浙江省重点中学四校联考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省重点中学四校联考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数（i为虚数单位）,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若与共线,则( )
A.B.4C.D.或4
3．如图,的斜二测直观图为等腰直角三角形,其中,则的面积为( )
A.B.C.6D.
4．某同学坚持夜跑锻炼身体,他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位:千米）,其数据分别为17,21,15,8,9,13,11,10,20,6,则这组数据的75%分位数是( )
A.12B.16C.17D.18.5
5．已知a,b,c分别是三内角A,B,C的对边,则“”是“为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）( )
A.B.C.D.
7．如图,平行四边形中,,.现将沿起,使二面角大小为120°,则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．正方形ABCD边长为1,平面内一点满足,满足的点的轨迹分别与CB,CD交于M,N两点,令,分别为和方向上的单位向量,t,k为任意实数,则的最小值为( )
A.3B.C.D.
二、多项选择题
9．设,是不同的直线,,,是不同的平面,则下列说法不正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,,则D.,,则
10．已知,,且,则下列说法正确的是( )
A.有最小值4B.有最小值
C.有最小值D.有最小值16
11．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则( )
A.存在点P使得
B.若点P满足，则动点P的轨迹长度为
C.若点P满足平面时，动点P的轨迹是正六边形
D.当点P在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
三、填空题
12．已知向量,满足,则向量在上的投影向量为______.（用表示）
13．若,则的最大值为______.
14．在中,,,的外接圆为圆O,P为圆O上的点,则的取值范围是_____________.
四、解答题
15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段:,,…,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值;
（2）求样本成绩的第75百分位数;
（3）已知落在的平均成绩是56,方差是7,落在的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差.
16．如图,在直三棱柱中,,,四边形为正方形.
（1）求证:平面平面;
（2）求二面角的余弦值.
17．请从①;
②;
③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答
在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若______,
（1）求角B的大小;
（2）若,D为AC边上一点,,,求的面积.
18．在菱形ABCD中,,,以AB为轴将菱形ABCD翻折到菱形,使得平面平面ABCD,点E为边的中点,连接CE,.
（1）求证:平面;
（2）求直线CE与平面所成角的正弦值.
19．如图,是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”,悬索的形状是平面几何中的悬链线,悬链线方程为（为参数,）,当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的有双曲正弦函数.
（1）类比正弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:______.（用,表示）
（2）,不等式恒成立,求实数的取值范围;
（3）设,证明:有唯一的正零点,并比较和的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：D
解析：由两向量共线可知,即,解得或.
故选:D.
3．答案：D
解析：的斜二测直观图为等腰直角三角形,其中,
是的直观图,直角边长为,
的面积是,
平面图形与直观图的面积之比为,
原平面图形的面积是.故选:D.
4．答案：C
解析：数据从小到大排列为:6,8,9,10,11,13,15,17,20,21,因为,
所以这组数据的75%分位数为17.
故选:C.
5．答案：A
解析：在中,由正弦定理可得:,
由,可得:,
所以,因为,所以,
即,所以,
因为,所以,
所以,,所以为直角三角形,
故“”是“为直角三角形”的充分条件;
若为直角三角形,设,,,,
则,,所以,,
所以,
所以“”不是“为直角三角形”的必要条件;
即“”是“为直角三角形”的充分不必要条件.
故选:A.
6．答案：C
解析：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的，即，下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即，上底面圆的半径是，所以杯套的表面积.故选C.
7．答案：C
解析：
8．答案：B
解析：
9．答案：ABD
解析：
10．答案：AB
解析：
11．答案：AC
解析：对A：如图：
当P点位于边上时，因为平面，所以，故A正确；
对B：如图：
当时，P点轨迹为矩形，其中M，N分别为，中点，所以动点P轨迹的周长为：，故B错误；
对C：如图：
当平面时，P点轨迹是正六边形，其中I，J，K，L，M均为棱的中点，故C正确；
对D：如图：
当点P在侧面上运动，且满足时，P点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当P与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：,
又在上的投影向量为,
故答案为:.
13．答案：3
解析：
14．答案：
解析：,又,
由,解得,
由,得,则有,,
则有,A,,则有,
所以有,,
的外接圆为圆O,P为圆O上的点,由正弦定理得的外接圆半径,
则有,,,,D为中点,,,当与方向相同时,有最大值,当与方向相反时,有最小值,所以的最大值为,
最小值为,
即的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）0.75
（2）84
（3）23
解析：（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得,
,解得.
（2）成绩落在内的频率为,
落在内的频率为,
设第75百分位数为,由,
得,故第75百分位数为84.
（3）由图可知,成绩在的市民人数为,
成绩在的市民人数为,故;
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为
.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:由平面为正方形
因为,所以,
又因为,,所以,
所以,又,且,平面,
所以平面,
因为,所以平面,
因为平面,平面平面.
（2）因为直角三角形中,.
所以,所以为等边三角形.
又因为为等腰三角形.
所以取得中点,连结,,则,,
所以为二面角的平面角.
因为直角三角形中,.
在等边三角形中,
所以在三角形中,
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选①
因为,
由正弦定理得,
即,
所以,
由,得,所以,即,
因为,所以.
若选②
由,化简得.
由正弦定理得:,即,所以.
因为,所以.
若选③
由正弦定理得,即,
因为,所以,
所以,所以,
又因为,所以
（2）由（1）知,且,
在中,由余弦定理得,
即①
由于,所以,
平方,
即②.
由①②得:,,
所以的面积为,
即所求面积为
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,平面,平面,平面
同理可得平面.
又,BE,平面,平面平面,
平面,平面.
（2）法1:取中点F,则EFDC是平行四边形,所以.
所以DF与平面所成角即CE与平面所成角.
等体积法:
易得:,,,,
到平面的距离为
,
解得
所以直线CE与平面所成角的正弦值为.
法2:取中点F,则EFDC是平行四边形,所以.
从而CE与平面所成角即为DF与平面所成角,设为.
过作交AB于G,过G作交于H,
过G作交于K.
因为平面平面,平面平面,
又平面,
所以平面,又平面,
所以,又,,,平面,
从而平面,因为平面,
所以,又,,,平面,
从而平面.
所以的长即为到平面的距离
由,,可得.
又,所以到平面的距离设为
即为到平面的距离,即
又,可得.
在中,,,
所以,得.
所以,
所以直线CE与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）见解析
解析：（1）
（2）依题意,,不等式,
函数在上单调递增,,令,
显然函数在上单调递减,在上单调递增,,
又,
于是,,
因此,,显然函数在上单调递减,
当时,,从而,
所以实数m的取值范围是.
（3）依题意,,显然在上为增函数,
且,,
则在上存在唯一的实数,使,
所以有唯一的正零点;
由,得,两边同时取对数得,
于是,
而在上是增函数,则有,
因此,所以.