北京市师范大学附属实验中学2024届高三下学期6月热身练习数学试题及参考答案

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
（1）设集合，，则集合
A．B．[-2，-1）C．（-1，2]D．
（2）在复平面，复数z对应的点坐标为（1，-1），则
A．i B．-iC．D．
（3）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是
A．B．C．D．
（4）若双曲线的离心率为，则
A．2 B．C．1 D．
（5）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数
A．-2B．-1C．1 D．2
（6）在展开式中，的系数为10，则实数a等于
A．-1B．C．1 D．2
（7）已知函数，若，且则下面结论错误的是
A．B．
C．D．
（8）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（9）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则
A．2 B．C．3 D．
（10）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸．设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
（11）函数的定义域是________．
（12）设等比数列的公比，前n项和为，则________．
（13）在中，若，，，则________，________．
（14）若直线与交于A，B两点，则面积的最大值为_________，写出满足“面积最大”的k的一个值________．
（15）已知函数，下面命题正确的是_________．
①存在，使得；
②存在，使得；
③存在常数，使得恒成立；
④存在，使得直线与曲线与有无穷多个公共点．
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（16）（本小题13分）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围．
①在（0，m）有恰有两个极值点；
②在（0，m）单调递减
③在（0，m）恰好有两个零点．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值．
（18）（本小题13分）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥．
其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州．
（Ⅰ）从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
（Ⅱ）从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望；
（Ⅲ）从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系．（直接写出结果）
（19）（本小题15分）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，若椭圆的，三角形ABC的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点D（0，2），直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求的值．
（20）（本小题15分）已知函数，其中a为常数且．
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，若过点的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值．
（21）（本小题15分）记集合．对任意，，记
对于非空集合，定义集合．
（Ⅰ）当时，写出集合；对于，写出；
（Ⅱ）当时，如果，求的最小值；
（Ⅲ）求证：．
（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数．）
2023－2024学年度第二学期高三数学热身练习（2024.6）
班级________ 姓名________ 学号________得分________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（-1，1）；
12．；
13．；；
14．2；1；注：第二空均可
15．①③．
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16．解：（Ⅰ）因为
．
所以的最小正周期为．
（Ⅱ）选择①因为，所以．
因为在（0，m）有恰有两个极值点．
所以．
所以．
选择③因为在（0，m）恰好有两个零点．
所以．
所以．
17．解（Ⅰ）取PC中点M，连接FM，BM．
在中，因为M，F分别为PC，PD的中点，
所以，．
在菱形ABCD中，因为，，
所以，．
所以四边形BEMF为平行四边形，
因此．
又因为，，
所以．
（Ⅱ）因为，，
所以，．
因为，所以．
在菱形ABCD中，，
因为E为AB中点，所以，
建立如图空间直角坐标系D-xyz．
在正三角形中，．
因为F（0，0，6），E（3，0，0），，．
所以向量，．
设平面EFC的法向量为，则
所以．
设直线CD与平面EFC所成角为，
．
18．解：（Ⅰ）该城市是一线城市的概率为．
（Ⅱ）X的取值范围{0，1，2，3}．
；；
；．
X的分布列为：
．
（Ⅲ）
19．解：（Ⅰ）依题意：
，解得，，，椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）直线DA：，，解得，．
若直线MN：，则．
若直线MN：，设，．
，整理得．
，解得或．
，．
直线CM：，令，得．
直线BN：，令，得．
因为．
所以D，P，Q三点共线，
所以，
综上知：．
20．解析：（Ⅰ），．
因为，，
所以切线方程为．
（Ⅱ），令，解得．
当时，
，的减区间为；
，的增区间为．
当时，
，的增区间为；
，的减区间为．
（Ⅲ）当时，，．
切线l：，
令，；
令，．
．
设，．
．
，在单调递减；
，在单调递增．
所以．
所以当时，S的最小值为．
21．解：（Ⅰ）答：；
若，则．
（Ⅱ）答：的最小值为5．
证明如下：
设．因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到，所以，解得．
当时，有，符合题意．
（Ⅲ）证明：
设A中的所有元素为，，…，，其中．
记（），则这些互不相等．
证明如下：如果存在，，
则，的每一位都相等，
所以，的每一位都相等，
从而，与集合A中元素的互异性矛盾．
定义集合，则．
又，所以．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
C
D
D
C
D
C
D
X
0
1
2
3
P