北京市昌平区2024届高三下学期二模考试数学试题及参考答案

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第一部分（选择题共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1.已知集合，，则
2.已知数列满足，，则数列的前4项和等于
3.已知抛物线的焦点和双曲线的右顶点重合，则的值为
4.在的展开式中，常数项为
5.若，，则
6.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是
7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知函数，若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是
9.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.在室温下，茶水温度从开始，经过后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律.则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是
（参考数据：，）
10.已知数列满足，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是
A.
B.
C.非零常数，，使得
D.，都有
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数，则 _________.
12.已知中，，，，则_________.
13.已知正方形的边长为1，点满足.当时，
_________；当_________时，取得最大值.
14.已知设函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数的解析式是_________.
15.已知曲线，为坐标原点.给出下列四个结论：
①曲线关于直线成轴对称图形；
②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
③直线与曲线所围成的图形的面积为；
④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知函数的图像经过点.
（Ⅰ）求实数的值，并求的单调递减区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题14分）
如图，在棱长均为的四棱柱中，点是的中点，交平面于点.
（Ⅰ）求证：点为线段的中点；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱
存在且唯一确定.
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）求点到平面的距离.
条件①:平面；
条件②：四边形是正方形；
条件③：平面平面.
注：如果选择的条件不符合要求，则第（Ⅱ）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
某行业举行专业能力测试，该测试由三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当项测试成绩合格，且两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当项测试成绩不合格，且两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.
甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试,测试成绩合格的频数统计如下表：
用频率估计概率.
（Ⅰ）试估计甲参加该专业能力项测试成绩合格的概率；
（Ⅱ）设表示甲获得的认定分，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为.试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由.
19.（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点.过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
（Ⅲ）若，当时，求证：.
21.（本小题15分）
已知为有穷正整数数列，，且.从中选取第项，第项，，第项，称数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.
若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，
使得，则称数列为全覆盖数列.
（Ⅰ）判断数列和数列是否为全覆盖数列；
（Ⅱ）在数列中，若，求证：当时，；
（Ⅲ）若数列满足：，且当时，，
求证：数列为全覆盖数列.测试项
频数