABDF是平行四边形，可用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
此题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22.答案：50 77.5 108
解析：解：(1)n=6+10+11+15+8=50，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为77+782=77.5(分)，因此中位数是77.5，
故答案为：50；77.5；
(2)360°×1550=108°，
故答案为：108；
(3)800×15+850=368(名)，
答：该校七年级300名被授予“小书虫”称号的学生数大约为368名．
(1)根据“各组频数之和等于样本容量”即可求出n的值，根据中位数的定义进行计算即可；
(2)求出D组人数占抽查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
(3)求出样本中获得“小书虫”称号的学生人数占抽查人数的百分比，进而求出总体中获得“小书虫”的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数以及中位数的定义和计算方法是正确解答的前提．
23.答案：解：(1)如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB=5，∠ABE=37°，
∵sin∠ABE=AEAB，cs∠ABE=BEAB，
∴AE5≈0.60，BE5≈0.80，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=6，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC= 32+62=3 5≈6.7．
故A，C两点之间距离为6.7m．
(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD=AO=1，AF=OD，
∴CF=5，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF= 45-25=2 5≈4.5．
∴OD的长为4.5m．
解析：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
(1)过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB=5，∠ABE=37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
24.答案：解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得：
55k+b=7060k+b=60，解得：k=-2b=180．
∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+180．
(2)由题意得：(x-50)(-2x+180)=600，
整理得：x2-140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
(3)设当天的销售利润为w元，则：
w=(x-50)(-2x+180)
=-2(x-70)2+800，
∵-2<0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
解析：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
(3)利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
25.答案：解：(1)列表：
∴点M坐标的所有等可能的结果有9个：
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)．
(2)∵(1,1)，(2,2)，(3,3)在直线y=x上，共有3个，
∴P(点M在直线y=x上)=39=13．
(3)列表：
由表可知，点M的横坐标与纵坐标之和是偶数有5个，
∴P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)=59．
解析：(1)依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，注意要不重不漏；
(2)注意点M在直线y=x上，即点M的横、纵坐标相等，求得符合要求的点的个数，利用概率公式求解即可求得答案；
(3)依据题意先用列表法分析出点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的结果数，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26.答案：(1)证明：如图，连接OD，
∵AC与圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，即∠ODC=90°，
∵BC=CD，BC=DC，CO=CO，
∴△OBC≌△ODC(SSS)，
∴∠OBC=∠ODC=90°，即OB⊥CB，
∴BC是圆O的切线；
(2)证明：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°．
∵∠OBC=90°，
∴∠ADO=∠ABC．
又∵∠BAC=∠DAO，
∴△AOD∽△ACB，
∴AOAC=ADAB，
∴AO⋅AB=AC⋅AD；
(3)解：∵∠OBC=90°，
∴tan∠BAC=BCAB=43，
设AB=3x，则BC=4x．
∵AB2+BC2=AC2，
∴(3x)2+(4x)2=162，
解得：x=165(舍去负值)，
∴AB=485，BC=645．
∵OD⊥AC，
∴tan∠BAC=ODAD=43，
设OD=4y，
则OB=4y，AD=3y，
∴OA= OD2+AD2=5y，
∴AB=OA+OB=9y=485，
解得：y=1615，
∴OB=6415，即⊙O半径为6415．
∵F是AC中点，
∴AF=CF=BF=12AC=8，
∴∠ABF=∠BAF．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠ABF=∠BAF=∠OBE=∠OEB，
∴△OBE∽△FBA，
∴BEAB=OBBF，即BE485=64158，
解得：BE=12825，
∴EF=BF-EF=8-12825=7225．
解析：(1)连接OD，由切线的性质可知∠ODC=90°.又易证△OBC≌△ODC(SSS)，即得出∠OBC=∠ODC=90°，即OB⊥CB，说明BC是圆O的切线；
(2)由题意易证△AOD∽△ACB，即得出AOAC=ADAB，整理得AO⋅AB=AC⋅AD；
(3)由正切的定义结合题意可设AB=3x，则BC=4x.再由勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出AB=485，BC=645.可设OD=4y，则OB=4y，AD=3y，即可求出OA=5y，从而得出AB=9y=485，解出y的值，即可求出OB=6415，即⊙O半径为6415.由直角三角形斜边中线的性质得出AF=CF=BF=12AC=8，结合等边对等角，得出∠ABF=∠BAF，进而可证△OBE∽△FBA，得出BEAB=OBBF，代入数据，即可求出BE=12825，最后由EF=BF-EF求解即可．
本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．
27.答案：问题呈现：证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
类比探究：解：BDCE= 22；
拓展提升：解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45．
解析：问题呈现：证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
类比探究：证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
解：BDCE= 22；
证明过程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
拓展提升：(1)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
28.答案：32 2 (-1,0) 12
解析：解：(1)∵抛物线y=-12x2+bx+c经过点 B(4,0)，C(0,2)，
-8+4b+c=0c=2，
解得b=32c=2，
∴抛物线解析式为y=-12x2+32x+2，
∵抛物线y=-12x2+32x+2与x轴交于A、B(4,0)两点，
∴y=0时，-12x2+32x+2=0，
解得x1=-1，x2=4，
∴A(-1,0)，
∴OB=4，OC=2，
在Rt△COB中，tan∠ABC=OCOB=24=12，
故答案为：32，2，(-1,0)，12；
(2)如图1，过点C作CD//x轴，交BP于点D，过点 P作PE//x轴，交y轴于点E，
∵AO=1，OC=2，OB=4，
∴tan∠OCA=AOCO=12，
由(1)可得，tan∠ABC=12，即tan∠OCA=tan∠ABC，
∴∠OCA=∠ABC，
∵∠PCB=2∠OCA，
∴∠PCB=2∠ABC，
∵CD//x轴，PE//x轴，
∴∠ABC=∠DCB，∠EPC=∠PCD，
∴∠EPC=∠ABC，
又∵∠PEC=∠BOC=90°，
∴△PEC∽△BOC，
∴EPOB=ECOC，
设点P坐标为(t,-12t2+32t+2)，则 EP=t，EC=-12t2+32t+2-2=-12t2+32t，
∴t4=-12t2+32t2，
解得 t=0(舍去)或t=2，
∴点P坐标为(2,3)
(3)如图2，作DH⊥DQ，且使DH=BQ，连接FH，
∵∠BQD+∠BDQ=90°，∠HDF+∠BDQ=90°，
∴∠BQD=∠HDF，
∵QE=DF，DH=BQ，
∴△BQE≌△HDF(SAS)，
∴BE=FH，
∴BE+QF=FH+QF≥QH，
∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，
作QG⊥AB于点G，
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵∠QBD=90°，
∴∠QBG=45°，
∴QG=BG，
设G(n,0)，则Q(n,-12n2+32n+2)，
∴-12n2+32n+2=4-n，
解得n=1或n=4(舍去)，
∴Q(1,3)，
∴QG=BG=4-1=3，
∴BQ=DH=3 2，QD=5 2，
∴m=QH= (3 2)2+(5 2)2=2 17．
(1)利用待定系数法求出b、c的值，得到抛物线解析式为y=-12x2+32x+2，由y=0可得A(-1,0)，根据正切定义可求出tan∠ABC；
(2)过点C作CD//x轴，交BP于点D，过点 P作PE//x轴，由tan∠OCA=tan∠ABC=12可得∠OCA=∠ABC，证明△PEC∽△BOC，得到EPOB=ECOC，设点P坐标为(t,-12t2+32t+2)，可得t4=-12t2+32t2，解之即可求解；
(3)作DH⊥DQ，且使DH=BQ，连接FH，证明△BQE≌△HDF(SAS)得到BE+QF=FH+QF≥QH，Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，作QG⊥AB于点G，设G(n,0)，则Q(n,-12n2+32n+2)，得到-12n2+32n+2=4-n，求出Q(1,3)，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
1.下列各数中最大的负数是( )
A. -13B. -12C. -5D. -3
2.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (-x3)2=x6
C. 6x6÷2x2=3x3D. (x+y)2=x2+y2
4.点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是( )
A. 4B. 3C. -3D. -2
5.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1=23°，则∠2的度数是( )
A. 23°
B. 53°
C. 60°
D. 67°
6.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为( )
A. 30x=301.5x+1B. 30x=301.5x+1C. 30x=301.5x-1D. 30x=301.5x-1
7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 4
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，点B(x2,y2)在双曲线y=3x上，且0
B. 32
C. 12
D. 33
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.分解因式：6x2y-54xy2=______．
10.若圆锥的侧面积为25π，底面半径为5，则该圆锥的母线长是______．
11.将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点(1,1)，则平移后的函数表达式是______．
12.扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为______．
13.已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数是______．
14.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于1500年前，共三卷，卷上叙述算筹计数的纵横相间制度和筹算乘除法，记有许多有趣的问题.其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短.用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺.问木头的长度是多少尺？”你的计算结果是：木头的长度为______尺.
15.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标[2,0]，对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a-b+c<0；③2a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为(1,b2)；⑤当x<1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的是______．
16.如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=kx(k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上的点D1处，则a= ．
17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是______°.
18.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F.若CF=4cm，FB'=1cm，则BE= ______cm．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示．
(1)有月租费的收费方式是______(填①或②)，月租费是______元；
(2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
(3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
(1)计算：4tan60°+(2024-π)0- 27；
(2)先化简，再求值：(x2+1x-2)÷x2-1x2+x，其中x=-2．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．
(1)求证：△ABE≌△DFE；
(2)试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
22.(本小题8分)
某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，800名七年级学生全部参赛，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理(得分用x表示)：
A：50≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<80；D：80≤x<90；E：90≤x≤100．
并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：
已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79．
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)n= ______，抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是______；
(2)若将抽取的n名学生成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为______°；
(3)学校将对80分以上(含80分)的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．
23.(本小题8分)
2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
(1)求A、C两点之间的距离；
(2)求OD长．
(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 5≈2.24)
24.(本小题8分)
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题8分)
在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
(1)写出点M坐标的所有可能的结果；
(2)求点M在直线y=x上的概率；
(3)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
26.(本小题8分)
如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；
(3)若AC=16，tan∠BAC=43，F是AC中点，求EF的长．
27.(本小题8分)
问题呈现：
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE．
类比探究：
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
拓展提升：
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE．
(1)求BDCE的值；
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值．
28.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2).点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．
(1)直接写出结果：b= ______；c= ______；点A的坐标为______；tan∠ABC= ______；
(2)如图1，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°.点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE=DF，求BE+QF的最小值．
答案和解析
1.答案：A
解析：解：|-13|=13，|-12|=12，|-5|=5，|-3|=3，
∵13<12<3<5，
∴-13>-12>-3>-5，
∴所给的各数中最大的负数是-13．
故选：A．
有理数大小比较的法则：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.答案：A
解析：解：根据轴对称图形的定义，选项B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意；
选项A中的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，
故选：A．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.答案：B
解析：解：A、x2⋅x3=x5，故A错误；
B、(-x3)2=x6，故B正确；
C、6x6÷2x2=3x4，故C错误；
D、(x+y)2=x2+y2+2xy，故D错误．
故选：B．
根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．
本题主要考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识，解题的关键是熟记法则．
4.答案：D
解析：解：由题意可得，
∵点A向左移动3个单位长度得到点B，
∴点B代表的数字是：1-3=-2，
故选：D．
根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案．
本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键．
5.答案：B
解析：解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB//CD，
∴∠2=∠FHG．
又∵∠1+∠E=∠FHG，
∴∠2=∠1+∠E=23°+30°=53°．
故选：B．
利用平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，比较简单．
6.答案：A
解析：解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里/时，
由题意可得：30x=301.5x+1，
故选：A．
根据题意可知：步行的时间=牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∵AC=6，BD=8，
∴OC=3，OB=4，
∴CB= OB2+OC2=5，
∵E为边BC的中点，
∴OE=12BC=52．
故选：B．
由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．
8.答案：C
解析：解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A(x1,y1)，点B(x2,y2)在双曲线y=3x上，
∴AF=3x1，BH=3x2，FH=x2-x1，S△AOF=32=S△BOH，
∴S梯形ABHF=12FH⋅(AF+BH)=12(x2-x1)(3x1+3x2)，
∵S△AOB=S△AOF+S梯形ABHF-S△BOH=32+12(x2-x1)(3x1+3x2)-32=12(x2-x1)(3x1+3x2)，
∴12(x2-x1)(3x1+3x2)=94，
∴x22-x12=32x1x2，
∴x2x1-x1x2=32，
设t=x2x1，则t-1t=32，
解得：t=2或t=-12(舍去)，
∴x2x1=2，
∵AC//BD//x轴，点C，点D在双曲线y=6x图象上，
∴点C(2x1,3x1)，点D(2x2,3x2)，
∴AC=2x1-x1=x1，BD=2x2-x2=x2，
∴ACBD=x1x2=12，
故选：C．
过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，由A(x1,y1)，点B(x2,y2)在双曲线y=3x上，可得AF=3x1，BH=3x2，FH=x2-x1，S△AOF=32=S△BOH，即得S梯形ABHF=12FH⋅(AF+BH)=12(x2-x1)(3x1+3x2)，根据△AOB的面积为94，可得12(x2-x1)(3x1+3x2)=94，即有x2x1-x1x2=32，设t=x2x1，则t-1t=32，解得：t=2或t=-12(舍去)，故x2x1=2，又AC//BD//x轴，点C，点D在双曲线y=6x图象上，可得AC=2x1-x1=x1，BD=2x2-x2=x2，从而ACBD=x1x2=12．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
9.答案：6xy(x-9y)
解析：解：6x2y-54xy2=6xy(x-9y)．
故答案为：6xy(x-9y)．
直接提取公因式6xy，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10.答案：5
解析：解：∵圆锥的侧面积为25π，底面半径为5，
∴5πl=25π．
解得：l=5，
故答案为：5．
根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．
本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
11.答案：y=3x-2
解析：解答：
解：新直线是由一次函数y=3x+1的图象平移得到的，
∴可设新直线的解析式为：y=3x+b．
∵经过点(1,1)，则1×3+b=1，
解得b=-2，
∴平移后的函数解析式为y=3x-2；
故答案为y=3x-2．
12.答案：2.345×106
解析：解：2345000=2.345×106．
故答案为：2.345×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.答案：8
解析：解：∵x1，x2，x3，x4的平均数为5
∴x1+x2+x3+x4=4×5=20，
∴x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为：
(x1+3+x2+3+x3+3+x4+3)÷4
=(20+12)÷4
=8，
故答案为：8．
根据平均数的性质知，要求x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数，只要把数x1，x2，x3，x4的和表示出即可．
本题考查的是算术平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．
14.答案：6.5
解析：解：设木头长x尺，
根据题意得： x+4.52=x-1，
解得x=6.5，
∴木头长6.5尺．
故答案为：6.5．
设木头长x尺，则绳子长(x+4.5)尺，可得： x+4.52=x-1，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
15.答案：①③④
解析：解：抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)，对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(0,0)，因此①正确；
当x=-1时，y=a-b+c，由图象可知此时y>0，即a-b+c>0，因此②不正确；
对称轴是直线x=1，即-b2a=1，就是2a+b=0，而c=0，因此有2a+b+c=0，故③正确；
对称轴是直线x=1，即-b2a=1，就是a=-b2，而c=0，当x=1时，y=a+b+c=b2，故顶点为(1,b2)，因此④正确；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即：当x<1时，y随x的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，最大值(最小值)逐个进行判断，最后做出选择即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键，数形结合是常用的方法．
16.答案：2
解析：解：对于直线y=-3x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=1，即A(0,3)，B(1,0)．
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF//x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°，
∴∠OAB=∠EBC．
在△AOB和△BEC中，∠AOB=∠BEC=90°，∠OAB=∠EBC，AB=BC，
∴△AOB≌△BEC(AAS)，
∴BE=AO=3，CE=OB=1，
∴C(4,1)．
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y=4x，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF=BO=1，AF=AO=3，
∴D(3,4)，
把y=4代入反比例解析式得x=1，即D1(1,4)，
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上的点D1处，即a=2．
故答案为：2．
对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标；过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF//x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，通过证明△AOB≌△BEC得到点C坐标，进而求出反比例函数的解析式；同理得到△DFA≌△BOA，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．
此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
17.答案：120
解析：解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC=2CD，
∴OC=OD=CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∴∠BAD=120°，
故答案为：120．
连接OD，根据等边三角形的性质得到∠C=60°，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
18.答案：257
解析：解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE=∠CHE=90°，
∵CF=4cm，FB'=1cm，
∴B'C=CF+FB'=4+1=5(cm)，
由折叠得BC=B'C=5cm，∠BCE=∠B'CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC//AD，DC=BC=5cm，∠B=∠D，
∵CB'⊥AD于点F，
∴∠BCB'=∠CFD=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=12∠BCB'=12×90°=45°，DF= DC2-CF2= 52-42=3(cm)，
∴∠HEC=∠BCE=45°，
∴CH=EH，
∵EHBE=sinB=sinD=CFDC=45，BHBE=csB=csD=DFDC=35，
∴CH=EH=45BE，BH=35BE，
∴45BE+35BE=5，
∴BE=257cm，
故答案为：257．
作EH⊥BC于点H，由CF=4cm，FB'=1cm，求得B'C=5cm，由折叠得BC=B'C=5cm，由菱形的性质得BC//AD，DC=BC=5cm，∠B=∠D，因为CB'⊥AD于点F，所以∠BCB'=∠CFD=90°，则∠BCE=∠B'CE=45°，DF= DC2-CF2=3cm，所以∠HEC=∠BCE=45°，则CH=EH，由EHBE=sinB=sinD=45，BHBE=csB=csD=35，得CH=EH=45BE，BH=35BE，于是得45BE+35BE=5，则BE=257cm．
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.答案：(1)①；30；
(2)设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将(500,80)，(500,100)分别代入即可：
500k1+30=80，
∴k1=0.1，
500k2=100，
∴k2=0.2
故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；
(3)当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；
当x=300时，y=60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．
解析：解：(1)①；30；
(2)设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将(500,80)，(500,100)分别代入即可：
500k1+30=80，
∴k1=0.1，
500k2=100，
∴k2=0.2
故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；
(3)当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；
当x=300时，y=60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．
(1)根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；
(2)根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；
(3)求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
20.答案：解：(1)4tan60°+(2024-π)0- 27
=4 3+1-3 3
= 3+1；
(2)(x2+1x-2)÷x2-1x2+x
=x2+1-2xx⋅x(x+1)(x+1)(x-1)
=(x-1)2x⋅x(x+1)(x+1)(x-1)
=x-1，
当x=-2时，原式=-2-1=-3．
解析：(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CF．
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DFE中
∠1=∠2∠3=∠4AE=DE
∴△ABE≌△DFE．
(2)解：四边形ABDF是平行四边形．
∵△ABE≌△DFE，
∴AB=DF
又∵AB//DF
∴四边形ABDF是平行四边形．
解析：(1)可用AAS证明△ABE≌△DFE；
(2)四边形ABDF是平行四边形，可用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
此题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22.答案：50 77.5 108
解析：解：(1)n=6+10+11+15+8=50，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为77+782=77.5(分)，因此中位数是77.5，
故答案为：50；77.5；
(2)360°×1550=108°，
故答案为：108；
(3)800×15+850=368(名)，
答：该校七年级300名被授予“小书虫”称号的学生数大约为368名．
(1)根据“各组频数之和等于样本容量”即可求出n的值，根据中位数的定义进行计算即可；
(2)求出D组人数占抽查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
(3)求出样本中获得“小书虫”称号的学生人数占抽查人数的百分比，进而求出总体中获得“小书虫”的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数以及中位数的定义和计算方法是正确解答的前提．
23.答案：解：(1)如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB=5，∠ABE=37°，
∵sin∠ABE=AEAB，cs∠ABE=BEAB，
∴AE5≈0.60，BE5≈0.80，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=6，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC= 32+62=3 5≈6.7．
故A，C两点之间距离为6.7m．
(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD=AO=1，AF=OD，
∴CF=5，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF= 45-25=2 5≈4.5．
∴OD的长为4.5m．
解析：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
(1)过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB=5，∠ABE=37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
24.答案：解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得：
55k+b=7060k+b=60，解得：k=-2b=180．
∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+180．
(2)由题意得：(x-50)(-2x+180)=600，
整理得：x2-140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
(3)设当天的销售利润为w元，则：
w=(x-50)(-2x+180)
=-2(x-70)2+800，
∵-2<0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
解析：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
(3)利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
25.答案：解：(1)列表：
∴点M坐标的所有等可能的结果有9个：
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)．
(2)∵(1,1)，(2,2)，(3,3)在直线y=x上，共有3个，
∴P(点M在直线y=x上)=39=13．
(3)列表：
由表可知，点M的横坐标与纵坐标之和是偶数有5个，
∴P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)=59．
解析：(1)依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，注意要不重不漏；
(2)注意点M在直线y=x上，即点M的横、纵坐标相等，求得符合要求的点的个数，利用概率公式求解即可求得答案；
(3)依据题意先用列表法分析出点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的结果数，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26.答案：(1)证明：如图，连接OD，
∵AC与圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，即∠ODC=90°，
∵BC=CD，BC=DC，CO=CO，
∴△OBC≌△ODC(SSS)，
∴∠OBC=∠ODC=90°，即OB⊥CB，
∴BC是圆O的切线；
(2)证明：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°．
∵∠OBC=90°，
∴∠ADO=∠ABC．
又∵∠BAC=∠DAO，
∴△AOD∽△ACB，
∴AOAC=ADAB，
∴AO⋅AB=AC⋅AD；
(3)解：∵∠OBC=90°，
∴tan∠BAC=BCAB=43，
设AB=3x，则BC=4x．
∵AB2+BC2=AC2，
∴(3x)2+(4x)2=162，
解得：x=165(舍去负值)，
∴AB=485，BC=645．
∵OD⊥AC，
∴tan∠BAC=ODAD=43，
设OD=4y，
则OB=4y，AD=3y，
∴OA= OD2+AD2=5y，
∴AB=OA+OB=9y=485，
解得：y=1615，
∴OB=6415，即⊙O半径为6415．
∵F是AC中点，
∴AF=CF=BF=12AC=8，
∴∠ABF=∠BAF．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠ABF=∠BAF=∠OBE=∠OEB，
∴△OBE∽△FBA，
∴BEAB=OBBF，即BE485=64158，
解得：BE=12825，
∴EF=BF-EF=8-12825=7225．
解析：(1)连接OD，由切线的性质可知∠ODC=90°.又易证△OBC≌△ODC(SSS)，即得出∠OBC=∠ODC=90°，即OB⊥CB，说明BC是圆O的切线；
(2)由题意易证△AOD∽△ACB，即得出AOAC=ADAB，整理得AO⋅AB=AC⋅AD；
(3)由正切的定义结合题意可设AB=3x，则BC=4x.再由勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出AB=485，BC=645.可设OD=4y，则OB=4y，AD=3y，即可求出OA=5y，从而得出AB=9y=485，解出y的值，即可求出OB=6415，即⊙O半径为6415.由直角三角形斜边中线的性质得出AF=CF=BF=12AC=8，结合等边对等角，得出∠ABF=∠BAF，进而可证△OBE∽△FBA，得出BEAB=OBBF，代入数据，即可求出BE=12825，最后由EF=BF-EF求解即可．
本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．
27.答案：问题呈现：证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
类比探究：解：BDCE= 22；
拓展提升：解：(1)∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
(2)由(1)得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=sin∠BAC=BCAC=45．
解析：问题呈现：证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
类比探究：证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
解：BDCE= 22；
证明过程如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2= 22，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 22；
拓展提升：(1)先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
28.答案：32 2 (-1,0) 12
解析：解：(1)∵抛物线y=-12x2+bx+c经过点 B(4,0)，C(0,2)，
-8+4b+c=0c=2，
解得b=32c=2，
∴抛物线解析式为y=-12x2+32x+2，
∵抛物线y=-12x2+32x+2与x轴交于A、B(4,0)两点，
∴y=0时，-12x2+32x+2=0，
解得x1=-1，x2=4，
∴A(-1,0)，
∴OB=4，OC=2，
在Rt△COB中，tan∠ABC=OCOB=24=12，
故答案为：32，2，(-1,0)，12；
(2)如图1，过点C作CD//x轴，交BP于点D，过点 P作PE//x轴，交y轴于点E，
∵AO=1，OC=2，OB=4，
∴tan∠OCA=AOCO=12，
由(1)可得，tan∠ABC=12，即tan∠OCA=tan∠ABC，
∴∠OCA=∠ABC，
∵∠PCB=2∠OCA，
∴∠PCB=2∠ABC，
∵CD//x轴，PE//x轴，
∴∠ABC=∠DCB，∠EPC=∠PCD，
∴∠EPC=∠ABC，
又∵∠PEC=∠BOC=90°，
∴△PEC∽△BOC，
∴EPOB=ECOC，
设点P坐标为(t,-12t2+32t+2)，则 EP=t，EC=-12t2+32t+2-2=-12t2+32t，
∴t4=-12t2+32t2，
解得 t=0(舍去)或t=2，
∴点P坐标为(2,3)
(3)如图2，作DH⊥DQ，且使DH=BQ，连接FH，
∵∠BQD+∠BDQ=90°，∠HDF+∠BDQ=90°，
∴∠BQD=∠HDF，
∵QE=DF，DH=BQ，
∴△BQE≌△HDF(SAS)，
∴BE=FH，
∴BE+QF=FH+QF≥QH，
∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，
作QG⊥AB于点G，
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵∠QBD=90°，
∴∠QBG=45°，
∴QG=BG，
设G(n,0)，则Q(n,-12n2+32n+2)，
∴-12n2+32n+2=4-n，
解得n=1或n=4(舍去)，
∴Q(1,3)，
∴QG=BG=4-1=3，
∴BQ=DH=3 2，QD=5 2，
∴m=QH= (3 2)2+(5 2)2=2 17．
(1)利用待定系数法求出b、c的值，得到抛物线解析式为y=-12x2+32x+2，由y=0可得A(-1,0)，根据正切定义可求出tan∠ABC；
(2)过点C作CD//x轴，交BP于点D，过点 P作PE//x轴，由tan∠OCA=tan∠ABC=12可得∠OCA=∠ABC，证明△PEC∽△BOC，得到EPOB=ECOC，设点P坐标为(t,-12t2+32t+2)，可得t4=-12t2+32t2，解之即可求解；
(3)作DH⊥DQ，且使DH=BQ，连接FH，证明△BQE≌△HDF(SAS)得到BE+QF=FH+QF≥QH，Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，作QG⊥AB于点G，设G(n,0)，则Q(n,-12n2+32n+2)，得到-12n2+32n+2=4-n，求出Q(1,3)，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
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