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第22讲 难点探究专题：相似三角形中的动点问题（原卷版讲义）
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这是一份第22讲 难点探究专题：相似三角形中的动点问题（原卷版讲义），共12页。
【题型一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】
例1．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：= ；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间
【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
【变式1-2】如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ．
【变式1-3】（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
(1)若△BPQ与相似，求t的值；
(2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．
【题型二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】
例2.（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在中，，，，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E．若是直角三角形，则的长为 ．
【变式2-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ．
【变式2-2】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ．
【变式2-3】（2023·江苏·九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长．
【题型三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】
例3. （2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
【变式3-1】（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．
【变式3-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ．
【变式3-3】（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为 ．
【题型四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】
例4. （2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，动点P从点B出发，在线段上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积是（ ）
A．20B．24C．48D．60
【变式4-2】（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（ ）．
A．B． C．D．
【题型五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】
例5. （2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
(3)若直线与线段延长线交于点G，当时，求的长．
【变式5-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为4，动点在边上从点沿向点运动（点不与点，重合），连接．过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点运动到边的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．
【变式5-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．
(1)如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则_______；
(2)如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；
(3)如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．
【题型六 相似三角形中的动点探究应用问题】
例6. （2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】
(1)如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点， 求证： ．
【尝试应用】
(2)如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值．
【拓展提高】
(3)如图3， 点是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点， 使 ， 连接， 求的最小值．
【变式6-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明
【基础巩固】
（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；
（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；
【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；
【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）．
【变式6-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）在中，，，于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作，交直线BC于点F．
(1)[探究发现]：如图1，若，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；
(2)[数学思考]：
①如图2，若点E在线段AC上，求证：；
②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)[拓展应用]：若，，，求CE的长．（可结合题意，另行画图）
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）
A．B．C．或D．以上均不对
2．（2024·山东泰安·一模）如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，是上一点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，当直线截存在与相似的三角形时， ．
5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ．
6．（20-21八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB的解析式为y＝x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，当线段EF的长度最小时，△OEF的面积为 ．
三、解答题
7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为．
(1)当t为何值时，的面积为？
(2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？
8．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x，
(1)当时，x为何值？
(2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由．
(3)当时，求．（直接写答案）
9．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：
(1) ， ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？
(3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023·河北衡水·二模）如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为．
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)当为何值时，点落在上；
(3)求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值；
(4)直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值．
【题型一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】
例1．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：= ；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间
【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
【变式1-2】如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ．
【变式1-3】（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
(1)若△BPQ与相似，求t的值；
(2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．
【题型二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】
例2.（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在中，，，，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E．若是直角三角形，则的长为 ．
【变式2-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ．
【变式2-2】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ．
【变式2-3】（2023·江苏·九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长．
【题型三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】
例3. （2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
【变式3-1】（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．
【变式3-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ．
【变式3-3】（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为 ．
【题型四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】
例4. （2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，动点P从点B出发，在线段上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积是（ ）
A．20B．24C．48D．60
【变式4-2】（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（ ）．
A．B． C．D．
【题型五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】
例5. （2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
(3)若直线与线段延长线交于点G，当时，求的长．
【变式5-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为4，动点在边上从点沿向点运动（点不与点，重合），连接．过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点运动到边的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．
【变式5-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．
(1)如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则_______；
(2)如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；
(3)如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．
【题型六 相似三角形中的动点探究应用问题】
例6. （2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】
(1)如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点， 求证： ．
【尝试应用】
(2)如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值．
【拓展提高】
(3)如图3， 点是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点， 使 ， 连接， 求的最小值．
【变式6-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明
【基础巩固】
（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；
（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；
【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；
【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）．
【变式6-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）在中，，，于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作，交直线BC于点F．
(1)[探究发现]：如图1，若，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；
(2)[数学思考]：
①如图2，若点E在线段AC上，求证：；
②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)[拓展应用]：若，，，求CE的长．（可结合题意，另行画图）
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）
A．B．C．或D．以上均不对
2．（2024·山东泰安·一模）如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，是上一点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，当直线截存在与相似的三角形时， ．
5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ．
6．（20-21八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB的解析式为y＝x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，当线段EF的长度最小时，△OEF的面积为 ．
三、解答题
7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为．
(1)当t为何值时，的面积为？
(2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？
8．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x，
(1)当时，x为何值？
(2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由．
(3)当时，求．（直接写答案）
9．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：
(1) ， ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？
(3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023·河北衡水·二模）如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为．
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)当为何值时，点落在上；
(3)求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值；
(4)直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值．
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