2022-2023学年辽宁省大连市沙河口区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市沙河口区八年级下学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 若正方形的面积为，则其边长可表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，，，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是( )
A. B. C. D.
5. 如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高度是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，、、分别是三边的中点，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
8. 如图，在中，，，于，若，则( )
A. B. C. D.
9. 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了这其中的数学道理是( )
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 化简的结果是 ．
12. 如图，矩形的面积为，若，则______ ．
13. 已知是正整数，是整数，则的值可以是______ 写出一个即可
14. 如图，在平面直角坐标系中有两点和，则的长是______ ．
15. 当，，时，代数式的值是______ ．
16. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为和，则中间小正方形的对角线长为______ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是______ ．
18. 如图，两个长为，宽为的矩形纸条倾斜地重叠着若，则叠合部分四边形面积的是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．
21. 本小题分
如图，在▱中，对角线，过点作于．
求证：四边形是矩形．
22. 本小题分
如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
23. 本小题分
求证：菱形两对角线的平方和等于边长平方的四倍．
若将中命题题设中的“菱形”改为“平行四边形”，其它条件不变，可以得到的真命题是：______ 直接写出结论
24. 本小题分
如图，若，，点，分别是，的中点，连接，，可以判断与的数量关系是______ 直接写出结论
如图，若，，且，是上一动点，连接，以、为邻边，为对角线作平行四边形，则对角线的最小值为______ 直接写出结论
如图，若是的一点，以，为边，在的内部作平行四边形，以，为边，以为对角线作平行四边形，连接，交于点求证：；．
25. 本小题分
数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．
操作判断
小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：
步骤：如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤：连接，可以判定的形状是：______ 直接写出结论
小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：
如图，先类似小明的步骤，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接．
小华得出的结论是：请你帮助小华说明理由．
迁移探究
小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：
如图，第一步与步骤一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，可以得到：______ 直接写出结论；同时，若正方形的边长是，可以求出的长，请你完成求解过程．
拓展应用
如图，在矩形中，，点为上的一点不与点重合，可以与点重合，将沿着折叠，点的对应点为落在矩形的内部，连结，，当为等腰三角形时，可求得的长为______ 直接写出结论
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：设正方形边长为，则，
．
故选：．
根据正方形的面积公式计算．
本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式．
3.【答案】
【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】
【解析】解：如图，
正方形，的面积分别为，，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：．
由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了勾股定理以及正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，
折断的部分长为：，
折断前高度为．
故选：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，
．
、、分别是三边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由、、分别是三边的中点得出，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
不能组成三角形，
故A符合题意；
B、，，
，
能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
，
，
，
，
故选为：．
根据等腰直角三角形的性质可得，从而推出三角形为等腰直角三角形，这样便可以利用勾股定理求出．
本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是证明出，再用勾股定理计算．
9.【答案】
【解析】解：这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故选：．
根据平行四边形的判定定理可得答案．
此题主要考查了平行四边形的判定方法，关键是掌握平行四边形的判定定理．
10.【答案】
【解析】解：设剪口与折痕所成锐角的大小为，则为就可以得到一个正方形．
根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即菱形，
菱形里只要有一个角是就是正方形．
展开四边形后的角为：，即．
故选：．
根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
11.【答案】
【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
12.【答案】
【解析】解：矩形的面积为，
，
，
．
故答案为：．
根据矩形的面积公式，即可得到，然后分母有理化即可．
本题考查了矩形的面积，二次根式的除法，能正确分母有理化是解此题的关键．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：，
是正整数，是整数，
的值可以是．
故答案为：答案不唯一．
先求出，再根据二次根式的性质求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点，，
，，
，
，
即的长为，
故答案为：．
由题意得，，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
先计算的值，然后根据二次根式的性质计算代数式的值．
本题考查了解一元二次方程：记住一元二次方程的求根公式是解决问题的关键．也考查了二次根式的性质与化简．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，
中间小正方形的边长为，
中间小正方形的对角线长为，
故答案为：．
根据题意可知：中间小正方形的边长为，然后根据勾股定理即可得到中间小正方形的对角线的长．
本题考查勾股定理的证明，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，，
轴，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，
，，
轴，
，
点的坐标是，
故答案为：．
先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
作于点，于点，则，
两个矩形的宽都是，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先证明四边形是平行四边形，作于点，于点，则，再证明≌，则，由，，得，则，所以，求得，即可求得四边形面积的是，得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先算乘方，二次根式的除法，再算减法即可求解；
根据二次根式的乘法，完全平方公式计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：
；
．
【解析】先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【解析】由平行四边形的性质得，则，由，，得，即可根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形．
此题重点考查平行四边形的判定、在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行、矩形的判定等知识，证明是解题的关键．
22.【答案】解：连接，如图所示：
，为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
【解析】连接，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
23.【答案】平行四边形两对角线的平方和等于边长平方的四倍，是假命题
【解析】解：已知：四边形是菱形，
求证：，
证明：四边形是菱形，
，，
，，，，
；
平行四边形两对角线的平方和等于边长平方的四倍，是假命题，
故答案为：平行四边形两对角线的平方和等于边长平方的四倍，是假命题．
根据菱形的性质解答即可；
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
24.【答案】
【解析】解：，
和为直角三角形，
点，分别是，的中点，
，，
，
．
故答案为：．
记与交于点，
四边形为平行四边形，
为的中点，，
要使最小，即最小，
当时，取得最小值，如图，
，，且，
为等边三角形，
，，
，，
在中，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
证明：如图，在上截取点，使，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
由知，≌，
，
，
，
．
直接利用直角三角形斜边上的中线性质即可得到结论．
记与交于点，由平行四边形的对角线互相平分可知为的中点，，由垂线段最短可知时，取得最小值，易得为等边三角形，则，，再根据含度角的直角三角形性质即可得到结果．
在上截取点，使，根据平行四边形的性质，，易通过证明≌，，，根据等角的余角相等得，于是，进而根据平行四边形的性质得到，，以此可通过证明≌，以此即可得到；
由知，≌，得到，由即可证明．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的性质、垂线段最短、含度角的直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟记相关知识点及性质，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键．
25.【答案】等腰三角形 或
【解析】解：由折叠可知，是的垂直平分线，
，是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形．
由折叠可知：，，，
中，，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，，
由折叠可知：，，，，
，
又，
≌，
，，
，
设，则，，
，
解得：，
即的长为．
故答案为：；
如图，若，
由折叠可知：，，
此种情况不存在；
如图，若，
，
在的垂直平分线上，
过点作于点，的延长线交于点，则有，
，
，
，
设的长为，在中，
，
解得：，
即的长为；
如图，若，
由得：
，
解得：，
，
设的长为，在中，
，
解得：，
即的长为：．
故答案为：或．
由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形；，，由锐角三角函数可求，即可得证；
先由“”可证≌，可得，进而求出；利用勾股定理构造方程可求的长；
由折叠的性质和勾股定理可分类进行求解．
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．