高中高考数学一轮复习综合检测AB卷导数及其应用综合测试卷A含解析答案

这是一份高中高考数学一轮复习综合检测AB卷导数及其应用综合测试卷A含解析答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值D．在上单调递减
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．已知,若,则（ ）
A．B．
C．D．
10．设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
11．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．若函数满足，则 .
13．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 .
14．已知，，若，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)若函数的值域为，求的取值范围；
(2)若过点可以作曲线的两条切线，求的取值范围．
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间、最值．
(3)设在上有两个零点，求的范围.
18．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
19．已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．
参考答案：
1．C
【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得．
【详解】的定义域为，
，
由，可得，
故的单调递减区间为．
故选：C．
2．C
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
【详解】由题意及图得，当时，；当时 ，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，
故选：C.
3．B
【分析】构造函数，由导数求解函数的单调性，即可比较，利用对数函数的单调性结合中间值法可得出，的大小关系.
【详解】设函数，则，当时，，为增函数，
得，即，即，得，
因为，因此，.
故选：B.
4．C
【分析】根据奇函数定义求出，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解.
【详解】因为为奇函数，则，
可得，
注意到，可知不恒成立，
则，即，可得，
所以，
则，故，
可知切点坐标为，切线斜率为2，
所以切线方程为.
故选：C.
5．C
【分析】利用导数判断得在上的单调性，再利用偶函数的性质得到，从而得解.
【详解】因为当时，，则，
所以在上单调递增，
又为偶函数，，所以，
则，即，解得．
故选：C．
6．D
【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.
【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
7．C
【分析】命题等价于在上单调递增，然后使用导数工具分类讨论的单调性即可.
【详解】原条件即为对恒成立，从而条件等价于在上单调递增.
设，则.
一方面，若在上单调递增，则对恒成立.
所以，即，得；
另一方面，若，设，则.
从而当时，当时. 故在上递减，在上递增.
所以当或时，有，即，进一步可得
.
这表明在和上递增，故在上递增.
综上，的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数分类讨论函数的单调性，属于较为常规的题目.
8．D
【分析】求得在的切线方程，代入求解即可．
【详解】，，，
则在处的切线方程为，
由题意得，切线过代入得，，解得，
故选：D．
9．ACD
【分析】将式子化为,即可得选项A的正误;构造,求导求单调性,即可得,再根据的单调性,即可得选项B的正误;根据,,再用基本不等式即可判断选项C正误;根据,可得,即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知,,
所以,即,
则选项A正确;
令,则,
所以在上单调递增;
由选项A 结论:,
得,所以,
即,因为单调递减,
所以,故选项B错误;
由选项B中结论,
所以
,
所以,故选项C正确;
因为,
所以,
则选项D正确.
故选:ACD.
10．ABC
【分析】构造函数，进而可判断的奇偶性和单调性，即可求解.
【详解】设，则，
由于，所以为偶函数，
且当时，，所以在单调递减，在单调递增，且，
故由可得，所以，
故选：ABC
11．AD
【分析】先求出函数的二阶导函数，由“凸函数”的定义可得在上成立，整理不等式，可将问题转化为在上成立，再构造函数，利用导函数判断在的取值范围，即可得到充要条件，进而根据必要不充分条件与充要条件的关系得到答案.
【详解】由题，，，
若在上为“凸函数”，则在上成立，
即，，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，
所以，为充要条件，
由选项可知，必要不充分条件可以是：或，
故选：AD.
12．
【分析】求导可得，令运算求解即可.
【详解】因为，可得，
令，可得，解得.
故答案为：.
13．
【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可.
【详解】由题意知，
因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，，
所以在区间内，
所以，解得，即m的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】构造函数，根据的单调性得到当时；构造函数，，根据的单调性得到当时，且，进而得到；当和同理.
【详解】令，，
当时，；
，
当时，，，在单调递减，
，即当时；
当时，，，在单调递减，
，即当时；
令，，
则，在上单调递增，
当时，，，
，即；
当时，，，
，即；
综上，当或，即时，.
若，则的取值范围是.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）设函数的值域为，由题意结合复合函数的值域可知，对是否为0分类讨论即可.
（2）设出切点，求出过该切点的切线方程，将点代入切线方程可得的表达式，由题意直线与函数有两个不同的交点，利用导数来研究函数单调性，进而求解即可.
【详解】（1）令函数的值域为．
因为的值域为，所以．
当时，，符合题意；
当时，，解得．
综上，的取值范围为．
（2）在曲线上任取一点，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由题意可知，点在直线上，可得．
令，则．
当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，
所以，且当时，，当时，．
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
所以的取值范围为．
16．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【详解】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
17．(1)；
(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为，最小值为；
(3).
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）由求出增区间，由求出减区间，再根据单调性求出最值即可；
（3）根据函数的性质结合条件即可求出的范围.
【详解】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.
所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.
所以，又，，
所以.
（3）在上有两个零点，即有两个不等根，
由（2）知.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段、、表示为的函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时的值.
（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式，把种植总面积表示为的函数，利用导数研究单调性，求取最大值时的值.
【详解】（1）解：如下图，连接，则，
半圆的半径，在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
由二次函数性质可知，当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
（2）解：由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数单调递减得恒成立，分离参数法可得；
（2）利用导数得函数单调性，由单调性证明不等式即可；
（3）利用（2）结论，逐个赋值后累加法可证.
【详解】（1）对恒成立，即对恒成立．
因为，则．
（2），只需证明．
令，
，
则在单调递减，则，
又，则，即成立，得证．
（3）由（2）知，令，
则有，
即，
，
，
…，
，
累加可得，
故，从而命题得证．