专题02 一元二次方程概念、解法、判别式和根与系数的关系（原卷版讲义）

这是一份专题02 一元二次方程概念、解法、判别式和根与系数的关系（原卷版讲义），共13页。试卷主要包含了 一元二次方程的定义， 一元二次方程的识别等内容，欢迎下载使用。

知识点1：一元二次方程的概念
1. 一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2. 一元二次方程的识别：注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2：一元二次方程的一般形式
1. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
注意：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3：一元二次方程的解
1.一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2. 一元二次方程的解：一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．
知识点4：一元二次方程的解法
1．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
3．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．换元法解一元二次方程
（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点5：根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点6：根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
题型归纳
【题型1 一元二次方程的定义】
1．（2024春•瑶海区校级期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（2023春•花山区校级期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是
A．B．2C．或3D．3
3．（2023春•宁国市期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是
A．B．、、为常数）
C．D．
4．（2023春•霍邱县期末）若是一元二次方程，则的值为
A．2B．C．D．
【题型2 一元二次方程的一般形式】
5．（2024春•蜀山区校级期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A．；3；B．3；；C．3；；9D．；；9
6．（2023春•宣州区校级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是
A．5，6，8B．5，6，C．5，，D．5，，8
7．（2023春•宿松县期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为
A．B．6C．D．5
【题型3 一元二次方程的解】
8．（2024春•庐阳区校级期中）如果是方程的解，那么常数的值为
A．2B．1C．D．
9．（2024春•瑶海区期中）已知一元二次方程的一个根为，则的值是
A．2020B．2021C．2023D．2025
10．（2024春•庐阳区校级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为
A．2024B．2025C．2026D．2027
11．（2024春•包河区期中）如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ．
【题型4 解一元二次方程-直接开平方法】
12．（2023春•蒙城县期中）方程的根是
A．，B．，C．D．，
13．（2022春•定远县期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是
A．B．C．D．
14．（2023春•庐阳区期末）方程的解是 ．
15．（2022春•定远县期末）解方程：．
【题型5 解一元二次方程-配方法】
16．（2024春•庐阳区校级期中）一元二次方程，用配方法变形可得
A．B．C．D．
17．（2024春•大观区校级期中）用适当的方法解方程：．
18．（2021春•庐阳区期末）解方程：．
【题型6 解一元二次方程-公式法】
19．（2023春•大观区校级期末）用求根公式解一元二次方程时，，的值是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
20．（2023春•定远县期中）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
21．（2023春•淮北期末）解方程：．
22．（2023春•合肥期末）解方程：．
【题型7 解一元二次方程-因式分解法】
23．（2014春•合肥期中）已知一元二次方程的两根分别为，；则这个方程为
A．B．C．D．
24．（2024春•庐阳区校级期中）一元二次方程的根为
A．B．C．，D．，
25．（2024春•大观区校级期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是
A．15B．13C．11或8D．11和13
26．（2024春•庐阳区校级期中）解方程：．
【题型8 换元法解一元二次方程】
27．（2024春•瑶海区校级期中）关于的方程，则的值是
A．B．1C．或1D．3或
28．（2023春•宣州区校级期中）已知、为实数，且满足，则代数式的值为
A．3或B．3C．或5D．5
29．（2023春•合肥期末）若，则的值为
A．2或B．或6C．6D．2
【题型9 根的判别式】
30．（2023春•太湖县期中）关于的一元二次方程根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
31．（2024春•庐阳区校级期中）关于的方程有两个相等的实数根，若，，是的三边长，则这个三角形一定是
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
32．（2024春•大观区校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【题型10 根与系数的关系】
33．（2024春•金安区校级期中）设方程的两实数根为，，则的值为
A．B．1C．D．2
34．（2024春•瑶海区校级期中）若、是方程的两个根，则
A．2026B．2027C．2024D．2029
35．（2024春•安庆期中）若、是一元二次方程的两根，则的值为 ．
36．（2024春•安庆期中）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值．
37．（2024春•安庆期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根，，满足，求的值．
【题型11 配方法的应用】
38．（2023春•大观区校级期末）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于的多项式的最大值为10，则的值为
A．1B．C．D．
39．（2023春•贵池区期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．
解：原式
．
②求的最小值．
解：原式
．
，
，
即的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ．
（2）因式分解：．
（3）求的最小值．
（4）用配方法因式分解：．
40．（2024春•大观区校级期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
过关检测
1．（2024春•庐阳区校级期中）下列方程是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（2024春•大观区校级期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是
A．B．
C．D．
3．（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为
A．10B．11C．10或11D．以上都不对
4．（2023春•瑶海区期中）一元二次方程根的情况是
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．（2023春•舒城县校级期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
6．（2024春•大观区校级期中）已知关于的方程的一个根是1，则此方程的另一根为
A．0B．1C．2D．3
7．（2024春•庐阳区校级期中）设、为的两个实数根，则
A．2024B．C．2021D．
8．（2024春•瑶海区校级期中）如果的值与的值相等，则 ．
9．（2023春•太湖县期末）把方程化为的形式，则的值是 ．
10．（2023春•界首市期末）将一元二次方程化成的形式 ．
11．（2024春•金安区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
12．（2024春•大观区校级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求的值．
13．（2024春•庐阳区校级期中）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个实数根是1，求的值及方程的另一个实数根．
满分技法
判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概念,不能只看表面形式,要先把方程进行整理,使右边为0,再观察其是否具备以下三个条件:
①是整式方程;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
三个条件缺一不可!
满分技法
(1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式.
(2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”!
(3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为 0.
满分技法
判断一个数是否为一元二次方程的根的妙招
将已知数分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数是方程的根，否则不是.
满分技法
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
第1步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的完全平方式;
第2步:开平方,即若右边是非负数(若为负数，则方程无实数根)，则根据平方根的意义求解，注意右边开方后必须取正、负两个平方根;
第3步:写出一元二次方程的两个根.
满分技法
用配方法解一元二次方程的一般步骤
第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1;
第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项;
第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程;
第5步:写,写出一元二次方程的两个根!
满分技法
“公式法”的三点注意：
(1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数.
(2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-”
(3)利用公式法解方程时，要先计算b2-4ac的值,只有当b2-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根.
满分技法
因式分解法一般步骤：
第1步:移,即移项,将方程的右边化为0;
第2步:分,即将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式;
第3步:化,即令每个因式为0,转化为两个一元一次方程;
第4步:解,即解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的根
满分技法
换元法，是为了达到“降次”的目的,把高次方程转化为一元二次方程是解题的关键.解题时,把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题简化，这种方法叫做换元法.换元法体现了整体思想和转化思想，其关键是构造元和换元.
满分技法
判别式”断“根”三步走：
第1步:将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定系数a,b,c的值,注意a,b,c的值要包含它前面的符号;
第2步:计算 △=b2-4ac的值;
第3步:根据△与0的大小关系判断方程根的情况.
满分技法
在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件:
(1)方程必须是一元二次方程，即二次项系数不为0;
(2)方程有实数根,即△≥0.
满分技法
配方时易出现的错误：
移项忘记变号.(2)系数化为1时漏项.(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.
审题做题时，我们要避免以上问题的出现！