山东省烟台市招远市（五四制）2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题(含解析)

这是一份山东省烟台市招远市（五四制）2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题(含解析)，共19页。

1．考试时间120分钟，满分120分．
2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验．
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：、，含有两个未知数，故本选项不符合题意；
、，可化为，满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
、不是整式方程，故本选项不符合题意；
、最高次数3，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：A．由、，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；
B．由可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C．由,根据对角线垂直的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C．是的对边，不能说明四边形是菱形，故该选项符合题意．
故选：D．
4. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. B. C. D. 7
答案：A
解析：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
，
，
故选：A．
5. 若，，则的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
答案：D
解析：解：∵，，
∴．
故选：D．
6. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，则的面积为（ ）
A. 6B. 5C. 3D.
答案：C
解析：四边形是正方形，
四边形平行四边形，
的面积为，
故选：C
7. 在对边不相等的四边形中，若四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次连结四边形各边中点得到的四边形是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
答案：B
解析：解：如图，四边形中，于点，、、、分别是边、、、的中点，连接、、、，得到四边形，设交于点．
，
，
、、、分别是边、、、的中点，
∴，，，，，
∴，，
四边形是平行四边形，
，，
∴，
，
∵，
平行四边形是矩形．
故选：B．
8. 对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（ ）
A. B.
C. 且D. 且
答案：A
解析：解：由题意可得方程：，
即，
∵该方程没有实数根，
∴，
解得：；
故选：A．
9. 当时，代数式的值是（ ）
A. 19B. 21C. 27D. 29
答案：B
解析：解：，
，
故选：B
10. 已知，如图，点为x轴上一点，它的坐标为，过点作x轴的垂线与直线：交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形…．依此类推，的坐标为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：解：过点作x轴的垂线与直线交于点，
，
线段为边作正方形，
，
同理可得，，
，
故答案为：C；
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_________ ．
答案：且
解析：解：由题意得，且，
解得且，
故答案为：且；
12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 __________ ．
答案：
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
故答案为：
13. 在矩形中，对角线、相交于点O，过点A作，交于点M，若，则的度数为______ ．
答案：##60度
解析：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 已知a是方程的一个根，则的值为______．
答案：2030
解析：a是方程的一个根，
，
，
故答案为：2030．
15. 已知，则___________．
答案：25
解析：解：由题意知：，
解得：，
，
，
故答案为：25；
16. 如图，正方形的边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为________ ．
答案：
解析：解：四边形是正方形，
，，，
，，，
，
，，
，
故要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，
，，，
，
线段的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
【小问1解析：】
解：，
【小问2解析：】
解：原式
．
18. 用合适的方法解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
【小问1解析：】
解：
移项得，
配方得，
∴．
【小问2解析：】
，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，．
19. 如图，有一张矩形的纸片，将矩形纸片折叠，使点A与点C重合．
（1）请用尺规在图中画出折痕，其中，点M在边上，点N在边上；（不写作法，保留痕迹），并说明折痕所在的直线与对角线有怎样的位置关系？
（2）在（1）的条件下，直接写出折痕的长度．
答案：（1）见解析，折痕所在的直线是对角线的垂直平分线
（2）
【小问1解析：】
线段就是所要求作的折痕；
折痕所在的直线是对角线的垂直平分线；
【小问2解析：】
连接，
设，则，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
是对角线的垂直平分线，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
，，，
，
，
折痕的长度为．
20. 关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，请用配方法求出此时方程的解．
答案：（1）且
（2），
【小问1解析：】
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围为且；
【小问2解析：】
∵且，且m为正整数，
∴，
∴原方程为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时方程的解为：，．
21. 如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若，试求出线段的长，并说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）10，理由见解析
【小问1解析：】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
和中，
，
∴．
【小问2解析：】
解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，
∴．
22. 已知，．
（1）分别求，的值；
（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
答案：（1），
（2）①；②
【小问1解析：】
解：，，
，
；
【小问2解析：】
由（1）知，，
①；
②．
23. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若菱形的面积是10，请求出矩形的面积．
答案：（1）证明见解析
（2）5
【小问1解析：】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形；
【小问2解析：】
∵菱形的面积是10，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为5．
24. 阅读理解：
我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．
化简：
解：由题意可知隐含条件解得：，
∴，
∴．
启发应用：
（1）按照上面的解法，化简：；
类比迁移：
（2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简）
拓展延伸：
（3）若，请直接写出的取值范围．
答案：（1）2；（2）；（3）
解析：解：（1）由题意可知隐含条件解得：，
∴，
∴，
（2）由题意可知隐含条件解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为；
（3）由题意可知隐含条件，解得：，
当时，，
则，符合题意，
当时，，
则，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
25. 在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
（1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）；
①“双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
（2）如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：（1）②③ （2）证明见解析
（3）存在，点的坐标或
小问1解析：】
解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等．
故①不正确．
∵“双直四边形”的对角线互相垂直，
∴“双直四边形”面积等于对角线乘积的一半．
故②正确．
∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的的平行四边形是正方形．
∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
故③正确．
故答案为：②③；
【小问2解析：】
证明：如图，设与的交点为，
∵四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为“双直四边形”．
【小问3解析：】
解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．
如图，设的交点为
∵，，
，
即，
，
解得，
，
是的中点，
，
设直线的解析式为则

解得
∴直线的解析式为
设，
①当时，则，
，
则；
②当时，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
此时点坐标还是；
③当时，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
∵，，
∴，
∴，
整理得，
，
当时，，
此时在第四象限，不符合题意．
当时，，
此时在第一象限，符合题意．
综上，或．