2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第5章　§5.5　复　数

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知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数z的实部， 是复数z的虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b 0，,虚数b 0当a 0时为纯虚数.))
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一对应),\s\d5())复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一对应),\s\d5())平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝ (c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，
即eq \(OZ,\s\up6(→))＝ ，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝ .
常用结论
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.( )
(2)复数可以比较大小．( )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
( )
教材改编题
1．已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．
3．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是________．
题型一 复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是( )
A．复数z的虚部为eq \f(\r(3),2)
B．eq \f(1,z)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
C．z2＝z＋1
D．复数z的共轭复数为－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i
(2)(2022·北京)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|等于( )
A．1 B．5 C．7 D．25
(3)(2022·泰安模拟)已知复数z满足eq \f(z＋i,z)＝i，则eq \x\t(z)＝________.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
跟踪训练1 (1)(2023·淄博模拟)若复数z＝eq \f(2＋i,a＋i)的实部与虚部相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3eq \x\t(z)|等于( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(2) C．2eq \r(5) D．2eq \r(2)
(3)(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋eq \x\t(z)等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
题型二 复数的四则运算
例2 (1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,z\x\t(z)－1)等于( )
A．－1＋eq \r(3)i B．－1－eq \r(3)i
C．－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i D．－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
(2)(多选)(2022·福州模拟)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则下列结论错误的是( )
A．z1＝±z2 B．zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3|
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)(2023·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则eq \x\t(z)的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
题型三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cs x＋isin x)n＝cs nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))7在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
(3)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆
C．若1≤|z|≤eq \r(2)，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
D．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
跟踪训练3 (1)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为( )
A．1 B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(5)