北京市西城区2024届高三下学期二模考试数学试题及参考答案

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A
（6）C（7）D（8）C（9）D（10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）（12）
（13）（14）（答案不唯一）
（15）②③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）
．………2分
由，得．
在中，因为，
所以．………4分
又，所以．
所以，即．………5分
所以．………6分
（Ⅱ）因为的面积为，………7分
所以．………8分
在中，由余弦定理得，………9分
即．
整理得．………10分
所以．
所以．………12分
故的周长为．………13分
（17）（共14分）
解：选条件②：．
（Ⅰ）连接．………1分
在正方体中，因为平面，
所以．………3分
因为，，所以．
所以．………4分
因为为的中点，
所以为的中点．………5分
选择条件③：平面．
（Ⅰ）连接．………1分
因为平面，平面，平面平面．
所以．………4分
因为为的中点，
所以为的中点．………5分
（Ⅱ）在正方体中，两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系．………6分
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则 即
令，则．于是．………9分
设直线与平面所成的角为，
则．………11分
所以直线与平面所成角的大小为．………12分
点到平面的距离为．………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）记事件为“工业机器人的产销率大于”．
由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，
年，共年．………2分
所以．………3分
（Ⅱ）因为，，………4分
所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为．
所以的所有可能的取值为．………5分
，，．………8分
所以的分布列为：
故的数学期望．………10分
（Ⅲ）2018年和年．………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）．………2分
由题设，，解得．………3分
当时，．
在上单调递减，在上单调递增，适合题意．
所以．………4分
（Ⅱ）当时，．
．………6分
因为，
所以，．
所以在区间上单调递增．………8分
所以的最大值为．………9分
（Ⅲ）．
当时，．
此时在上单调递减，在上单调递增，
所以恰有一个极值点．………10分
当时，设．
则．
因为，且，
所以，即在上单调递增．………12分
因为，，
所以存在，使．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以恰有一个极值点．
综上，当时，有且只有一个极值点．………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设，………3分
解得．
所以椭圆的方程为．………4分
（Ⅱ）设，则，．………5分
其中，．………6分
直线的方程为，所以．………7分
直线的方程为．
由得．………8分
设，所以．………9分
解得．
由，得．………10分
由题意，点均不在轴上，所以直线的斜率均存在，且
………11分
．………14分
所以三点共线．………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，共有个子列，………1分
其中具有性质的子列有个，………2分
故不具有性质的子列有个，………3分
所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数．………4分
（Ⅱ）（ⅰ）若是的项子列，
则也是的项子列．………5分
所以．………7分
因为给定正整数，有个项子列，
所以所有的算术平均值为．………9分
（ⅱ）设的首项为，末项为，记．
若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意，都有．………10分
因为对于，，，
所以共有种不同的情况．
因为互不相同，
所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立．
所以．………13分
当是奇数时，取，，
共有个满足条件的子列．………14分
当是偶数时，取，，
共有个满足条件的子列．………15分
综上，为奇数时，的最大值为；为偶数时，的最大值为．