北京市中国人民大学附属中学2024届高三下学期5月热身练习数学试题(三模)（原卷及解析版）

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本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，由得出，由子集的定义得出实数的取值范围.
【详解】集合,
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.
2. 若，则向量与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得，结合数量积得运算律求出，再根据向量夹角公式即可得解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，
又，
所以向量与的夹角为.
故选：B.
3. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）
A. B. 240C. 60D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解.
【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得，
其展开式的通项为，
令，解得，
所以其展开式的常数项为.
故选：B.
4. 已知，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，例如，此时，所以B不正确；
对于C中，由函数在为单调递减函数，
因为，所以，可得，所以C正确；
对于D中，例如，此时，所以D不正确.
故选：C.
5. 若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.
【详解】双曲线的渐近线为，的渐近线为，
由题可知，
所以的离心率.
故选：C.
6. 已知函数，则不等式的解集为( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，然后分类讨论解不等式即得.
【详解】∵，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上所述，的解集为．
故选:．
7. 已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值.
【详解】由可得点轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，
又直线，其过定点，
故距离的最大值为.
故答案为：C
8. 在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案.
【详解】当成等比数列时，，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，所以，充分性满足；
当时，，
而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.
则“成等比数列”是的充分不必要条件.
故选：A.
9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，在根据已知条件得，解方程求出即可.
【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，
取中点，连接，
由已知，、分别为、中点，
因为是直三棱柱，所以，且，
所以其，所以四边形为平行四边形，
又，所以为矩形，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为；
，在中，，
所以，设角，则有，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为因为是直三棱柱，所以，且，
所以，，
又因为平面，平面，所以，
所以，即，解得，
所以点到平面的距离是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点到平面的垂线段.
10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，
因为，可得，
由题意可知：均与y轴垂直，且，
作垂足为，则，
因为，即，解得；
又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若是纯虚数，则实数a的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
【详解】，
因为是纯虚数，
所以，得.
故答案为：
12. 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程.
【详解】设，则，则，此时，
所以或，又由已知，
直线AB的方程为或，
整理得或.
故答案为：或.
13. 使成立的一组a，b的值为__________，__________.
【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意结合对数运算分析可得，取特值检验即可.
【详解】若，则，可得，
例如符合上式.
故答案为：2；2.（答案不唯一）
14. 已知函数，若是偶函数，则__________；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据偶函数的对称性分析可知，即可得结果；结合对称性可知圆面在y轴右侧仅覆盖1个图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.
【详解】因为是偶函数，则，
且，所以；
可得，设的最小正周期为，
因为和均关于y轴对称，
可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点，
对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）；
可得，解得，
且，则，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：；.
15. 已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②
【解析】
【分析】①:先确定最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到，再进一步通过放缩判断；③④求出，然后举例排除.
【详解】对于①：，则，
则，即，
假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，
则为斜边，所以，
所以，所以或，与矛盾，故①错误；
对于②：，当且仅当等号成立，
所以，所以，
所以，②正确；
对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误；
对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误.
故答案为：②.
【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取线段中点，连接，通过证明面可得结论；
（2）先证明出两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；
（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.
【小问1详解】
取线段的中点，连接，
因为四边形ABCD为菱形，且，
所以，为等边三角形，
所以，又面，
所以面，又面，
所以；
【小问2详解】
由，为边长为2的等边三角形可得，
所以，结合面可得两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，，
，
设面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，取得，
，
即直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
由（2）得点D到平面的距离为.
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；
以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
18. 某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个.
表①：表示加工一个口罩的利润.
（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值.
【答案】（1）0.3（2）分布列见详解；元
（3）（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】（1）根据可得A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；
（2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；
（3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，由题意可知：Y的可能取值为，求相应的概率，进而可得期望，令运算求解即可.
【小问1详解】
设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为，
用频率估计概率可得：，
记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件，
所以.
【小问2详解】
由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有：
，
，
所以X的分布列为
X的期望（元）.
【小问3详解】
由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，
设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为，
由题意可知：Y的可能取值为，则有：
，
，
，
所以Y的期望（元），
令，即，解得，
例如符合题意.
19. 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.
（1）求椭圆C的方程和短轴长；
（2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）线段为直径的圆过C的上下顶点，得，即，然后计算离心率，从而点代入可得椭圆C的方程并可求短轴长；
（2）由题可知，的面积等于，所以求的值；由，得，进而得点的坐标关系，即，将点代入C，求得，再由，得，即，从而计算的面积即可.
【小问1详解】
设，上下顶点分别为.
由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即.
因为，即，所以，
由点在C上，得，，解得，
所以，则，
短轴长.
【小问2详解】
根据题意，画出图象如图所示：
因为，所以，
又，则，即，.
设，
由得，即，
因为点在椭圆上，
所以，即，
两式相减得，即，
，又点在轴的上方，所以.
又得，即
于是.
20. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）上单调递减，上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，然后根据列式计算即可；
（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；
（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.
【小问1详解】
由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，
所以；
【小问2详解】
当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
【小问3详解】
由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.
21. 给定正整数，设数列是一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
（1）若，，，，，求和；
（2）求证：，；
（3）求的最小值.
【答案】（1），
（2）证明见解析（3）当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.
【解析】
【分析】（1）直接根据定义求解；
（2）分情况讨论证明，故可推知和不能同时为零，进而得到结论；
（3）对的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.
【小问1详解】
以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和.
所以，.
【小问2详解】
对，由于是的一个排列，故.
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，
得到一个以为首项的更长的递增子列，所以；
而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以.
这意味着；
若，同理有，，故.
总之有，从而和不能同时为零，
故.
【小问3详解】
根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故.
情况一：当为偶数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：，.
则对，有，.
故此时.
结合以上两方面，知的最小值是.
情况二：当为奇数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：，.
则对，有，.
故此时.
结合以上两方面，知的最小值是.
综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.
【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数，再说明该表达式在某种情况下能取到，就得到了最小（或最大）值是，这便是“求最小（或最大）值”的本质. 而在这个过程中，“想到的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的. 在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.口罩等级
100等级
99等级
95等级
利润/元
2
1
0.5
X
2
1
0.5
P
0.3
0.5
0.2