专题02 一次方程组（原卷版讲义）

这是一份专题02 一次方程组（原卷版讲义），共14页。试卷主要包含了列方程组解应用题的基本思想等内容，欢迎下载使用。

知识点 1 ： 解一次方程组
知识点2： 一次方程组实际应用
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
题型归纳
【题型1 已知一元二次方程的解求参数】
1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知是方程组的解，那么的值为多少？
2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值．
3．（22-23七年级下·四川资阳·期中）方程组的解是 ，求 ．
4．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，正确解得 求△和*分别代表的数．
【题型2 一次方程组的特殊解法】
5．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目．
6．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
(1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______．
(2)请按照小辉的思路求出m的值．
【题型3 一次方程组错解复原问题】
8．（23-24七年级下·山东日照·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
(2)求出原方程组的正确解．
9．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值．
10．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【题型4 已知一次方程组解的情况求参数】
11．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
12．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值．
13．（11-12七年级下·北京·单元测试）二元一次方程组的解x，y的值相等，求k的值．
14．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，．
(1)求a的取值范围．
(2)化简：．
【题型5 一次方程组同解问题】
15．（23-24七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解；
(2)求的值．
16．（23-24七年级下·河南周口·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，求，的值．
17．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组．
(1)试用含的式子表示方程组的解；
(2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值．
【题型6 解三元一次方程组】
18．（23-24七年级下·四川眉山·期中）解方程组
19．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组：
(1)
(2)
【题型7一次方程组的实际应用】
【类型一】方案问题
20．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元．
(1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决）
(2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案．
21．（2024七年级下·浙江·专题练习）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机，已知厂家生产三种不同号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元．
(1)若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案．
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利元、元、元．在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
22．（23-24七年级下·四川眉山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？
【类型二】行程问题
23．（23-24七年级下·山东临沂·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地．
(1)求两人的速度分别是多少？
(2)求A、B两地的距离是多少？
24．（23-24七年级下·山东聊城·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？
25．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．
(1)求水流速度和AB两地之间的距离；
(2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？
【类型三】工程问题
26．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面．
(1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？
(2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？
27．（2024七年级下·全国·专题练习）某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人．
【类型四】数字问题
28．（23-24七年级下·甘肃天水·阶段练习）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？
29．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数．
30．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．
【类型五】年龄问题
31．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
32．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．

33．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【类型六】分配问题
34．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？
【类型七】销售利润问题
35．（23-24七年级下·福建厦门·期中）社区为了居民做好垃圾分类，准备增加，两种型号的垃圾箱．通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费多少元？
【类型八】和差倍分问题
36．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）3月12日，六安市轻工中学开展“植初心树未来”主题活动，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派19人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？
37．（2023·海南·模拟预测）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40kg，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共1000kg，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？
【类型九】几何问题
38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
39．（23-24七年级下·河北邢台·期中）小明手中有块长方形的硬纸片，如果长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．
(1)求这个长方形的长、宽各是多少？
(2)现小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，试判断小明能否成功，并说明理由．
【类型十】图表问题
40．（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
(1)求x，y的值；
(2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
41．（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？
(2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？
【类型十一】古代问题
42．（23-24七年级下·江苏南通·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十四文钱，甜果苦果买九十个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果各几个？
43．（18-19七年级下·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?”
44．（2024七年级下·江苏·专题练习）古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？
【类型十二】其它问题
45．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）用含药和的两种防腐药水，配置含药的防腐药水，两种药水各需多少千克？
46．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）2024年火爆出圈的“广西小砂糖橘哈尔滨游学”刺激了哈尔滨的旅游热，A班组织学生前往哈尔滨“冰雪大世界”开展研学旅游活动，在此次活动中，学生随老师一同到该景区游玩.A班老师了解到，成人票每张240元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票共需门票3120元．
(1)问A班一共去了几名老师？几名学生？
(2)若B班有5名老师和24名学生，B班也想一起去“冰雪大世界”研学旅游，他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠，请你帮他们算一算，怎样购票更省钱．
47．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？
过关检测
一、单选题
1．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（ ）
A． B． C．D．
3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若方程与组有相同的解，则的值为（ ）
A．2，B．2，C．3，D．，2
4．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（ ）
A．4B．1，4C．1，4，49D．无法确定
5．（2024·云南德宏·一模）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．第一期该市投入资金万元，安装型充电桩个和型充电桩个；第二期又投入万元，安装型充电桩个和型充电桩个．已知这两期安装、两种型号的充电桩单价不变．设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将；淇淇说：要消去y，可以将，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇不对B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉和淇淇都对D．嘉嘉和淇淇都不对
7．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．无法确定
8．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知，则等于（ ）
A．2024B．1C．D．
9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有甲列的方程组正确B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确D．甲和乙列的方程组都不正确
二、填空题
11．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ．
12．（2024·湖北宜昌·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少．答：人数为 人，买鸡的钱数为 钱．
13．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）若是二元一次方程的一组解，则的值为 ．
14．（23-24七年级下·山东淄博·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ．
15．（2024·重庆·三模）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ．
三、解答题
16．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程组
(1)；
(2)．
17．（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛．
(1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分．
(2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？
18．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值．
19．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题：
(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由；
(2)方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值．
20．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目．
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值．
看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.

第一组
第二组
答错次数
1
2
答对次数
7
9
最终分数
40
45
需甲种材料
需乙种材料
1件A型工艺品
1件B型工艺品
甲
解：设A印刷机印制了xh，
B印刷机印制了yh．
由题意，得
乙
解：设A印刷机印制了m份，
B印刷机印制了n份．
由题意，得