2022-2023学年吉林省长春市朝阳区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春市朝阳区八年级下学期期中数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，三象限D．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在，a，﹣，这四个代数式中，是分式的是（ ）
A．B．aC．﹣D．
2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（ ）
A．2.97×105B．2.97×106C．2.97×10﹣5D．2.97×10﹣6
3．若反比例函数的图象经过点（2，3），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
4．在平面直角坐标系中，若将直线y＝x﹣2向上平移m个单位长度得到直线y＝x+2，则m的值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
5．题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB＝CD，BC＝DA．
证明：连结BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴……，
∴∠CDB＝∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB．
∵……，
∴△ABD≌△CDB．
∴AB＝CD，AD＝CB．
其中，在“……”处应补充的步骤依次是（ ）
A．AB∥CD，AD＝CBB．AD∥BC，AD＝BC
C．AD∥BC，BD＝DBD．AB∥CD，BD＝DB
6．如图，点O为▱ABCD的对角线AC的中点，EF过点O与边BC、AD分别相交于点E、F，若AB＝3，BC＝5，OE＝1.5，则四边形ABEF的周长为（ ）
A．13B．12C．11D．9.5
7．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜4的解集为（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
8．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y （mg） 与时间x （h）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，y与x之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与x的函数表达式是y＝x
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．如果当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．若分式的值为0，则x的值为 ．
10．函数y＝自变量x的取值范围是 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，2），正比例函数y＝kx与线段AB有交点，则k的最小值为 ．
​​​
12．如图，BD是▱ABCD的对角线，AB＝BD，过点A作AE⊥BD于点E，∠C＝65°，则∠DAE​​的大小是 度．
13．如图，点A、B在直线l上，D为直线l外一点，连结AD，分别以点B、D为圆心，AD、AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD、BC，则四边形ABCD是平行四边形的理由是​ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD边CD在x轴上，AB垂直于y轴，点A​​在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＜0）的图象上，若▱ABCD的面积为6，则k的值为 ．
三、解答题(本大题10小题，共78分)
15．计算：|﹣2|+2﹣1﹣﹣（1﹣）0．
16．先化简，再求值：（），其中．
17．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，若AD＝5，CE＝2，求▱ABCD
的周长．
18．春季来临，长春市某区为美化环境，计划种植树木2400棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成任务，求原计划每天植树的棵数．
19．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
（1）在图①中以AB为边画一个面积为2，且只是中心对称的四边形ABCD．
（2）在图②中以AB为对角线画一个面积为2，且只是中心对称的四边形AEBF．
（3）在图③中以AB为对角线画一个只是中心对称的四边形AMBN，且该四边形的一条边与AB相等．
20．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，顺次连接D、E、B、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积为2，直接写出四边形DEBF的面积．
21．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面直角坐标系，直线y＝kx+b经过格点A、B，与函数y＝（x＞0）的图象交于格点C（2，a）．
（1）求直线AB对应的函数关系式和m的值．
（2）在图中画出函数 的图象．
（3）当一次函数的值大于函数 0）的值时，根据图象，直接写出x的取值范围．
22．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第79页的部分内容．
结合图2，写出解题过程．
【结论应用】如图3，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形ABCD，AB＜BC，若两张纸条宽分别为3cm和5cm，求的值．
23．一辆货车和一辆轿车先后从A地出发前往B地，货车以匀速到达B地，轿车在货车
出发1h后出发，匀速行驶1h后进入服务区休息了0.5h，在休息了0.5h时货车到达了B地，休息后轿车提高了速度匀速到达B地，两车之间的路程y （km）与各自行驶的时间x （h）之间的函数图象如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为 km，轿车休息前每小时行驶 km．
（2）求轿车休息后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当两车之间的路程为80km时，直接写出x的取值范围．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，当点P不与点A重合时，连结AP，将线段AP烧着点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连结PQ，设△APQ与长方形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）当点Q与点D重合时，求t的值．
（2）当点P与点B重合时，求DQ的长．
（3）当点C在△APQ外部时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出t的取范围值及这个轴对称图形的最长边的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在，a，﹣，这四个代数式中，是分式的是（ ）
A．B．aC．﹣D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
解：A．是分式，故本选项符合题意；
B．a是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
C．﹣是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
D．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，判断一个代数式是分式的关键是看分母中含有字母．
2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（ ）
A．2.97×105B．2.97×106C．2.97×10﹣5D．2.97×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000297＝2.97×10﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．若反比例函数的图象经过点（2，3），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
【分析】先把点（2，3）代入反比例函数得到k＝6＞0，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数的图象在第一、三象限．
解：∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴k＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数y＝的图象上点的横纵坐标之积为常数k；当k＞0时，图象分布在第一、第三象限；当k＜0时，图象分布在第二、第四象限．
4．在平面直角坐标系中，若将直线y＝x﹣2向上平移m个单位长度得到直线y＝x+2，则m的值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”，可得﹣2+m＝2，进一步计算即可．
解：若将直线y＝x﹣2向上平移m个单位长度得到直线y＝x+2，
∴﹣2+m＝2，
解得m＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
5．题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB＝CD，BC＝DA．
证明：连结BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴……，
∴∠CDB＝∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB．
∵……，
∴△ABD≌△CDB．
∴AB＝CD，AD＝CB．
其中，在“……”处应补充的步骤依次是（ ）
A．AB∥CD，AD＝CBB．AD∥BC，AD＝BC
C．AD∥BC，BD＝DBD．AB∥CD，BD＝DB
【分析】先利用平行四边形的性质证得∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB，再证△ABD≌△CDB可得AB＝CD，AD＝CB．
【解答】证明：连结BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB．
∵BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB．
∴AB＝CD，AD＝CB．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明△ABC≌Δ CDA是解题的关键．
6．如图，点O为▱ABCD的对角线AC的中点，EF过点O与边BC、AD分别相交于点E、F，若AB＝3，BC＝5，OE＝1.5，则四边形ABEF的周长为（ ）
A．13B．12C．11D．9.5
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD＝AB＝4，AD＝BC＝5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△COE≌△AOF．根据全等三角形的性质，得：OF＝OE＝1.5，CE＝AF，故四边形EFDC的周长为CD+EF+AD＝12．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，∠AEO＝∠CFO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（AAS）．
∴OF＝OE＝1.5，CE＝AF．
故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD＝11．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜4的解集为（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
【分析】根据图形得出k＜0和直线与y轴交点的坐标为（0，4），即可得出不等式的解集．
解：∵从图象可知：k＜0，直线与y轴交点的坐标为（0，4），
∴不等式kx+b＜4的解集是x＞0，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
8．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y （mg） 与时间x （h）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，y与x之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与x的函数表达式是y＝x
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．如果当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
D、由题意得＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．若分式的值为0，则x的值为 ﹣5 ．
【分析】根据分式值为零的条件，可得：x+5＝0且x﹣1≠0，据此求出x的值即可．
解：∵分式的值为0，
∴x+5＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．函数y＝自变量x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣3≠0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，2），正比例函数y＝kx与线段AB有交点，则k的最小值为 1 ．
​​​
【分析】由y＝kx，可得出当x≠0时k＝，结合反比例函数的性质，即可求出结论．
解：∵y＝kx，
∴当x≠0时，k＝，
又∵点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，2），
∴线段AB的函数解析式为y＝2（0≤x≤2），
∴k＝，
∵2＞0，
∴k值随x值的增大而减小，
∴当x＝2时，k取得最小值，最小值＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，牢记“当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小”是解题的关键．
12．如图，BD是▱ABCD的对角线，AB＝BD，过点A作AE⊥BD于点E，∠C＝65°，则∠DAE​​的大小是 25 度．
【分析】首先根据平行四边形的对角相等求得∠DAB的度数，然后利用等边对等角求得∠ADB的度数，最后根据直角三角形的两锐角互余求得答案即可．
解：∵▱ABCD中∠C＝65°，
∴∠BAD＝∠C＝65°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠DAB＝65°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对角相等，难度不大．
13．如图，点A、B在直线l上，D为直线l外一点，连结AD，分别以点B、D为圆心，AD、AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD、BC，则四边形ABCD是平行四边形的理由是​ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB＝DC，AD＝BC，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．
解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD边CD在x轴上，AB垂直于y轴，点A​​在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＜0）的图象上，若▱ABCD的面积为6，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】连接OA，OB，设AB与y轴交于点M，根据反比例函数系数k的几何意义，得△AOM的面积为4＝2，再根据▱ABCD的面积为6，可知△AOB的面积为6＝3，所以△BOM的面积为3﹣2＝1，所以|k|＝1，即可求出k的值．
解：如图，连接OA，OB，设AB与y轴交于点M，
∵AB垂直于y轴，点A​​在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴△AOM的面积为4＝2，
∵▱ABCD的面积为6，
∴△AOB的面积为6＝3，
∴△BOM的面积为3﹣2＝1，
∵点B在函数y＝（x＜0）的图象上，
∴|k|＝1，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，平行四边形的性质，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
三、解答题(本大题10小题，共78分)
15．计算：|﹣2|+2﹣1﹣﹣（1﹣）0．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
解：原式＝2+﹣﹣1
＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．先化简，再求值：（），其中．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
解：（）
＝•
＝•
＝a+3，
当时，原式＝﹣3+3＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，若AD＝5，CE＝2，求▱ABCD
的周长．
【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质证出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE＝3，即可得出结论．
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝5，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵BC＝5，EC＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣2＝3，
∴AB＝BE＝3，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+5）＝16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
18．春季来临，长春市某区为美化环境，计划种植树木2400棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成任务，求原计划每天植树的棵数．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，
依题意，得：＝2，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天植树200棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
（1）在图①中以AB为边画一个面积为2，且只是中心对称的四边形ABCD．
（2）在图②中以AB为对角线画一个面积为2，且只是中心对称的四边形AEBF．
（3）在图③中以AB为对角线画一个只是中心对称的四边形AMBN，且该四边形的一条边与AB相等．
【分析】（1）画一个底为1，高为2的平行四边形即可；
（2）画一个底为1，高为2的平行四边形即可；
（3）画平行四边形AMBN，且一条边BM＝AB即可．
解：（1）如图①中，平行四边形ABC即为所求作；
（2）如图②中，平行四边形AEBF即为所求作；
（3）如图③中，平行四边形AMBN即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，掌握平行四边形的性质，学会利用数形结合的思想是解题的关键．
20．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，顺次连接D、E、B、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积为2，直接写出四边形DEBF的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，BO＝DO，再证OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BO＝DO，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵E是OA的中点，
∴S△BOE＝S△ABE＝2，
由（1）可知，四边形DEBF是平行四边形，
∴S平行四边形DEBF＝4S△BOE＝4×2＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面直角坐标系，直线y＝kx+b经过格点A、B，与函数y＝（x＞0）的图象交于格点C（2，a）．
（1）求直线AB对应的函数关系式和m的值．
（2）在图中画出函数 的图象．
（3）当一次函数的值大于函数 0）的值时，根据图象，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB对应的函数关系式，再求出a的值得到C点坐标，将C点坐标代入函数y＝即可求出m的值；
（2）根据解析式画出函数图象即可；
（3）根据图象找出一次函数位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
解：（1）由图知点A坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），
∵一次函数y＝kx+b经过A、B两点，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3，
∵y＝﹣x+3经过点C （2，a），
∴a＝﹣1+3＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C（2，2），
∴m＝2×2＝4；
（2）反比例函数y＝（x＞0）的图象如图：
（3）根据图象可知，当2＜x＜4时，一次函数位于反比例函数图象上方，
即一次函数的值大于函数 0）的值时，x的取值范围是2＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，反比例函数的图象，以及数形结合思想，综合性较强．求出函数解析式是解题的关键．
22．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第79页的部分内容．
结合图2，写出解题过程．
【结论应用】如图3，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形ABCD，AB＜BC，若两张纸条宽分别为3cm和5cm，求的值．
【分析】【教材呈现】利用等积法，设AD与BC之间的距离为x，由条件可知▱ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再由S四边形ABCD＝AD•x，可求得x．
【结论应用】证明四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的面积可得出答案．
解：【教材呈现】设AD和BC之间的距离为x，
则平行四边形ABCD的面积等于AD•x，
∵S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×AC•BE＝AC•BE，
∴AD•x＝AC•BE，
即：7x＝21×5，
x＝15（cm），
答：AD和BC之间的距离为15cm．
【结论应用】
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条宽分别为3cm和5cm，AB＜BC，
∴AB×5＝BC×3，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等面积法的应用，熟练掌握平行四边形的面积公式是解决问题的关键．
23．一辆货车和一辆轿车先后从A地出发前往B地，货车以匀速到达B地，轿车在货车
出发1h后出发，匀速行驶1h后进入服务区休息了0.5h，在休息了0.5h时货车到达了B地，休息后轿车提高了速度匀速到达B地，两车之间的路程y （km）与各自行驶的时间x （h）之间的函数图象如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为 200 km，轿车休息前每小时行驶 80 km．
（2）求轿车休息后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当两车之间的路程为80km时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）由图象得货车的速度v货车＝80km/h，即知A、B两地之间的路程为2.5×80＝200（km），而1≤x≤2时，y＝80为定值，故轿车休息前每小时行驶80km；
（2）设轿车休息后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（2.5，120），（3.5，0）代入可得y＝﹣120x+420（2.5≤x≤3.5）；
（3）观察图象并结合（2）可得两车之间的路程为80km时，x＝0或1≤x≤2或x＝．
解：（1）由图象可知，货车的速度v货车＝80km/h，
根据已知，货车2.5h从A地到B地，
∴A、B两地之间的路程为2.5×80＝200（km），
∵1≤x≤2时，y＝80为定值，
∴1≤x≤2时，轿车速度与货车速度相同，即轿车休息前每小时行驶80km，
故答案为：200，80；
（2）根据题意，y＝120时，x＝2.5，
设轿车休息后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（2.5，120），（3.5，0）代入得：
，
解得，
∴轿车休息后y与x之间的函数关系式为y＝﹣120x+420（2.5≤x≤3.5）；
（3）当x＝0，即轿车刚出发时，两车之间的路程为80km，
当1≤x≤2时，两车之间的路程为80km，
在y＝﹣120x+420中，令y＝80得：
80＝﹣120x+420，
解得x＝，
综上所述，两车之间的路程为80km时，x＝0或1≤x≤2或x＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，当点P不与点A重合时，连结AP，将线段AP烧着点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连结PQ，设△APQ与长方形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）当点Q与点D重合时，求t的值．
（2）当点P与点B重合时，求DQ的长．
（3）当点C在△APQ外部时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出t的取范围值及这个轴对称图形的最长边的长．
【分析】（1）根据AQ＝AD，构建方程求解；
（2）求出AQ＝6，可得结论；
（3）分三种情形：当0＜t≤2时，重叠部分是△APQ，当2＜t≤3时，如图1中，重叠部分是四边形ADMP，当3＜t＜5时，如图2中，重叠部分是五边形ADMKB，别求解即可；
（4）如图3中，当PQ与线段CD相交，且点P在线段AB上时，长方形ABCD能直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形是轴对称图形，
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝6，
由题意AP＝AQ＝2t，
当Q，D重合时，2t＝4，
∴t＝2；
（2）当B，P重合时，AP＝AQ＝6，
∴DQ＝AQ﹣AD＝6﹣4＝2；
（3）当0＜t≤2时，重叠部分是△APQ，S＝×2t×2t＝2t2．
当2＜t≤3时，如图1中，重叠部分是四边形ADMP，
S＝×（2t+2t﹣4）×4＝8t﹣8．
当3＜t＜5时，如图2中，重叠部分是五边形ADMKB，
S＝S矩形ABCD﹣S△cCKM＝24﹣×[4﹣（2t﹣6）]×[（6﹣（2t﹣4）]＝2t2+20t﹣26．
综上所述，S＝；
（4）如图3中，当PQ与线段CD相交，且点P在线段AB上时，长方形ABCD能直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形是轴对称图形，
此时2≤t≤3，四边形的最长边＝2t+[6﹣（2t﹣4）＝10．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，等腰梯形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题．
如图1，在▱ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE＝5cm，AD＝7cm．
求AD和BC之间的距离．
如图1，在▱ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE＝5cm，AD＝7cm．
求AD和BC之间的距离．