广东省广州市天河区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份广东省广州市天河区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）以下八个数据：72，60，68，63，58，61，70，71的第80百分位数是（ ）
A．68B．70C．71D．70.5
2．（5分）甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知随机变量X的分布列如表：
则D（3X+2）的值为（ ）
A．20B．18C．8D．6
4．（5分）某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩X服从正态分布N（70，102），则抽测成绩在[80，90]的学生人数大约为（ ）（若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）＝0.9545）
A．1359B．2718C．3414D．4773
5．（5分）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．﹣1120B．﹣160C．1120D．160
6．（5分）曲线在点（π，0）处的切线方程为（ ）
A．πx+2y﹣π2＝0B．πx﹣2y﹣π2＝0
C．πx+y﹣π2＝0D．πx﹣y﹣π2＝0
7．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数a1a2a3a4a5（例如01001），其中ak（k＝1，2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．五位二进制数10100与10001出现的概率相同
8．（5分）若m＞1，n＞1，且，则（ ）
A．lgm＞lgnB．1gm＜lgn
C．（m﹣2）2＜（n﹣2）2D．（m﹣2）2＞（n﹣2）2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在（a，b）内一定不存在最小值
B．函数f（x）在（a，b）内只有一个极小值点
C．函数f（x）在（a，b）内有两个极大值点
D．函数f（x）在（a，b）内可能没有零点
（多选）10．（6分）变量x，y的一组样本数据如下表所示：
通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为y＝7.6﹣0.4x，则（ ）
A．变量x，y之间呈负相关关系
B．变量x，y之间的相关系数r＝﹣0.4
C．m＝5
D．样本点（8，m）的残差为0.6
（多选）11．（6分）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，B表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，C表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A．A与B相互独立B．B与C互斥
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占70%，30%，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为 ．
13．（5分）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答）
14．（5分）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017﹣2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为y（单位：万亿元），并把2017﹣2022年对应的年份代码x依次记为1～6，经分析，判断可用函数模型y＝a•ebx拟合y与x的关系（a，b为参数）．令zi＝lnyi，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为＝0.159x+2.799，则b的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值（i＝1，2，⋯，6），若残差平方和，则决定系数R2≈ ．
（参考公式，决定系数，参考数据：6×3.3572≈67.617）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣9x+m．（m∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当f（x）有3个零点时，求m的取值范围．
16．（15分）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为[485，490），[490，495），…，[505，510]，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．
（1）求直方图中a的值；
（2）估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；
（3）若产品重量在区间[490，505）上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
17．（15分）某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．
（1）完成如下列联表：
单位：人
根据α＝0.025的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？
（2）为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？
②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为≈0.5）
附：．
18．（17分）已知函数f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
19．（17分）现有n枚游戏币C1，C2，…，∁n（n＞3），游戏币∁k（k＝1，2，⋯，n）是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这n枚游戏币玩游戏．
（1）将C1，C2，C3这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为X，求X的分布列；
（2）将这n枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
2023-2024学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）以下八个数据：72，60，68，63，58，61，70，71的第80百分位数是（ ）
A．68B．70C．71D．70.5
【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．
【解答】解：八个数据从小到大排列：58，60，61，63，68，70，71，72，
因为8×80%＝6.4，
所以八个数据的第80百分位数为第7个数，即为71．
故选：C．
【点评】本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
2．（5分）甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：设事件A表示“密码被成功破译”，则事件表示“密码没有被成功破译”，
由题意可知，P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝，
所以P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（5分）已知随机变量X的分布列如表：
则D（3X+2）的值为（ ）
A．20B．18C．8D．6
【分析】根据概率之和等于1求得a，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解．
【解答】解：根据分布列可知，解得，
，
，
所以D（3X+2）＝9D（X）＝18．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，是中档题．
4．（5分）某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩X服从正态分布N（70，102），则抽测成绩在[80，90]的学生人数大约为（ ）（若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）＝0.9545）
A．1359B．2718C．3414D．4773
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：学生的抽测成绩X服从正态分布N（70，102），
则P（80≤X≤90）＝＝＝0.1359，
由于总人数为10000，
则抽测成绩在[80，90]的学生人数大约为10000×0.1359＝1359．
故选：A．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．（5分）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．﹣1120B．﹣160C．1120D．160
【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知n＝6，从而可得展开式通项，令k＝3即可求得常数项的值．
【解答】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以n＝6，
则展开式的通项为，
令3﹣k＝0，解得k＝3，
所以，即展开式中常数项为﹣160．
故选：B．
【点评】本题考查二项式展开式的应用，属于基础题．
6．（5分）曲线在点（π，0）处的切线方程为（ ）
A．πx+2y﹣π2＝0B．πx﹣2y﹣π2＝0
C．πx+y﹣π2＝0D．πx﹣y﹣π2＝0
【分析】先求导，再得到x＝π时的导函数值即切线的斜率，再用点斜式写出切线方程即可．
【解答】解：y＝xcs，y'＝cs﹣sin，
∴y'|x＝π＝cs﹣sin＝﹣，
又当x＝π时，y＝0，
∴切线方程为y＝﹣（x﹣π），整理得πx+2y﹣π2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义与切线方程，属于中档题．
7．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数a1a2a3a4a5（例如01001），其中ak（k＝1，2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．五位二进制数10100与10001出现的概率相同
【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出X的期望和方差后可判断CD的正误．
【解答】解：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字互不影响，
故X的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义，可得X～B（5，），
故，故A错误；
因为X～B（5，），所以，B错误；
，故C错误，
五位二进制数10100与10001出现的概率为＝，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查二项分布的期望和方差，是中档题．
8．（5分）若m＞1，n＞1，且，则（ ）
A．lgm＞lgnB．1gm＜lgn
C．（m﹣2）2＜（n﹣2）2D．（m﹣2）2＞（n﹣2）2
【分析】由不等式性质先可得，进而可得，构造函数，x∈（1，+∞），对其求导，结合导数与单调性关系可得1＜m＜n，然后结合二次函数及对数函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：先判断与的大小关系，
因为en（n+2）﹣（en+1）（n+1）＝en﹣n﹣1＞0（n＞1）恒成立，
所以en（n+2）＞（en+1）（n+1），即，
因为，
故，
设，x∈（1，+∞），则＜0在（1，+∞）上恒成立，
所以在（1，+∞）上单调递减，
因为f（m）＞f（n），所以1＜m＜n，则lgm＜lgn，A错误，B正确；
由于y＝（x﹣2）2在（1，+∞）不单调，故C、D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在（a，b）内一定不存在最小值
B．函数f（x）在（a，b）内只有一个极小值点
C．函数f（x）在（a，b）内有两个极大值点
D．函数f（x）在（a，b）内可能没有零点
【分析】结合导函数的图象，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断函数的零点，即可得到选项．
【解答】解：由题意可知，函数的单调性是增函数→减函数→增函数→减函数，
即x＝c，x＝e时，函数取得极大值，在x＝d处取得极小值，所以B、C正确；
极大值是函数的最大值时，函数能取得最大值；所以A不正确；
函数可能没有零点，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的判断，是基础题．
（多选）10．（6分）变量x，y的一组样本数据如下表所示：
通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为y＝7.6﹣0.4x，则（ ）
A．变量x，y之间呈负相关关系
B．变量x，y之间的相关系数r＝﹣0.4
C．m＝5
D．样本点（8，m）的残差为0.6
【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，根据相关系数的公式可判断B，根据线性回归方程必过点（，）可判断C，根据残差的定义可判断D．
【解答】解：对于A，根据线性回归方程为，可知回归系数，
故判断x，y 之间呈现负相关关系，故A正确；
对于B，相关系数，故B错误；
对于C：根据表中数据，计算，，
代入回归方程，得，
解得m＝5，C正确；
对于D，由C可知m＝5，
所以样本点（8，m）的残差为m﹣（﹣0.4×8+7.6）＝5﹣4.4＝0.6，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了相关系数和残差的定义，属于中档题．
（多选）11．（6分）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，B表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，C表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A．A与B相互独立B．B与C互斥
C．D．
【分析】根据题意，由相互独立事件的定义分析A，由互斥事件的定义分析B，由古典概型公式公式分析C，由条件概率公式分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，
有＝36种安排方法，
由于4名志愿者随机派往三个比赛区域，则P（A）＝，P（B）＝P（C）＝，
P（AB）＝＝，同理：P（AC）＝，
依次分析选项：
对于A，P（AB）≠P（A）P（B），事件A、B不相互独立，A错误；
对于B，事件B、C不会同时发生，则B与C互斥，B正确；
对于C，P（AB）＝，C错误；
对于D，P（C|A）＝＝＝，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及条件概率的计算，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占70%，30%，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为 0.74 ．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：这两个地区的供货量分别占70%，30%，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，
则此产品是优等品的概率为：70%×0.8+30%×0.6＝0.74．
故答案为：0.74．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
13．（5分）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 127 种不同的去法．（用数字作答）
【分析】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可．
【解答】解：7名同学被邀请参加一个社团活动，有27＝128种去法，
没人去的有1种，
故必须有人去的去法有128﹣1＝127种．
故答案为：127．
【点评】本题考查分步乘法计数原理的应用，是中档题．
14．（5分）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017﹣2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为y（单位：万亿元），并把2017﹣2022年对应的年份代码x依次记为1～6，经分析，判断可用函数模型y＝a•ebx拟合y与x的关系（a，b为参数）．令zi＝lnyi，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为＝0.159x+2.799，则b的值为 0.159 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值（i＝1，2，⋯，6），若残差平方和，则决定系数R2≈ 0.995 ．
（参考公式，决定系数，参考数据：6×3.3572≈67.617）
【分析】结合对数的运算性质，以及决定系数的公式，即可求解．
【解答】解：y＝a•ebx，
则两边同时取对数可得，lny＝lna+bx，
令z＝lny，
最小二乘法得经验回归方程为＝0.159x+2.799，
则b的值为0.159，
＝，
故R2＝1﹣≈1﹣．
故答案为：0.159；0.995．
【点评】本题主要考查决定系数的公式，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣9x+m．（m∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当f（x）有3个零点时，求m的取值范围．
【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果；
（2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可．
【解答】解：（1）因为f′（x）＝3x2+6x﹣9＝3（x+3）（x﹣1），
令f′（x）＝0，得x＝﹣3或1，
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3；f′（x）＜0，得﹣3＜x＜1，
所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），减区间为（﹣3，1）．
（2）由（1）易得f（x）的极大值为f（﹣3）＝27+m，极小值为f（1）＝﹣5+m，
因为f（x）有3个零点，所以，解得﹣27＜m＜5．
即m的取值范围为（﹣27，5）．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由函数零点个数求解参数范围，属于中档题．
16．（15分）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为[485，490），[490，495），…，[505，510]，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．
（1）求直方图中a的值；
（2）估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；
（3）若产品重量在区间[490，505）上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
【分析】（1）由频率之和为1即可求解；
（2）利用频率分布直方图中中位数的求解方法即可得解；
（3）由题可得X所有可能的取值为0，1，2，然后利用超几何分布求出对应的概率即可得解．
【解答】解：（1）依题意，（0.01+a+0.06+0.07+0.01）×5＝1，解得a＝0.05，
所以直方图中a的值是0.05；
（2）由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，
则0.05+0.3＝0.35＜0.5，0.05+0.3+0.35＞0.5，
所以抽取的100件产品的重量的中位数在[495，500）内，设中位数为x，
则0.35+（x﹣495）×0.07＝0.5，解得：x≈497.1，
所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克；
（3）样本中合格产品数量为100×（0.06+0.07+0.05）×5＝90，
在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X，
则X所有可能的取值为0，1，2，
于是，，，
所以X的分布列为：
则．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17．（15分）某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．
（1）完成如下列联表：
单位：人
根据α＝0.025的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？
（2）为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？
②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为≈0.5）
附：．
【分析】（1）根据已知可得列联表，利用公式计算χ2的值，与临界值比较即可得解；
（2）（i）利用古典概型概率公式求解即可；（ii）分别求出回答第二个问题和回答第二个问题，选择“是”的员工人数，作比即可求解．
【解答】解：（1）列联表如下：
零假设为H0：性别与对新方案满意度独立，
根据列联表中数据经计算得，
根据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为性别与新考勤管理方案满意有关联，此推断犯错误的概率不大于0.025．
（2）（i）设某个被调查者回答第一个问题为事件A，即被调查者摸到两个球的颜色相同，
由题意得，
所以某个被调查者回答第一个问题的概率为．
（ii）回答第一个问题约有人，则回答第二个问题约有300﹣140＝160人，
由题意可知公历生日是奇数的概率是，
所以回答第一个问题，选择“是”的员工人数约为人，
则回答第二个问题，选择“是”的员工人数约为206﹣70＝136人，
因为，
所以对新考勤管理方案满意的员工所占百分比大约为85%．
【点评】本题主要考查独立性检验，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）已知函数f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；
（2）表示出f（x1）+f（x2）＝lna++ln2+1，通过求导进行证明．
【解答】解：（1）∵f′（x）＝﹣，（x＞0，a＞0），
不妨设φ（x）＝2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），
则关于x的方程2ax2﹣x+1＝0的判别式Δ＝1﹣8a，
当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当0＜a＜时，Δ＞0，方程f′（x）＝0有两个不相等的正根x1，x2，
，
当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；
（2）证明：由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1 和极大值x2，
且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2＝，x1 x2＝，
∴f（x1）+f（x2）＝（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1 x2]﹣（lnx1+lnx2）
＝ln（2a）++1＝lna++ln2+1（0＜a＜），
令g（a）＝lna++ln2+1，
当a∈（0，）时，g′（a）＝＜0，
∴g（a）在（0，）内单调递减，
故g（a）＞g（）＝3﹣2ln2，
∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，考查了转化思想，是一道综合题．
19．（17分）现有n枚游戏币C1，C2，…，∁n（n＞3），游戏币∁k（k＝1，2，⋯，n）是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这n枚游戏币玩游戏．
（1）将C1，C2，C3这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为X，求X的分布列；
（2）将这n枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
【分析】（1）通过已知概率求出X的可取值，再分别求出概率，即可列出分布列．
（2）通过分类讨论解出抛一次落下时正面朝上的个数为奇数的概率与比较即可．
【解答】解：记事件Ak为“第∁k枚游戏币向上抛出后，正面朝上”．
则P（Ak）＝，k＝1，2，⋯，n（n＞3）．
（1）X可取0，1，2，3．
由事件Ak相互独立，
则P（x＝0）＝P（）＝P（）P（）P（）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．
P（x＝1）＝P（A1++）
＝P（A1）+P（）+P（）
＝×+（1﹣）（1﹣）×
＝
＝．
P（x＝2）＝P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）
＝++（1﹣）×
＝
＝．
P（x＝3）＝P（A1A2A3）＝＝．
故分布列为：
（2）因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．
现在考虑依次抛这n枚游戏币，即按照C1，C2，⋯，∁n的顺序抛这n枚游戏币．
记抛第∁k枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为Pk，k＝1，2，⋯，n．
举两个例子：P1表示抛C1后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，
故C1只能正面朝上，P1＝；
P2表示抛C2后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，
此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，C2反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，C2正面朝上．
故P2＝P1•P（）+（1﹣P1）•P（A2）
＝+（1﹣）×
＝．
故当k≥2时，有Pk＝Pk﹣1+（1﹣Pk﹣1）•P（Ak），（第一项“Pk﹣1”表示前k﹣1次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；第二项“1﹣Pk﹣1”表示前k﹣1次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）．
故Pk＝Pk﹣1+（1﹣Pk﹣1）
＝Pk﹣1﹣+_
＝（1﹣）Pk﹣1+．
即Pk＝•Pk﹣1+．
即kPk＝（k﹣1）Pk﹣1+，k≥2．
记bk＝kPk，则bk﹣bk﹣1＝，k≥2，
故数列{bn}为首项是1×，公差为的等差数列．
故bk＝＝，
则kPk＝，
故Pk＝，k＝1，2，3，⋯，n．
则Pn＝．
故公平．
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列以及独立事件公式，属于难题．
X
2
3
6
P
a
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
性别
满意
合计
是
否
男
女
合计
α
0.05
0.025
0.005
xα
3.841
5.024
7.879
X
2
3
6
P
a
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
X
0
1
2
P
性别
满意
合计
是
否
男
女
合计
α
0.05
0.025
0.005
xα
3.841
5.024
7.879
性别
满意
合计
是
否
男
147
3
150
女
138
12
150
合计
285
15
300
X
0
1
2
3
P